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LOGARITMOS




Ângelo Moreira dos Reis
QUAL É O TEMPO?


Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer
  sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no
  entanto, resolveu abrir mão da festa. É que ela
  queria comprar um computador.

Mas havia um problema: o computador que ela
  queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o
  dinheiro   que   tinha,   até   conseguir   o   valor
  necessário.
QUAL É O TEMPO?



Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de
5   %   ao   mês,   capitalizados   mensalmente.
Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto
tempo os 1000 reais aplicados se transfor-
mariam nos 1500 reais de que precisava?

 Ela havia acabado de aprender a calcular juros
compostos. Fez, então, as suas contas.
VEJA OS CÁLCULOS
Capital aplicado: C = 1 000


Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês
Montante pretendido: M = 1 500,00

M = C.(1 + i)t    ⇒   1 500 = 1 000 . (1,05)t

                                  1,057 ≈ 1,407
⇒   1,05t = 1,5                   1,058 ≈ 1,477
                                  1,059 ≈ 1,551




Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria
atingido no final do 9º mês de aplicação.
QUAL É O EXPOENTE?


Como poderia ser obtido, com uma aproximação
  razoável e sem utilizar o método das tentativas,
  o valor de t na equação 1,05t = 1,5?



A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas
  como esse, que envolve a determinação de um
  expoente.
HISTÓRIA


A invenção dos logaritmos ocorreu no início do
  século XVII e é creditada ao escocês John
  Napier e ao suiço Jobst Burgi.

Inicialmente   seu   objetivo    era   simplificar   os
  cálculos     numéricos,       principalmente       em
  problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
HISTÓRIA



A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
 mais    simples          e     mais        ágeis       cálculos   de
 expressões como

                  2,382,5 . √12,4
                            3


                   5,13,8



 O valor dessa expressão equivale ao valor de

        102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
HISTÓRIA


Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 –
 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do
 sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso
 sistema de numeração utiliza justamente a base
 10.
HISTÓRIA



Atualmente,    são      inúmeras     as   aplicações
 tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por
 exemplo,     na    resolução   de   problemas    que
 envolvem          desintegração     radiotiva,     o
 crescimento de uma população de animais ou
 bactérias, etc.
TRABALHANDO COM
POTÊNCIAS DE BASE
       10
A BASE 10



Todo número positivo pode ser escrito como uma
 potência de base 10, ou como uma aproximação
 dessa potência. Veja os exemplos:

            1 = 100         0,1 = 10–1

          10 = 101         0,01 = 10–2

         100 = 102       0,001 = 10–3

        1 000 = 103     0,0001 = 10–4

       10 000 = 104    0,00001 = 10–5
A BASE 10



Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um
  número como potência de base 10. Em valores
  aproximados apresentamos os exemplos:

             2 = 100,301

             3 = 100,477

             7 = 100,845

            11 = 101,041

            13 = 101,114
EXEMPLOS



Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva
  os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.



  4 = 22 = (100,301)2    = 100,602


  5 = 10 =       10                      = 100,699
                          = 101 – 0,301
         2      100,301

  6 = 2.3 = 100,301 . 100,477     = 100,301 + 0,477

             = 100,778
EXEMPLOS



Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva
  o número 60 como potência de base 10.




  60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10

   ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1

   ⇒ 60 = 101,778
EXEMPLOS

Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva
  a equação exponencial 2x = 12.


 2x = 12   ⇒ 2x = 22.3

 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477

 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477

 ⇒ 100,301.x = 101,079    ⇒    0,301.x = 1,079
         1,079
 ⇒ x=             ⇒ x ≈ 3,585
         0,301
LOGARITMO
COMO
EXPOENTE
LOGARITMO COMO EXPOENTE



O conceito de logaritmo está associado à operação
  potenciação: mais precisamente à determinação
  do expoente. Veja:


                2x = 8 ⇒ x = 3

 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 ,
 é igual ao expoente 3. Em símbolos,

                  log2 8 = 3
LOGARITMO COMO EXPOENTE



Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente
  ao qual se deve elevar a base 2, para obter,
  como resultado, a potência 8.
 Vale, portanto a equivalência:

             log2 8 = 3 ⇔     23 = 8


    Calcular um logaritmo é obter um expoente.
        Logaritmo é o mesmo que expoente.
DEFINIÇÃO



Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se
  ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base
  a (simbolicamente loga b = x).

             loga b = x   ⇔   ax = b


      a é a
   base;
    b é o logaritmando ou antilogaritmo;

    x é o logaritmo;
EXEMPLOS




 log2 32 = 5, porque 25 = 32

 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81


 log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001

       3                           3
 log5 √25 = 2/3, porque 5 2/3
                                 = √252

  De acordo com a definição, calcular um logaritmo
  é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma
  equação exponencial.
EXEMPLOS




 Calcular log4 8.



 log4 8 = x   ⇒   4x = 8     ⇒   (22)x = 23



              ⇒   22x = 23   ⇒   x=3
EXEMPLOS



 Calcular log1/3 √9.
                   5




                         x
                     1         5
      5
                ⇒            = √9
log1/3 √9 = x        3

                ⇒   (3–1)x = 32/5   ⇒   3–x = 32/5

                ⇒   –x = 2/5

                ⇒   x = –2/5
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO
LOGARITMO



Da definição, concluímos que o logaritmo só existe
  sob certas condições:




                           b>0
          loga b = x   ⇔   a>0
                           a≠ 1
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

 Analise quais seriam os significados de log2 (–4),
  log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem
  definidos.


 log2 (–4) = x   ⇒   2x = –4   impossível

 log–2 8 = x     ⇒   (–2)x = 8 impossível

 log7 0 = x      ⇒   7x = 0    impossível

 log1 6 = x      ⇒   1x = 6    impossível

 log0 2 = x      ⇒   0x = 2    impossível
OBSERVAÇÃO



Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis.
 Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas
 variáveis. Para isso, usamos as condições de
 existência do logaritmo.
EXEMPLOS

 Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.


      2x + 8 > 0            x > –4
                                               x>0
      x>0            ⇒      x>0          ⇒
                                               x≠1
      x≠1                   x≠1

 2o. Usando a definição de logaritmo.

 logx (2x + 8) = 2 ⇒     x2 = 2x + 8 ⇒       x2 – 2x – 8 = 0

  ⇒   x = –2 ou x = 4.            ⇒     S = {4}
CONSEQÜÊNCIA
    S DA
  DEFINIÇÃO
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Admitindo-se válidas as condições de existência
  dos   logaritmos,   temos   os   seguintes   casos
  especiais, que são conseqüências da definição.




     loga 1 = 0        porque a0 = 1

     loga a = 1        porque a1 = a


    loga ak = k        porque ak = ak
EXEMPLOS



 log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1


 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0


 log3 39 = 9


 log10 10–3 = –3
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO



Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve
  elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a
  seguinte igualdade:




                  loga k
                 a         =k
EXEMPLOS
  log5 3
 5            =3

  1 + log2 6                log2 6
 2              = 2 .2 1
                                     = 2.6 = 12



      log3 5         log3 5
 9                                    log3 5   2
               = (32)            = 3                = 52 = 25

       1 – log15 3            151               15
 15                 =                     =          =5
                                 log15 3        3
                            15
SISTEMA DE
LOGARITMOS
SISTEMA DE LOGARITMOS


Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os
  logaritmos   numa   determinada   base.   Entre   os
  infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:


O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10.
  No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se
  não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que
  log10 x.

     log x → logaritmo decimal de x (base 10)
EXEMPLOS




 log 1000 = log10 1000 = 3


 log 0,01 = log10 10–2 = –2


 log 1 = log10 1 = 0


 log 100 = log10 100 = 2
SISTEMA DE LOGARITMOS



O sistema de logaritmos naturais ou neperianos,
  utiliza, como base, o número irracional e.

Esse número foi introduzido por Euler, em meados do
  século XVIII. Seu valor aproximado é         e=
  2,71828.

O logaritmo natural de um número x pode ser
  indicado por Ln x.


    Ln x → logaritmo natural de x (base e)
EXEMPLOS



 Ln e = loge e = 1


 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3


 Ln e3 = loge e3 = 3
OBSERVAÇÃO
Chama-se   co-logaritmo   de     a   na   base   b   (em
 símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a
 na base b.



           cologb a = – logb a



  colog2 8 = – log2 8 = –3

  colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2
LOGARITMOS
 DECIMAIS
LOGARITMOS DECIMAIS



O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o
  matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).

Foi   ele   quem   construiu   a   primeira   tábua   de
  logaritmos decimais.
TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS

                                    log 13 = 1,114
n    log n   n     log n    n     log n       n    log n
                                           ou
1     0      11   1,041    21               31
                                  1,322 1,114      1,491
                                      10      = 13
2    0,301   12   1,079    22     1,342     32     1,505
3    0,477   13   1,114    23     1,362    33     1,519
4    0,602   14   1,146    24     1,380    34     1,531
5    0,699   15   1,176    25     1,398    35     1,544
6    0,778   16   1,204    26     1,415    36     1,556
7    0,845   17   1,230    27     1,431    37     1,568
8    0,903   18   1,255      28   1,447    ...      ...
                log 35 = 1,544
9    0,954   19    1,279     29   1,462    99     1,996
                       ou
10    1      20    1,301     30   1,477   100       2
                  101,544 = 35
EXEMPLOS



 Calcule os logaritmos decimais


  a) log 10
  b) log 10 000
  c) log 1013
  d) log 10–30
  e) log 0,000001
EXEMPLOS



 Consultando a tábua de logaritmos calcule


  a) log 60 + log 31 – log 5
  b) 100,903 + 101,505 – 1000,69
  c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e
  1000y = 15
EXEMPLOS



 Em valores aproximados, a tábua de logaritmos
  mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir
  desses valores, sem uso de calculadora, obtenha
  os números seguintes.


  a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.
  b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300
  c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e
       13y = 103,342.
MUDANÇA DE
   BASE
MUDANÇA DE BASE



Observe uma calculadora científica. Ela permite o
  cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla
  log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).

Como obter então, numa calculadora, logaritmos
  em outras bases?

Será possível achar, por exemplo, os valores de
  log3 5 e log7 23?
MUDANÇA DE BASE
Na tábua de logaritmos decimais, encontramos
  que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir
  deles, determine o valor log7 23.


 log10 23 = 1,362     ⇒    101,362 = 23
 log10 7 = 0,845      ⇒    100,845 = 7                log10 23
                                          log7 23 =
                                                      log10 7
 log7 23 = x     ⇒   7x = 23
  ⇒ (100,845)x = 101,362    ⇒   100,845.x = 101,362
                                     1,362
  ⇒ 0,845.x = 1,362        ⇒    x=              = 1,612
                                     0,845
FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE


De modo geral, podemos calcular logba, utilizando
  uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos
  o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k
  escolhida.             logk a
              Logb a =
                         logk b
EXEMPLOS

 Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma
  calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693.
  A partir desses valores, calcular log2 6.




           loge 6       Ln 6       1,792
log2 6 =            =          =           = 2,586
           loge 2       Ln 2       0,693
EXEMPLOS

 Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos
  decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.


5x = 20     ⇒    x = log5 20


            log10 20       log 20       1,301
log5 20 =              =            =           = 1,861
            log10 5        log 5        0
EXEMPLOS


 Se logk x = 2, calcular logx (1/k).




               logk (1/k)       –1
logx (1/k) =                =
                logk x          2
EXEMPLOS



 Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.


1o. Vamos a fórmula de mudança de base.

            log 3       0,48
 log2 3 =           =          = 1,6
            log 2       0,30



 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
EXEMPLOS
 Escrevendo os logaritmos numa mesma base,
  obtenha o valor mais simples do produto
                  log2 7 . Log7 13 . Log13 2



 1o. Vamos a fórmula de mudança de base.


             1           1         1
           log 7 . log 13 . log 2 = 1
           log 2   log 7    log 13
              1          1         1
CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE

   Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
        log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2


   Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
          log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3

   Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
         logb a = 1/loga b


   Se logx y = 3/5, calcule logy x.
          logy x = 5/3
GENERALIZANDO


  Como conseqüência da fórmula de mudança de
    base, temos:

                              loga a
                   logb a =
                              loga b



                                1
                   logb a =
                              loga b
PROPRIEDADE
   S DOS
LOGARITMOS
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS


O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele
  transforma     operações       mais   complicadas   em
  operações mais simples.

Com    as   propriedades       dos   logaritmos   podemos
  transformar:
 multiplicações em adições;

 divisões em subtrações;

 potenciações em multiplicações;

 radiciações em divisões.
LOGARITMO DO PRODUTO

Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
 valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.


log 3 = 0,477        ⇒   100,477 = 3
log 7 = 0,845        ⇒   100,845 = 7

                 log 21 =⇒ 10x = 21 log 3 + log 7
            log 21 = x    log (3.7) =

 ⇒ 10x = 3.7     ⇒   10x = 100,477.100,845
 ⇒ 10x = 100,477 + 0,845

 ⇒ x = 0,477 + 0,845          ⇒   x = 1,322
LOGARITMO DO PRODUTO

De modo geral, o logaritmo do produto de dois
 números,     numa certa base, é a         soma dos
 logaritmos desses números, na mesma base.




         Loga (x.y) = loga x + loga y



 Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade
 continua válida.
EXEMPLOS

A par tir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.




 log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13

   log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415



 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000

   log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
EXEMPLOS

Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)
  numa soma de logaritmos.


log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y

log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
EXEMPLOS

Transformar num único logaritmo e calcular o
  valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.



 log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)

 log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
LOGARITMO DO QUOCIENTE

Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
  valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.


log 2 = 0,301    ⇒   100,301 = 2
log 3 = 0,477    ⇒   100,477 = 3

          log (3/2) = x    ⇒ (3/2) =
                           log 10x = 3/2 log 3 – log 2

        3        100,477
 ⇒ 10 =
      x
          =                    = 100,477 – 0,301
        2        100,301

 ⇒   x = 0,477 – 0,301     ⇒     x = 0,176
LOGARITMO DO QUOCIENTE

De modo geral, o logaritmo do quociente de dois
  números, numa certa base, é a diferença dos
  logaritmos desses números, na mesma base.




        Loga x = loga x – loga y
             y
EXEMPLOS



A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.

              10
log 5 = log      = log 10 – log 2 = 1 – 0,301
              2

⇒ log 5 = 0,699
EXEMPLOS

Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas
  log2 (x/4y).


         x
  log2      = log2 x – log2 4y
         4y
             = log2 x – (log2 4 + log2 y)

             = log2 x – (2 + log2 y)

             = log2 x – 2 – log2 y

             = log2 x – log2 y – 2
EXEMPLOS


Compor    (transformar     num    único    logaritmo) a
 expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo
decimal. log 100 = 2.

E = log m – log 3 + log 100 – log n

E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)

E = (log 100m) – (log 3n)

          100m
E = log
           3n
LOGARITMO DA POTÊNCIA

Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor
  de log 3 = 0,477.


 log 3 = 0,477     ⇒   100,477 = 3

 log 34 = x   ⇒   10x = 34   ⇒ 10x = (100,477)4


  ⇒   x = 4 . 0,477 ⇒    x = 1,908



                       log 34 = 4 . log 3
LOGARITMO DA POTÊNCIA
Generalizando, o logaritmo de uma potência, é
 igual ao produto do expoente da potência pelo
 logaritmo da base.




            Loga xk = k . loga x
EXEMPLOS


A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.


                   9
log 0,009 = log       = log 9 – log 100
                  100

          = log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2

          = 2 . 0,477 – 2

          = 0,954 – 2 = – 1,046
EXEMPLOS
             13√3
Calcular log   4  , a partir dos valores log 2 =

  0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.



       13√3
 log          = log 13 + log √3 – log 4
         4
              = log 13 + log 31/2 – log 22

              = log 13 + 1 . log 3 – 2 . log 2
                         2
              = 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301

              = 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505
EXEMPLOS

Compor e simplificar a expressão
                  1
  E = 2.log3 12 – 3 log3 8 – 2

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo
de base 3. (log3 9 = 2).

                  1
E = 2.log3 12 –     log3 8 + log3 9
                  3

E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9

E = log3 144 – log3 2 + log3 9      = log3 144 – log3 (2.9)

                                         144
E = log3 144 – log3 18    ⇒   E = log3       = log3 8
                                         18
UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS
LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE
LOGARITMOS DECIMAIS.
n    log n   n     log n   n     log n     n     log n
1     0      11     D      21    B+C       31      J
2     A      12   2A + B   22    A+D       32     5A
3     B      13     E      23      H       33    B+D
4     2A     14    A+C     24   3A + B     34    A+F
5    1–A     15   1+B–A    25   2(1 – A)   35   1–A + C
6    A+B     16     4A     26    A+E       36   2(A+B)
7     C      17     F      27     3B       37     K
8     3A     18   A + 2B   28   2A + C     38    A+G
9     2B     19     G      29      I       39    B+E
10    1      20    1+A     30    1+B       40   1 + 2A
EXEMPLOS
(FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos
logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1
a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação
exponencial 3x = 24, encontrando-se,
aproximadamente,



                        x    Ln x         x   Ln x
   a) 2,1.
                        1    0,00         6   1,79
   b) 2,3.
                        2    0,69         7   1,95
   c) 2,5.
   d) 2,7               3    1,10         8   2,08
   e) 2,9               4    1,39         9   2,20
                        5    1,61        10   2,30
EXEMPLOS

Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em
 função de a e b.


            log 72         log 23.32
log2 72 =            =
            log 2            log 2


            log 23 + log 32          3.log 2 + 2.log 3
       =                       =
                   log 2                  log 2

            3a + 2b
       =
               a

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  • 2. QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abrir mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.
  • 3. QUAL É O TEMPO? Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor- mariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.
  • 4. VEJA OS CÁLCULOS Capital aplicado: C = 1 000 Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t 1,057 ≈ 1,407 ⇒ 1,05t = 1,5 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
  • 5. QUAL É O EXPOENTE? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,5? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.
  • 6. HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
  • 7. HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,382,5 . √12,4 3 5,13,8 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
  • 8. HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.
  • 9. HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.
  • 11. A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1 000 = 103 0,0001 = 10–4 10 000 = 104 0,00001 = 10–5
  • 12. A BASE 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100,301 3 = 100,477 7 = 100,845 11 = 101,041 13 = 101,114
  • 13. EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10.  4 = 22 = (100,301)2 = 100,602  5 = 10 = 10 = 100,699 = 101 – 0,301 2 100,301  6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477 = 100,778
  • 14. EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10.  60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10 ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 101,778
  • 15. EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079 1,079 ⇒ x= ⇒ x ≈ 3,585 0,301
  • 17. LOGARITMO COMO EXPOENTE O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3
  • 18. LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.
  • 19. DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b  a é a base;  b é o logaritmando ou antilogaritmo;  x é o logaritmo;
  • 20. EXEMPLOS  log2 32 = 5, porque 25 = 32  log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81  log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001 3 3  log5 √25 = 2/3, porque 5 2/3 = √252 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.
  • 21. EXEMPLOS  Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23 ⇒ x=3
  • 22. EXEMPLOS  Calcular log1/3 √9. 5 x 1 5 5 ⇒ = √9 log1/3 √9 = x 3 ⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = –2/5
  • 23. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b>0 loga b = x ⇔ a>0 a≠ 1
  • 24. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA  Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível
  • 25. OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.
  • 26. EXEMPLOS  Resolver a equação logx (2x + 8) = 2. 1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > –4 x>0 x>0 ⇒ x>0 ⇒ x≠1 x≠1 x≠1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}
  • 27. CONSEQÜÊNCIA S DA DEFINIÇÃO
  • 28. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a0 = 1 loga a = 1 porque a1 = a loga ak = k porque ak = ak
  • 29. EXEMPLOS  log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1  log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0  log3 39 = 9  log10 10–3 = –3
  • 30. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a =k
  • 31. EXEMPLOS log5 3  5 =3 1 + log2 6 log2 6  2 = 2 .2 1 = 2.6 = 12 log3 5 log3 5  9 log3 5 2 = (32) = 3 = 52 = 25 1 – log15 3 151 15  15 = = =5 log15 3 3 15
  • 33. SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)
  • 34. EXEMPLOS  log 1000 = log10 1000 = 3  log 0,01 = log10 10–2 = –2  log 1 = log10 1 = 0  log 100 = log10 100 = 2
  • 35. SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e= 2,71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (base e)
  • 36. EXEMPLOS  Ln e = loge e = 1  Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3  Ln e3 = loge e3 = 3
  • 37. OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a  colog2 8 = – log2 8 = –3  colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2
  • 39. LOGARITMOS DECIMAIS O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.
  • 40. TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS log 13 = 1,114 n log n n log n n log n n log n ou 1 0 11 1,041 21 31 1,322 1,114 1,491 10 = 13 2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505 3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519 4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531 5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544 6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556 7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568 8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ... log 35 = 1,544 9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996 ou 10 1 20 1,301 30 1,477 100 2 101,544 = 35
  • 41. EXEMPLOS  Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10–30 e) log 0,000001
  • 42. EXEMPLOS  Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100,903 + 101,505 – 1000,69 c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15
  • 43. EXEMPLOS  Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342.
  • 44. MUDANÇA DE BASE
  • 45. MUDANÇA DE BASE Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?
  • 46. MUDANÇA DE BASE Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23. log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23 log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log10 23 log7 23 = log10 7 log7 23 = x ⇒ 7x = 23 ⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362 1,362 ⇒ 0,845.x = 1,362 ⇒ x= = 1,612 0,845
  • 47. FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a Logb a = logk b
  • 48. EXEMPLOS  Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 Ln 6 1,792 log2 6 = = = = 2,586 loge 2 Ln 2 0,693
  • 49. EXEMPLOS  Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301. 5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301 log5 20 = = = = 1,861 log10 5 log 5 0
  • 50. EXEMPLOS  Se logk x = 2, calcular logx (1/k). logk (1/k) –1 logx (1/k) = = logk x 2
  • 51. EXEMPLOS  Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3. 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 3 0,48 log2 3 = = = 1,6 log 2 0,30 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
  • 52. EXEMPLOS  Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log2 7 . Log7 13 . Log13 2 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 . log 13 . log 2 = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1
  • 53. CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE  Compare os valores dos log5 25 e log25 5. log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2  Compare, também, os valores log2 8 e log8 2. log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3  Que conclusão se pode tirar dessas comparações? logb a = 1/loga b  Se logx y = 3/5, calcule logy x. logy x = 5/3
  • 54. GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: loga a logb a = loga b 1 logb a = loga b
  • 55. PROPRIEDADE S DOS LOGARITMOS
  • 56. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar:  multiplicações em adições;  divisões em subtrações;  potenciações em multiplicações;  radiciações em divisões.
  • 57. LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log 21 =⇒ 10x = 21 log 3 + log 7 log 21 = x log (3.7) = ⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845 ⇒ 10x = 100,477 + 0,845 ⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322
  • 58. LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x.y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
  • 59. EXEMPLOS A par tir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.  log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415  log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
  • 60. EXEMPLOS Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy) numa soma de logaritmos. log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
  • 61. EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
  • 62. LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2 log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log (3/2) = x ⇒ (3/2) = log 10x = 3/2 log 3 – log 2 3 100,477 ⇒ 10 = x = = 100,477 – 0,301 2 100,301 ⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176
  • 63. LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga x = loga x – loga y y
  • 64. EXEMPLOS A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. 10 log 5 = log = log 10 – log 2 = 1 – 0,301 2 ⇒ log 5 = 0,699
  • 65. EXEMPLOS Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/4y). x log2 = log2 x – log2 4y 4y = log2 x – (log2 4 + log2 y) = log2 x – (2 + log2 y) = log2 x – 2 – log2 y = log2 x – log2 y – 2
  • 66. EXEMPLOS Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log 3 + 2 – log n. 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2. E = log m – log 3 + log 100 – log n E = (log m + log 100) – (log 3 + log n) E = (log 100m) – (log 3n) 100m E = log 3n
  • 67. LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4 ⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908 log 34 = 4 . log 3
  • 68. LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k . loga x
  • 69. EXEMPLOS A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 9 log 0,009 = log = log 9 – log 100 100 = log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2 = 0,954 – 2 = – 1,046
  • 70. EXEMPLOS 13√3 Calcular log 4 , a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114. 13√3 log = log 13 + log √3 – log 4 4 = log 13 + log 31/2 – log 22 = log 13 + 1 . log 3 – 2 . log 2 2 = 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301 = 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505
  • 71. EXEMPLOS Compor e simplificar a expressão 1 E = 2.log3 12 – 3 log3 8 – 2 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2). 1 E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9 3 E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9 E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9) 144 E = log3 144 – log3 18 ⇒ E = log3 = log3 8 18
  • 72. UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS. n log n n log n n log n n log n 1 0 11 D 21 B+C 31 J 2 A 12 2A + B 22 A+D 32 5A 3 B 13 E 23 H 33 B+D 4 2A 14 A+C 24 3A + B 34 A+F 5 1–A 15 1+B–A 25 2(1 – A) 35 1–A + C 6 A+B 16 4A 26 A+E 36 2(A+B) 7 C 17 F 27 3B 37 K 8 3A 18 A + 2B 28 2A + C 38 A+G 9 2B 19 G 29 I 39 B+E 10 1 20 1+A 30 1+B 40 1 + 2A
  • 73. EXEMPLOS (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente, x Ln x x Ln x a) 2,1. 1 0,00 6 1,79 b) 2,3. 2 0,69 7 1,95 c) 2,5. d) 2,7 3 1,10 8 2,08 e) 2,9 4 1,39 9 2,20 5 1,61 10 2,30
  • 74. EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b. log 72 log 23.32 log2 72 = = log 2 log 2 log 23 + log 32 3.log 2 + 2.log 3 = = log 2 log 2 3a + 2b = a