Este documento discute funções modulares e suas propriedades. Ele define o módulo de um número real como seu valor absoluto e lista propriedades como módulo de produtos, quocientes e potências. Também apresenta equações modulares e suas soluções, como {-7,3} para a equação x+2=5 ou x+2=-5.

1. Função Modular
Ângelo Moreira dos Reis

2. Função Modular
Módulo de um número real
Módulo de um número real é o
valor absoluto deste número, isto é:
x = x, se x ≥ 0
x = − x, se x < 0
5 =5 −3 =3 0 =0
−5 =5 3 =3 − 10 = 10

3. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
I. x ⋅ y = x ⋅ y
(−2) ⋅ 3 = − 6 = 6 (−4) ⋅ (−5) = 20 = 20
− 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6 − 4 ⋅ − 5 = 4 ⋅ 5 = 20

4. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
x x
I. x ⋅ y = x ⋅ y II. =
y y
−6 −8
= −3 =3 = 2 =2
2 −4
−6 6 −8 8
= =3 = =2
2 2 −4 4

5. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
x x
I. x ⋅ y = x ⋅ y II. =
y y
III x ² = x ² = x ²
. (−3)² = 9 = 9
− 3 ² = 3² = 9
(−3)² = 9

6. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
x x
I. x ⋅ y = x ⋅ y II. =
y y
III x ² = x ² = x ² IV x + y ≤ x + y
. .
(−3) + 2 = − 1 = 1 (−8) + (−4) = − 12 = 12
−3 + 2 =3+2 =5 − 8 + − 4 = 8 + 4 = 12

7. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
x x
I. x ⋅ y = x ⋅ y II. =
y y
III x ² = x ² = x ² IV x+ y ≤ x + y
. .
V. x − y ≥ x − y
(−8) − (−4) = − 4 = 4 9 − (−5) = 14 = 14
−8 − −4 =8−4 = 4 9 − −5 =8−5=3

8. Função Modular
Propriedades envolvendo módulo
x x
I. x ⋅ y = x ⋅ y II. =
y y
III x ² = x ² = x ² IV x + y ≤ x + y
. .
V. x − y ≥ x − y VI x − y ≤ x − y
− 8 − 4 = 8 .− 4 = 4 = 4
(−8) − 4 = − 8 − 4 = − 12 = 12

9. Função Modular
Valor de x a partir do módulo de x
x=5 x=0
x =5 x =0
x = −5
x = 10
x = 10
x = −10
x = −7
∃
/

10. Função Modular
Equação Modular
x + 2 = 5→ x = 5−2 → x = 3
x+ 2 = 5
x + 2 = −5 → x = −5 − 2→ x = −7
Solução : { − 7, 3 }
2 x + 3 = x − 2 → x = −5
2x + 3 = x − 2
2 x + 3 = −( x − 2)
→ 2x + 3 = −x + 2
 − 1 −1
Solução : − 5,  → 3 x = −1 → x =
 3  3

11. Função Modular
Equação Modular
x+2
= 2 → x + 2 = 2x − 6
x−3
x+2 →x=8
=2
x−3
x+2
= −2 → x + 2 = −2 x + 6
x−3
4  4
Solução :  , 8 → 3x = 4 → x =
3  3

12. .
Pa g 1
Função Modular
–
1 91 3 a 6
–
1 94 – 1 7 a
2 03 0
2
Equação Modular
x² − x − 1 = 1
x² − x − 1 − 1 = 0 → x² − x − 2 = 0
x² − x − 1 = 1 → x = −1 ou x = 2
x ² − x − 1 = −1
Solução : { − 1, 0, 1, 2 } → x² − x = 0
→ x = 0 ou x = 1

13. Função Modular
Ângelo Moreira dos Reis