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FUNÇÕES Não fujas da Matemática!
Um pouco de história... O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática.  A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função.    No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática. Leibniz
Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por  Euler , que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas. Euler Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu: “ O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.”   Hadamard
A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES... As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas.  Exemplos:  o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em  função   (depende)  do consumo;    o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso.  o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é  função (depende)  da velocidade média com que nada. Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão  “é função” no sentido de depende .
O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.
Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções.    Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil. Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática.
Função    máquina transformadora Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y). Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.
Exemplo:
TIAGO
TOMÉ
Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em  correspondência  o jogo com a aposta. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do  Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta ; no boletim do  Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta . Dizemos que, no 1.º caso, existe  uma correspondência unívoca  entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca. Assim  podemos concluir que  o boletim do Tiago representa uma função , enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
Boletim do Tiago Correspondência unívoca Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 1 2 X Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
Boletim do Tomé A correspondência neste boletim não é unívoca Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 1 2 X Nem todas as correspondências  são funções. Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x
Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se  unívoca , quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.  Por exemplo , existe uma correspondência unívoca entre o  conjunto dos alunos  de uma turma e o  conjunto das cadeiras da sala de aula , pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira. Função  é toda a correspondência unívoca, isto é,  uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
Variáveis dependentes e independentes x , y  Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010 Neste exemplo relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y). A cada localidade corresponde uma temperatura máxima. A temperatura máxima é função da localidade. Neste exemplo a variável dependente é numérica.  X- variável independente (objectos) Y- variável dependente (imagens) Localidade x Temperatura máximas em ºC y Bragança 28 Porto 30 Penhas Douradas 29 Coimbra 35 Lisboa 37 Évora 41 Beja 42 Faro 35
Assim, podemos  definir função  de outra forma: Uma correspondência entre duas variáveis é  função , se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.
LINGUAGEM DAS FUNÇÕES Exemplo: O diagrama  seguinte  estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países. Podemos , assim, estabelecer uma correspondência  à qual chamamos f. Roma    Lisboa   Brasília   Londres       Brasil  f    Itália    Inglaterra Esta correspondência representa uma função?    Holanda    Portugal A B
Roma    Lisboa   Brasília   Londres       Brasil f Ao conjunto A, chamamos  conjunto de partida   ou  domínio   da função  e representa-se por D f ; D f  = { Roma, Lisboa, Brasília, Londres}    Ao conjunto B chamamos  conjunto de chegada   da função; Conjunto de chegada = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil, Holanda}    Inglaterra    Itália    Holanda    Portugal A B
Roma    Lisboa   Brasília   Londres       Brasil f    Inglaterra    Itália Ao conjunto C chamamos  contradomínio   da função; C’ f  = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil}    Aos elementos do domínio chamamos  objectos, x  (variável independente ) ;    Aos elementos do contradomínio, chamamos  imagens, y  (variável dependente); Concluímos, neste exemplo, que o contradomínio  não coincide  com o  conjunto de chegada. Nem sempre o contradomínio coincide com o conjunto de chegada. Então, o domínio de uma função é o conjunto dos objectos . Então, o contradomínio de uma função é o conjunto das imagens. C    Holanda    Portugal A B
Polícia Marítima    3908101 Polícia de segurança pública  3466141   3474730 Polícia judiciária    3574566   3535380 Polícia municipal   7268022 Exercícios:  1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações:  A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica. Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).
2.  Observa cada das seguintes correspondências. Indica  justificando: 2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função? 2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio,  O contradomínio e o conjunto de chegada.
3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta. 3.1  A correspondência entre cada pessoa e o  número de seu cartão de cidadão. 3.3  quadriláteros triângulo círculo 3.2  Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores: Graus Celsius (ºC) 0 28 30 100 Graus Fahrenheit (ºF) 32 82.4 86 212
3.3
Observemos novamente a função, h, ao lado. Em  linguagem corrente , é possível dizer, por exemplo: Ao número 2 corresponde a letra b. Ao número 3 corresponde a letra b; Ao nº 4 corresponde a letra c. Em  linguagem matemática (SIMBÓLICA) , escrevemos: que se lê: “h de 2 é igual a b” Ou,  a imagem do objecto 2, pela função h, é b. Ou,  ao objecto 2, corresponde a imagem b, pela função h.
Significa : Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)?    Significa : Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)?
Assim, Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x). Sendo  x a variável independente  e  y a variável dependente.
Exercícios das páginas 145 e 147.
Modos de representar uma função. As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.
   Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas 1 3 5 A B g 0 1 2 3 1 3 5 0 2 4 6 Exemplo:   Consideremos os seguintes conjuntos, A= {0, 1, 2, 3}  e  B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}  e a função g: A  B, que a cada elemento de A faz corresponder o dobro de B. Represente a função dada através de um diagrama.
   Funções representadas por tabelas   A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes: Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 2 4 6 Dg D’g x y 0 0 1 2 2 4 3 6    Tabela horizontal      Tabela vertical
     Funções representadas graficamente Por  exemplo , representemos graficamente a seguinte função: O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))
Será que todos os gráficos representam funções? Observemos os gráficos cartesianos seguintes : A cada objecto corresponde uma e uma só imagem. A cada elemento do do 1.º conjunto  corresponde mais do que um elemento do 2.º conjunto. (A) (B) (C) (D)
Exemplo:  Nas férias a Marta foi alugar uma bicicleta. ALUGAM-SE BICICLETAS Máximo…  5 dias Depósito…  €2,5 € 7,5…por dia O aluguer para: - 1 dia  custa 2,5 + 7,5. 2 dias custam 2,5+2x7,5. Vamos completar o pensamento da Marta. 1 dia  custa 2,5+7,5 x 1=10 2 dias  custam 2,5+7,5 x 2=17,5 3 dias  custam 2,5+7,5 x 3=25 4 dias  custam 2,5+7,5 x 4=32,5 5 dias  custam 2,5+7,5 x 5=40    Representação de uma função por meio de uma  expressão algébrica
1 dia  custa 2,5+7,5 x 1=10 2 dias  custam 2,5+7,5 x 2=17,5 3 dias  custam 2,5+7,5 x 3=25 Se n, representar, o nº de dias de aluguer c, representar o custo, em euros É possível escrever uma expressão,  Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente? n é a variável independente  e  c é a variável dependente. ou Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa. n
Conclusão: As formas mais frequentes de represenatr uma função, são:     Diagrama sagital ou de setas;    Tabelas;    Representação gráfica;    Expressão algébrica. Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.” Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 6 12 18
Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções:       A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações.     Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto.    Uma  desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas).      Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.  
   As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função. Electrocardiograma
Exercícios da página 149.
A proporcionalidade directa como função
O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora.  Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho? Problema: Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 3,5 x R.:  Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros. Resolução:
E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho? C.A. 2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas! 60 1 x 12 2 h:12 min  corresponde  2,2 horas Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 2,2 x R.:  Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos). E se demorasse apenas 1 hora e meia? Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 1,5 x R.:  Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.
Observemos então a tabela com toda a informação anterior. 1.ª questão:  A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê? O quociente entre as duas variáveis é sempre constante. 2.ª questão:  Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa? A constante de proporcionalidade é 1,5. Significa o preço de uma hora de trabalho. Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante  uma situação de proporcionalidade directa. Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
4.ª questão:  Qual a expressão analítica desta função? Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca. 3.ª questão:  Será que a correspondência estabelecida, representa uma função?  Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma  função de proporcionalidade directa . Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
5.ª questão:  Representa  graficamente esta função? 0 Tempo (em horas) Quantia recebida (em euros) Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho. Por exemplo:  Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia? Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa? O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial. Conclusão: Toda a função f, que se pode representar por: ou ou Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade.  O  gráfico deste tipo de funções  é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial. Função de proporcionalidade directa ou função linear
Exercício: Em muitos supermercados e talhos há balanças que marcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias. Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carne a 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo. A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo: a) Observa a tabela e completa: b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê? c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa? d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa? Peso (em gramas)  x 100 200 250 300 600 1000 … Custo (em euros)  y 1 2 2,50 3 6 10 …
Exercícios da página 151
FUNÇÕES Lineares e constantes
Gráficos das funções do tipo x  y=kx
Gráficos das funções do tipo x  y=kx Exemplos: Representa graficamente a função f(x)=2x. Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________. Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos. A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores  que atribuíres  a x. Repara: x y=2x 0 1 -1,5 0 2 -3 C.A. Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.
   Y=2x Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta. A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta. O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da  função?
Representa a função  . EXEMPLO: Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos). x y=2x 0 2 0 4   Y=2x
EXEMPLO: Representa a função  . x y=2x 0 1 0 2   4 2  Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de  pontos isolados.
Exercício : Representa graficamente a função Repara que não  há qualquer restrição a impor a x , logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial. Graph Geogebra Graphmatica
DECLIVE DA RECTA  – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL. Y=2X Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades. A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K. Como determinar o declive de uma recta? Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar  no caso das funções lineares.  Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2. Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?
O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta. Exemplos: Representa o gráfico das funções f e g. f g Geogebra
Desafio… Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas? Determinar a equação da recta a partir da representação gráfica
Repara agora nas representações gráficas de algumas funções. Qual a expressão analítica de cada uma das funções? Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?
Conclusões:  As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1,k). Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal. A este tipo de funções dá-se também o nome de  funções lineares  ou como já vimos, funções de  proporcionalidade directa . Representam a função f: x  kx de proporcionalidade directa, cuja constante de proporcionalidade é k (diferente de zero). Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a decrescer).  JLeal Quanto maior é o valor de k, maior é a inclinação da recta (aproxima-se mais do eixo dos yy).
Gráficos das funções do tipo x  y=b
Grafmatica Exemplos de funções constantes: Representação gráfica: Conclusões:  Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante.   O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas). E quanto ao declive! O que pensas? Obviamente o declive de uma função constante é zero.
Faz a associação correcta Função linear Função constante
Exercícios da página 155. Hora de praticar…
     Função identidade y=x

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  • 1. FUNÇÕES Não fujas da Matemática!
  • 2. Um pouco de história... O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função.   No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática. Leibniz
  • 3. Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por Euler , que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas. Euler Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu: “ O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.”   Hadamard
  • 4. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES... As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas. Exemplos:  o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em função (depende) do consumo;  o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso.  o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é função (depende) da velocidade média com que nada. Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão “é função” no sentido de depende .
  • 5. O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.
  • 6. Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções.   Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil. Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática.
  • 7. Função  máquina transformadora Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y). Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.
  • 10. TOMÉ
  • 11. Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
  • 12. Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta ; no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta . Dizemos que, no 1.º caso, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca. Assim podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma função , enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função. Boletim do Tiago Boletim do Tomé x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
  • 13. Boletim do Tiago Correspondência unívoca Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 1 2 X Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto x     Beira-mar- Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo   x   Arouca-Braga x     Estoril- Sporting x    
  • 14. Boletim do Tomé A correspondência neste boletim não é unívoca Nº 1 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Nº 2 1 2 X Nem todas as correspondências são funções. Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto x x   Beira-mar-Nacional   x   Aves-Benfica     x Olhanense-Marítimo x x x Arouca-Braga   x   Estoril-Sporting   x x
  • 15. Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca , quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto. Por exemplo , existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula , pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira. Função é toda a correspondência unívoca, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
  • 16. Variáveis dependentes e independentes x , y Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010 Neste exemplo relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y). A cada localidade corresponde uma temperatura máxima. A temperatura máxima é função da localidade. Neste exemplo a variável dependente é numérica. X- variável independente (objectos) Y- variável dependente (imagens) Localidade x Temperatura máximas em ºC y Bragança 28 Porto 30 Penhas Douradas 29 Coimbra 35 Lisboa 37 Évora 41 Beja 42 Faro 35
  • 17. Assim, podemos definir função de outra forma: Uma correspondência entre duas variáveis é função , se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.
  • 18. LINGUAGEM DAS FUNÇÕES Exemplo: O diagrama seguinte estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países. Podemos , assim, estabelecer uma correspondência à qual chamamos f. Roma  Lisboa  Brasília  Londres   Brasil f  Itália  Inglaterra Esta correspondência representa uma função?  Holanda  Portugal A B
  • 19. Roma  Lisboa  Brasília  Londres   Brasil f Ao conjunto A, chamamos conjunto de partida ou domínio da função e representa-se por D f ; D f = { Roma, Lisboa, Brasília, Londres}  Ao conjunto B chamamos conjunto de chegada da função; Conjunto de chegada = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil, Holanda}  Inglaterra  Itália  Holanda  Portugal A B
  • 20. Roma  Lisboa  Brasília  Londres   Brasil f  Inglaterra  Itália Ao conjunto C chamamos contradomínio da função; C’ f = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil}  Aos elementos do domínio chamamos objectos, x (variável independente ) ;  Aos elementos do contradomínio, chamamos imagens, y (variável dependente); Concluímos, neste exemplo, que o contradomínio não coincide com o conjunto de chegada. Nem sempre o contradomínio coincide com o conjunto de chegada. Então, o domínio de uma função é o conjunto dos objectos . Então, o contradomínio de uma função é o conjunto das imagens. C  Holanda  Portugal A B
  • 21. Polícia Marítima 3908101 Polícia de segurança pública 3466141 3474730 Polícia judiciária 3574566 3535380 Polícia municipal 7268022 Exercícios: 1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações: A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica. Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).
  • 22. 2. Observa cada das seguintes correspondências. Indica justificando: 2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função? 2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio, O contradomínio e o conjunto de chegada.
  • 23. 3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta. 3.1 A correspondência entre cada pessoa e o número de seu cartão de cidadão. 3.3 quadriláteros triângulo círculo 3.2 Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores: Graus Celsius (ºC) 0 28 30 100 Graus Fahrenheit (ºF) 32 82.4 86 212
  • 24. 3.3
  • 25. Observemos novamente a função, h, ao lado. Em linguagem corrente , é possível dizer, por exemplo: Ao número 2 corresponde a letra b. Ao número 3 corresponde a letra b; Ao nº 4 corresponde a letra c. Em linguagem matemática (SIMBÓLICA) , escrevemos: que se lê: “h de 2 é igual a b” Ou, a imagem do objecto 2, pela função h, é b. Ou, ao objecto 2, corresponde a imagem b, pela função h.
  • 26. Significa : Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)?    Significa : Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)?
  • 27. Assim, Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x). Sendo x a variável independente e y a variável dependente.
  • 29. Modos de representar uma função. As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.
  • 30. Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas 1 3 5 A B g 0 1 2 3 1 3 5 0 2 4 6 Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos, A= {0, 1, 2, 3} e B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função g: A B, que a cada elemento de A faz corresponder o dobro de B. Represente a função dada através de um diagrama.
  • 31. Funções representadas por tabelas   A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes: Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 2 4 6 Dg D’g x y 0 0 1 2 2 4 3 6  Tabela horizontal  Tabela vertical
  • 32.    Funções representadas graficamente Por exemplo , representemos graficamente a seguinte função: O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))
  • 33. Será que todos os gráficos representam funções? Observemos os gráficos cartesianos seguintes : A cada objecto corresponde uma e uma só imagem. A cada elemento do do 1.º conjunto corresponde mais do que um elemento do 2.º conjunto. (A) (B) (C) (D)
  • 34. Exemplo: Nas férias a Marta foi alugar uma bicicleta. ALUGAM-SE BICICLETAS Máximo… 5 dias Depósito… €2,5 € 7,5…por dia O aluguer para: - 1 dia custa 2,5 + 7,5. 2 dias custam 2,5+2x7,5. Vamos completar o pensamento da Marta. 1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10 2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5 3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25 4 dias custam 2,5+7,5 x 4=32,5 5 dias custam 2,5+7,5 x 5=40  Representação de uma função por meio de uma expressão algébrica
  • 35. 1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10 2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5 3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25 Se n, representar, o nº de dias de aluguer c, representar o custo, em euros É possível escrever uma expressão, Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente? n é a variável independente e c é a variável dependente. ou Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa. n
  • 36. Conclusão: As formas mais frequentes de represenatr uma função, são:  Diagrama sagital ou de setas;  Tabelas;  Representação gráfica;  Expressão algébrica. Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.” Dg x 0 1 2 3 D’g y 0 6 12 18
  • 37. Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções:      A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações.    Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto.  Uma desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas).    Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.  
  • 38.    As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função. Electrocardiograma
  • 41. O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora. Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho? Problema: Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 3,5 x R.: Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros. Resolução:
  • 42. E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho? C.A. 2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas! 60 1 x 12 2 h:12 min corresponde 2,2 horas Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 2,2 x R.: Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos). E se demorasse apenas 1 hora e meia? Dinheiro (em euros) Tempo ( em horas) 1,5 1 1,5 x R.: Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.
  • 43. Observemos então a tabela com toda a informação anterior. 1.ª questão: A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê? O quociente entre as duas variáveis é sempre constante. 2.ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa? A constante de proporcionalidade é 1,5. Significa o preço de uma hora de trabalho. Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade directa. Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
  • 44. 4.ª questão: Qual a expressão analítica desta função? Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca. 3.ª questão: Será que a correspondência estabelecida, representa uma função? Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma função de proporcionalidade directa . Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
  • 45. 5.ª questão: Representa graficamente esta função? 0 Tempo (em horas) Quantia recebida (em euros) Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho. Por exemplo: Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia? Tempo (horas)- x 1 1,5 2,2 3,5 Quantia recebida (euros) - y 1,5 2,25 3,3 5,25
  • 46. Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa? O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial. Conclusão: Toda a função f, que se pode representar por: ou ou Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade. O gráfico deste tipo de funções é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial. Função de proporcionalidade directa ou função linear
  • 47. Exercício: Em muitos supermercados e talhos há balanças que marcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias. Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carne a 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo. A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo: a) Observa a tabela e completa: b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê? c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa? d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa? Peso (em gramas) x 100 200 250 300 600 1000 … Custo (em euros) y 1 2 2,50 3 6 10 …
  • 49. FUNÇÕES Lineares e constantes
  • 50. Gráficos das funções do tipo x y=kx
  • 51. Gráficos das funções do tipo x y=kx Exemplos: Representa graficamente a função f(x)=2x. Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________. Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos. A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores que atribuíres a x. Repara: x y=2x 0 1 -1,5 0 2 -3 C.A. Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.
  • 52.    Y=2x Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta. A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta. O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?
  • 53. Representa a função . EXEMPLO: Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos). x y=2x 0 2 0 4   Y=2x
  • 54. EXEMPLO: Representa a função . x y=2x 0 1 0 2   4 2  Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de pontos isolados.
  • 55. Exercício : Representa graficamente a função Repara que não há qualquer restrição a impor a x , logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial. Graph Geogebra Graphmatica
  • 56. DECLIVE DA RECTA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL. Y=2X Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades. A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K. Como determinar o declive de uma recta? Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar no caso das funções lineares. Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2. Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?
  • 57. O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta. Exemplos: Representa o gráfico das funções f e g. f g Geogebra
  • 58. Desafio… Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas? Determinar a equação da recta a partir da representação gráfica
  • 59. Repara agora nas representações gráficas de algumas funções. Qual a expressão analítica de cada uma das funções? Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?
  • 60. Conclusões: As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1,k). Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal. A este tipo de funções dá-se também o nome de funções lineares ou como já vimos, funções de proporcionalidade directa . Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja constante de proporcionalidade é k (diferente de zero). Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a decrescer). JLeal Quanto maior é o valor de k, maior é a inclinação da recta (aproxima-se mais do eixo dos yy).
  • 61. Gráficos das funções do tipo x y=b
  • 62. Grafmatica Exemplos de funções constantes: Representação gráfica: Conclusões:  Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante.  O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas). E quanto ao declive! O que pensas? Obviamente o declive de uma função constante é zero.
  • 63. Faz a associação correcta Função linear Função constante
  • 64. Exercícios da página 155. Hora de praticar…
  • 65.      Função identidade y=x

Notas do Editor

  1. Hadamard