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Função Modular




Ângelo Moreira dos Reis
Função Modular
Módulo de um número real
Módulo de um número real é o
valor absoluto deste número, isto é:
           x = x, se x ≥ 0
            x = − x, se x < 0

 5 =5          −3 =3             0 =0
−5 =5           3 =3            − 10 = 10
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo

I. x ⋅ y = x ⋅ y

 (−2) ⋅ 3 = − 6 = 6   (−4) ⋅ (−5) = 20 = 20
 − 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6    − 4 ⋅ − 5 = 4 ⋅ 5 = 20
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
                          x   x
I. x ⋅ y = x ⋅ y      II.   =
                          y   y

   −6                     −8
      = −3 =3                = 2 =2
    2                     −4
   −6    6                −8  8
        = =3                 = =2
    2    2                −4  4
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
                              x   x
I. x ⋅ y = x ⋅ y          II.   =
                              y   y
III x ² = x ² = x ²
.                     (−3)² = 9 = 9
                      − 3 ² = 3² = 9
                      (−3)² = 9
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
                            x   x
I. x ⋅ y = x ⋅ y        II.   =
                            y   y
III x ² = x ² = x ²     IV x + y ≤ x + y
.                       .
  (−3) + 2 = − 1 = 1   (−8) + (−4) = − 12 = 12
 −3 + 2 =3+2 =5        − 8 + − 4 = 8 + 4 = 12
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
                             x   x
I. x ⋅ y = x ⋅ y         II.   =
                             y   y
III x ² = x ² = x ²      IV   x+ y ≤ x + y
.                        .
V. x − y ≥ x − y
 (−8) − (−4) = − 4 = 4    9 − (−5) = 14 = 14
 −8 − −4 =8−4 = 4         9 − −5 =8−5=3
Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
                             x   x
I. x ⋅ y = x ⋅ y         II.   =
                             y   y
III x ² = x ² = x ²    IV x + y ≤ x + y
.                      .
V. x − y ≥ x − y      VI x − y ≤ x − y
          − 8 − 4 = 8 .− 4 = 4 = 4
          (−8) − 4 = − 8 − 4 = − 12 = 12
Função Modular
Valor de x a partir do módulo de x
           x=5                       x=0
 x =5                      x =0
           x = −5



            x = 10
x = 10
            x = −10
                          x = −7
                                     ∃
                                     /
Função Modular
Equação Modular
                   x + 2 = 5→ x = 5−2 → x = 3
 x+ 2 = 5
                   x + 2 = −5 → x = −5 − 2→ x = −7
Solução : { − 7, 3 }
                     2 x + 3 = x − 2 → x = −5
 2x + 3 = x − 2
                     2 x + 3 = −( x − 2)
                     → 2x + 3 = −x + 2
               − 1                       −1
Solução : − 5,     → 3 x = −1 → x =
                3                         3
Função Modular
Equação Modular

                   x+2
                       = 2 → x + 2 = 2x − 6
                   x−3
 x+2                       →x=8
     =2
 x−3
                   x+2
                       = −2 → x + 2 = −2 x + 6
                   x−3
          4                                 4
Solução :  , 8            → 3x = 4 → x =
          3                                 3
.
                                      Pa g 1

Função Modular
                                          –
                                    1 91 3 a 6
                                        –
                                   1 94 – 1 7 a
                                    2 03 0
                                          2

Equação Modular
                             x² − x − 1 = 1
 x² − x − 1 − 1 = 0          → x² − x − 2 = 0
    x² − x − 1 = 1           → x = −1 ou x = 2

                             x ² − x − 1 = −1
Solução : { − 1, 0, 1, 2 }   → x² − x = 0
                             → x = 0 ou x = 1
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  • 2. Função Modular Módulo de um número real Módulo de um número real é o valor absoluto deste número, isto é: x = x, se x ≥ 0 x = − x, se x < 0 5 =5 −3 =3 0 =0 −5 =5 3 =3 − 10 = 10
  • 3. Função Modular Propriedades envolvendo módulo I. x ⋅ y = x ⋅ y (−2) ⋅ 3 = − 6 = 6 (−4) ⋅ (−5) = 20 = 20 − 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6 − 4 ⋅ − 5 = 4 ⋅ 5 = 20
  • 4. Função Modular Propriedades envolvendo módulo x x I. x ⋅ y = x ⋅ y II. = y y −6 −8 = −3 =3 = 2 =2 2 −4 −6 6 −8 8 = =3 = =2 2 2 −4 4
  • 5. Função Modular Propriedades envolvendo módulo x x I. x ⋅ y = x ⋅ y II. = y y III x ² = x ² = x ² . (−3)² = 9 = 9 − 3 ² = 3² = 9 (−3)² = 9
  • 6. Função Modular Propriedades envolvendo módulo x x I. x ⋅ y = x ⋅ y II. = y y III x ² = x ² = x ² IV x + y ≤ x + y . . (−3) + 2 = − 1 = 1 (−8) + (−4) = − 12 = 12 −3 + 2 =3+2 =5 − 8 + − 4 = 8 + 4 = 12
  • 7. Função Modular Propriedades envolvendo módulo x x I. x ⋅ y = x ⋅ y II. = y y III x ² = x ² = x ² IV x+ y ≤ x + y . . V. x − y ≥ x − y (−8) − (−4) = − 4 = 4 9 − (−5) = 14 = 14 −8 − −4 =8−4 = 4 9 − −5 =8−5=3
  • 8. Função Modular Propriedades envolvendo módulo x x I. x ⋅ y = x ⋅ y II. = y y III x ² = x ² = x ² IV x + y ≤ x + y . . V. x − y ≥ x − y VI x − y ≤ x − y − 8 − 4 = 8 .− 4 = 4 = 4 (−8) − 4 = − 8 − 4 = − 12 = 12
  • 9. Função Modular Valor de x a partir do módulo de x x=5 x=0 x =5 x =0 x = −5 x = 10 x = 10 x = −10 x = −7 ∃ /
  • 10. Função Modular Equação Modular x + 2 = 5→ x = 5−2 → x = 3 x+ 2 = 5 x + 2 = −5 → x = −5 − 2→ x = −7 Solução : { − 7, 3 } 2 x + 3 = x − 2 → x = −5 2x + 3 = x − 2 2 x + 3 = −( x − 2) → 2x + 3 = −x + 2  − 1 −1 Solução : − 5,  → 3 x = −1 → x =  3  3
  • 11. Função Modular Equação Modular x+2 = 2 → x + 2 = 2x − 6 x−3 x+2 →x=8 =2 x−3 x+2 = −2 → x + 2 = −2 x + 6 x−3 4  4 Solução :  , 8 → 3x = 4 → x = 3  3
  • 12. . Pa g 1 Função Modular – 1 91 3 a 6 – 1 94 – 1 7 a 2 03 0 2 Equação Modular x² − x − 1 = 1 x² − x − 1 − 1 = 0 → x² − x − 2 = 0 x² − x − 1 = 1 → x = −1 ou x = 2 x ² − x − 1 = −1 Solução : { − 1, 0, 1, 2 } → x² − x = 0 → x = 0 ou x = 1