Limites, derivadas e suas aplicações

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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS – CÁLCULO DIFERENCIAL PARA PERITO MG

AULA 01: LIMITES

1. Limite de uma Função Real de uma Variável

A função real de uma variável pode assumir uma das seguintes formas:

a) y = f ( x )

b) y = f ( x ) ×g ( x )

c) y = f ( x ) ± g ( x )

f ( x)
d) y =
g ( x)

e) y = n f ( x )

etc

Em qualquer uma dessas situações, o valor do limite da função quando x tende (“se aproxima”) de um número
finito é obtido substituindo-se a variável x por esse número finito. Assim, temos:

a) x → a f ( x ) = f ( a)
lim

b) lim f ( x ) ×g ( x )  = f ( a) ×g ( a)
 
x →a

c) lim f ( x ) ± g ( x )  = f ( a) ± g ( a)
 
x →a

f ( x) f ( a)
d) lim =
x →a g ( x) g ( a)

e) lim f ( x ) = f ( a)
n n
x →a

Temos que ter em mente duas situações especiais:

A +∞ ⇔ A > 0 A
lim = e lim =0
x →0 x −∞ ⇔ A < 0 x →±∞ x

AFONSO CELSO – CEL: (62) 9216-9668 / 8109-4036 Página 1


1.1. Exercícios propostos

1.1.1. Calcule os limites a seguir:

x 3 − 2x 2 + 4x + 2
1. lim =
x →2 x2 + 1

2. (
lim 5x 4 − 7 =
x →2
)
3. (
lim 7x 3 + x 2 + x + 2 =
x → +∞
)
4. (
lim 5x 4 + x 2 − x − 4 =
x → −∞
)
5. (
lim −7x 2 + 5x + 2 =
x →+∞
)
6. (
lim −13x 3 + x 2 − x + 4 =
x → −∞
)
4x + 2
7. lim =
x →5 x − 1

4x 2 + 2x + 1
8. lim =
x →+∞ 3x 2 + 1

4x 2 − 5x + 1
9. lim =
x →−∞ 3x + 1

4x 2 − 5x + 1
10. lim =
x →+∞ x 3 − 3x 2 + 2x − 1

16x 2 − 4
11. lim =
x→2 x + 2 + 3x − 2

2x 2 − 7x + 1
12. lim =
x → +∞ 5



AULA 02: DERIVADAS

1. Derivadas

1.1. Derivada por Definição

A derivada de uma função real de uma variável do tipo y = f(x) é dada pelo limite abaixo:

f ( x + h) − f ( x)
f ' ( x ) = lim
h →0 h

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 é dada pelo limite abaixo:

f ( x ) − f ( x0 )
f ' ( x ) = lim
x → x0 x − x0

1.2. Regras de Derivação

Apesar de sua importância a definição de derivada muitas vezes é monótona e trabalhosa, por isso utiliza-se as
Regras de Derivação mostradas a seguir:

1) y = k ⇒ y' = 0

2) y = u n ⇒ y ' = n ×u n −1 ×u '

• Em particular se u = x, y = x n ⇒ y ' = nx n −1 .

3) y = u ×v ⇒ y ' = u ' v + v 'u
u u ' v − v 'u
4) y= ⇒ y' =
v v2

5) y = a u ⇒ y ' = u 'a u

• Em particular, se u = x, y = ax ⇒ y ' = ax .

u'
6) y = log a u ⇒ y ' =
u ×ln a

1
• Em particular, se u = x, y = log a x ⇒ y ' = .
x ×ln a



u'
7) y = ln u ⇒ y ' =
u

1
• Em particular se u = x, y = ln x ⇒ y ' = .
x

 u'
8) y = u v ⇒ y ' = u v  v '×ln u + v × ÷
 v

Aqui temos uma observação a fazer:

Função Conceito Expressão Derivada Exemplo

y = un y = n ×u n −1 ×u ' y = ( 3x − 1)
( função ) número
2

Potência

y = 5(
y = au y ' = u '×a u 3x² − 2 )
( número ) função
Exponencial

Exponencial y = uv y = ( 3x − 1)
( função ) função
ln x
 u'
Composta y ' = u v  v '×ln u + v × ÷
 u

9) y = sen u ⇒ y ' = u '× u
cos

• Em particular se u = x, y = sen x ⇒ y ' = cos x .

10) y = cos u ⇒ y ' = −u '×sen u

• Em particular se u = x, y = cos x ⇒ y ' = −sen x .

1.3. Tabela de Derivadas



(1) y = un ⇒ y ' = nun−1 ×u'; n ∈ ¡

(2) y = au ⇒ y ' = u '×au ×ln a a>1 Ex.: y = ax ⇒ y ' = ax ×ln a

(2.1) y = eu ⇒ y ' = u'×eu Ex.: y = ex ⇒ y ' = ex

u' 1
(3) y = loga u ⇒ y ' = Ex.: y = loga x ⇒ y ' =
u ×ln a x ×ln a

u' 1
(3.1) y = loge u = ln u ⇒ y ' = Ex.: y = loge x = ln x ⇒ y ' =
u x

u u ' v − v 'u
(4) y = ⇒ y' =
v v²

(5) y = sen u ⇒ y ' = u'×cos u y = cos u ⇒ y ' = −u '×sen u

(5.1) y = tan u ⇒ y ' = u'×sec ² u

(5.2) y = co tan u ⇒ y ' = −u'×co sec ² u

(5.3) y = sec u ⇒ y ' = u'×tanu ×sec u

(5.4) y = co sec u ⇒ y ' = −u'×co tanu ×co sec u

u'
(5.5) y = arc sen u ⇒ y ' =
1 − u²

−u '
(5.6) y = arc cos u ⇒ y ' =
1 − u²

u'
(5.7) y = arc tan u ⇒ y ' =
1 + u²

−u '
(5.8) y = arc co tan u ⇒ y ' =
1 + u²

É evidente que devemos saber que:

1º) A derivada de uma constante (um nº real) é zero.

2º) A derivada de uma variável qualquer é igual à unidade.

3º) A derivada de uma soma algébrica é igual à soma algébrica das derivadas.

O aluno não deve se preocupar em memorizar as tabelas de derivadas apresentadas nesta apostila, pois essa
memorização se dará à medida que muitos exercícios forem feitos. Ninguém aprende derivar se não exercitar
bastante, esta é uma regra básica que todos devem seguir para evitar problemas no futuro.
1.4. Exercícios Propostos



2.4.1. Usando as Regras de Derivação, encontre a derivada primeira das funções a seguir:

2x + 4
1. f ( x ) =
3x − 1

2. f ( x ) = ( 7x − 1) ( x + 4 )

3 2
3. f ( x ) = + 5 x3 +
x4 x

1
( )
5
4. f ( x ) = 2x 5 + 6x −3
3

5. f ( x ) = ( 5x − 2 ) ( 3x − 1) 3
6

2x
6. f ( x ) =
3x − 1

7. f ( x ) = 2(
3x² + 6x + 7 )

8. f ( x ) = log 2 ( 2x² + 4x − 1)
1 1 
9. f ( x ) = ln  + ÷
 x x² 

10. f ( x ) = sen ( 2x + 4 )

 x 
11. f ( x ) = cos 
 2x − 1 ÷


12. f ( x ) = ( x + 1) ( 2x )
2
+3

13. f ( x ) = x ( )
ln x²

( x + 1) 2 × x − 1
14. f ( x ) =
( x + 4 ) 3 ×e x
15. . y = 5x3 + 4

17. y = 7x2 – 3

18. y = x2 – 4x + 5

19. y = 2x3 + 5x – 6



20. y = 3x3 – 2x2 + 2x + 4

21. y = 4x4 – 3x3 + 7

22. y = x4 + x3 + x2 + x + 5

23. y = (x + 2)(x + 3)

24. y = (x2 + 1)(x – 4)

25. y = (2x + 1)(3x +2)

26. y = (3x3 + 2x – 4)( 4x4 – 5x3 – 2x2 + x + 1)

5x3 3 x2
27. y = +
3 2

5 x3 4x2
28. y = −
6 5

4x 3 3x 4 x 5
29. y = + +
5 4 3

1 2 6
30. y = + +
x x2 5x 4

x +1
31. y =
x −2

2x − 3
32. y =
3x − 2

3x − 4
33. y =
2x + 5

3x2 − 4
34. y =
2x + 5

(
35. y = 2x 3 + 5 )
3

x3
36. y =
(1 + x )2

( x + 4) 2
37. y =
x+3

38. y =3 x



39. y = x 3 + 3

40. y = 2x 2 +1

41. y = 6 x − 5 x + 2 x

2 3 1
42. y = 3 x + 2x 2 − x + 2 +
x3

3 x 4 + 2x 2 − 3 x + 2
y=
43. 4x 2 + 5x + 1
2x + 3

1.5. Derivação Implícita

Exemplo Modelo: Derive implicitamente a função x2y2 + xsen ( y ) = 0

Solução:

Derivamos termo a termo:

Lembre-se que quando derivamos um termo em y, acrescentamos y’:

Iremos isolar y’:

Iremos colocar y’ em evidência:

Agora vamos isolar y’:



REGRA PRÁTICA:

 DERIVADA EM RELAÇÃO A x, COM y CONSTANTE 
y' = − ÷
 DERIVADA EM RELAÇÃO A y, COM y CONSTANTE 
Assim :
x2y2 + xsen ( y ) = 0

Aplicando a Re gra Pr ática :

 DERIVADA EM RELAÇÃO A x, COM y CONSTANTE 
y' = − ÷
 DERIVADA EM RELAÇÃO A y, COM y CONSTANTE 

2xy2 + sen ( y )
∴ y' = −
2x2y + x cos ( y )

AULA 03: DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES

1. Aplicações de Derivadas

1.1. Introdução

As derivadas têm inúmeras aplicações nos mais diversos ramos das Ciências, destacaremos os seguintes
problemas: Retas Tangente e Normal; Movimentos Retilíneos e Circulares; Análise Gráfica; Taxas Relacionadas,
etc.

Vamos começar a colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então, a derivada de uma função é
utilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explorar neste capítulo, porém não é possível
generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus
conceitos, bastando para isto que a criatividade de cada mente possa se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também
é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta
tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da
tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números
em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de
nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...



1.2. Retas Tangente e Normal a uma Curva

Como dissemos a derivada é a medida da declividade de uma reta tangente num ponto do gráfico que
representa a função dada. Para encontrarmos esta reta tangente devemos seguir os seguintes passos:

1º) Encontrar y0 = f ( x0 ) , ou seja, substituímos a abscissa do ponto de tangência na função dada.

2º) Calcular a declividade m da reta tangente, definida como m = f ' ( x0 ) ; agora, substituímos a abscissa do
ponto de tangência na derivada da função dada.

3º) Escrever a equação da reta tangente como y − y0 = m ( x − x0 ) .

A reta normal segue o mesmo procedimento, exceto que a sua equação tem a seguinte expressão
1
y − y0 = −
m
( x − x0 )
.

O procedimento acima aplica-se tanto no caso de função explícita y = f(x) ou de função implícita F(x,y) = 0.

1.2.1. Exemplos Resolvidos em Sala de Aula

1. Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y = x³ − 2x² + 4 no ponto de abscissa x0 = 2 .

2. Encontre as equações das retas tangente e normal à curva x² + 4xy + 16y2 = 27 no ponto de abscissa
x0 = 3 .

1.3. Taxas Relacionadas

1.3.1. Aplicações à Mecânica

Toda grandeza que sofre uma variação em relação ao tempo pode ser tratada com o conceito de taxas de
variação, que relacionam essas grandezas e suas derivadas em relação ao tempo.

Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas
ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade
constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial xi e
um final xf, além de um instante inicial tie um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida
pelo veículo neste trajeto, que é:



xf − xi ∆x
Vm = ou Vm =
t f − ti ∆t

Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase
que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a
fazer com que o valor de Δt se aproxime de zero:

∆x
v = lim
∆t → 0 ∆t

Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma
taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da
velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...

A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade
instantânea, precisamos apenas da função "x" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "x" com
relação a "t" e teremos:

• dx
v = x ( t ) ou v =
dt

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função x(t), todos
os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez
que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em
seguida.

Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:

O que nos dá a aceleração instantãnea:

• dv
a = v ( t ) ou a =
dt

Note que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar
desta forma:

•• d2 x
a = x ( t ) ou a =
dt2

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que
chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o
termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.



Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau
do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial
subseqüente.

Nesta primeira aplicação ao estudo dos movimentos, podemos resumir as equações de movimento abaixo.

Movimento Retilíneo

 dx
v = dt

 dv
(1) a = `
 dt
 vdv
a =
 dx

Movimento Circular

 dθ
ω = dt

 dω
(2) α =
 dt
 ωd ω
α =
 dθ

Nos problemas de Mecânica, a função horária da posição x(t) é fornecida e a partir dela determina-se a
velocidade e a aceleração em qualquer instante, quer seja no movimento retilíneo, quer seja no movimento
circular.

A posição x(t) é crescente, quando v(t) é positva; é decrescente, quando v(t) é negativa. A velocidade v(t) é
crescente, quando a a(t) é positiva; é decrescente, quando a a(t) é negativa. Avelocidade escalar é crescente
qunado v e a têm o mesmo sinal e é decrescente quando v e a têm sinais contrários.

1.3.1.1. Exemplos Resolvidos

3. A posição de uma partícula ao longo de uma reta horizontal é dada no Sistema Internacional (SI) por
x ( t ) = t³ − 9t2 + 24 . Determine:

a) As equações horárias de movimento.

b) A posição, a velocidade e a aceleração em t = 2s.



c) Os intervalos em que x é crescente e decrescente.

d) Os intervalos em que v é crescente e decrescente.

e) A distância total percorrida nos primeiros cinco segundos de movimento.

4. Uma partícula é colocada em rotação no sentido anti-horário a partir do repouso de acordo com a equação

t3
θ= − t , onde θ é dado em radianos e t em segundos.
50

a) Escreva as equações horárias de movimento.

b) Determine o deslocamento angular θ , a velocidade angular ω e a acelração angular α no final do décimo
segundo.

5. A relação x ( t ) = t − 12t + 45t − 20 , no SI, define o movimento de um ponto material. Determine:
3 2

a) A posição, a velocidade e a celeração em t = 2s.

b) O instante em que a velocidade se anula.

c) A distância total percorrida após 5 segundos de movimento.

 − 
t
6. O movimento de um disco girando em óleo é dado por θ = 0, 80  1 − e 4 ÷ , onde θ é dado em radianos e t em
 ÷
 
segundos. Determine a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do disco nos seguintes
instantes: (a) t = 0; (b) t = 4 s: (c) t = ∞ .

1.4. Análise Gráfica

A Teoria das Derivadas fornece um poderoso instrumento para a elaboração do gráfico de qualquer função e para
esboçarmos esse gráfico devemos seguir os seguintes passos:

1º) Encontrar o Domínio da Função

A restrição aos valores de x implica que nesses pontos existem descontinuidade e esses pontos podem ser retas
verticais assíntotas à curva dada.

2º) Encontrar as Raízes da Função Dada

Nem sempre será possível encontrar essas raízes, mas as raízes são pontos notáveis do gráfico que interceptam
o eixo das abscissas. Para se calcular as raízes devemos igualar a função a zero, ou seja, f(x) = 0.

3º) Encontrar os Pontos Críticos

Para encontrar os pontos críticos devemos igualar a zero a derivada primeira da função. Ou seja, se
y = f ( x) ⇒ f ' ( x) = 0
. Também podemos encontrar os máximos e os mínimos locais; para isto basta substituir
os pontos críticos na função dada.



Nesta etapa, devemos encontrar os pontos de interseção com os eixos cartesianos; desde que os cálculos não
sejam trabalhosos. Os pontos de interseção com os eixos cartesianos são calculados anulando-se a variável que
não pertence ao eixo. Se y = 0, encontra-se a interseção com o eixo das abascissas; se x = 0, encontra-se a
interseção com o eixo das ordenadas.

4º) Crescimento e Decrescimento da Função

Analisando o sinal da derivada primeira podemos estabelecer os intervalos nos quais a função é crescente ou
decrescente. Assim, temos:

• Se f’(x) > 0, então, a função y = f(x) é estritamente crescente.

• Se f’(x) < 0, então, a função y = f(x) é estritamente decrescente.

• Se f’(x) = 0, então, a função assume um valor máximo ou mínimo.

5º) Pontos de Inflexão e Concavidade

Igualando a zero a derivada segunda da função encontramos os pontos de inflexão da função. Os pontos de
inflexão são aqueles onde o gráfico da função muda a sua concavidade.

Analisando o sinal da derivada segunda estabelecemos os intervalos nos quais a concavidade do gráfico da
função se encontrada voltada para cima ou para baixo. Assim:

• Se f’’(x) > 0, então, o gráfico tem concavidade voltada para cima.

• Se f’’(x) < 0, então, o gráfico tem concavidade voltada para baixo.

• Se f’’(x) = 0, então, encontramos os pontos de inflexão da curva.

6º) Limites no Infinito (Assíntotas Vertical e Horizontal)

A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações a seguir
for verdadeira:

lim f(x) = ±∞
• x → a+

lim f(x) = ±∞
• x → a−

A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico y = f(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações a seguir
for verdadeira:

lim f ( x ) = b
• x →+∞

lim f ( x ) = b
• x →−∞

1.4.1. Exemplos Resolvidos

7. Esboçar o gráfico das funções abaixo, indicando os passos seguidos.



1. f ( x ) = 3x − 8x + 6x + 2
4 3 2

x2
2. f ( x ) =
x −3

8. Determine os máximos e os mínimos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de inflexão
das funções a seguir:

1. f ( x ) = x − 4x³ + 10
4

2. f ( x ) = x + 3x + 1
3 2

2x
3. f ( x ) = 2
x −4

4. f ( x ) = x − x
3 2

1.5. Problemas de Máximos e de Mínimos

Em muitos problemas práticos devemos lidar com situações em que pretendemos maximizar ou minimizar
determinada grandeza. Apresentamos dois métodos de examinar uma função no que diz respeito a máximos e
mínimos.

1.5.1. Primeiro Método de Determinação de Máximos e Mínimos

1º) Achar a derivada da função.

2º) Igualar a derivada a zero e achar as raízes reais da equação. Estas raízes são os valores críticos da variável.

3º) Analisemos a variação de sinais da derivada primeira em torno de seus pontos críticos. Se o sinal da derivada
muda de + para - , então, a função tem um máximo para o valor crítico examinado. Se o sinal da derivada de –
para +, então, a função tem um mínimo para o valor crítico em exame.

1.5.2. Segundo Método para o Exame de Máximos e Mínimos

1º) Achar a derivada da função.

2º) Igualar a derivada a zero e achar as raízes reais da equação obtida (os valores críticos da variável).

3º) Achar a derivada segunda.

4º) Subsituir cada valor crítico da variável na derivada segunda. Se o resultado é negativo, a função tem um
máximo para esse crítico; se o resultado é positivo, a função tem um mínimo para esse valor crítico.

Obs.: Quando f’’(x) = 0 ou não existe, o processo acima falha, embora possa haver eventualmente máximo ou
mínimo para a função e, neste caso, devemos aplicar o primeiro método.

1.5.3. Exemplos Resolvidos em Sala de Aula



9. Um fabricante de TV acha que pode vender x aparelhos por semana a p reais cada, onde 5x = 375 – 3p. O
1 2
custo de produção é C ( x ) = 500 + 15x + x . Qual a produção para se obter o lucro máximo?
5

Sugestão:

Lucro = Receita – Custo

Receita = Preço.Quantidade

10. Um ponto move-se sobre a parábola 6y = x² de tal modo que quando x = 6cm a abascissa cresce com a
velocidade de 2 cm por segundo. Com velocidade cresce a ordenada nesse instante?

11. O raio da base de um cone cresce 3 cm/min e sua altura decresce 4 cm/min. Como variará a área total do
cone quando o raio for 7 cm e a altura 24 cm?

A T = πRg + πR2 , onde existe a seguinte relação entre a geratriz,
Sugestão: A área total de um cone é dada por:
g2 = R2 + h2 .
a altura e o raio do cone

1.6. Regra de L’Hospital

Quando, para um particular valor da variável independente, a função assume uma das formas:
0 ∞
, , 0 × ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
0 ∞ , estamos diante de uma indeterminação; e a função não é definida para aquele
valor da variável independente.

Neste curso estamos interessados apenas nas duas primeiras formas de indeterminação.

0 ∞
Para levantarmos indeterminações do tipo 0 ou ∞ , lançamos mãos da Regra de L’Hospital procedendo da
seguinte maneira:

1º) Derive o numerador e denominador separadamente.

2º) As derivadas obtidas seão o numerador e o denominador de uma nova fração cujo valor no ponto de
indeterminação da fração original é o limite desta fração quando a variável tende para o ponto de
indeterminação.

3º) Se necessário repita o processo até que a indeterminação seja removida.

1.6.1. Exemplos Resolvidos em Sala de aula

12. Verifique as indeterminações e resolva os limites

sen ( nx )
lim =
1. x →0 x



ex − e−x − 2x
lim =
2.
x →0 x − sen x

x2 − 16
lim =
3.
x→4 x2 + x − 20

ln x
lim =
4. x →1 x −1

1.7. Propriedades dos Logaritmos Aplicadas às Derivadas

1.7.1. Motivação

Entre as mais diversas aplicações das propriedades dos logaritmos destacamos a resolução de cálculo de certas
derivadas, como a do exemplo a seguir que deixamos como tarefa de casa para os nossos alunos.

Primeiro, vamos apresentar a resolução de uma forma tradicional com o uso da regra da cadeia; em seguida
apresentaremos a resolução aplicando as propriedades dos logaritmos. Escolher um ou outro método fica a
critério de cada um; mas cremos que o segundo método seja o mais adequado.

Derive a expressão y =
( 3
)
x³ + 1 ( x³ + 5x )
6

( x² + 3) 2
Solução pela Regra da Cadeia:

( )
1
x³ + 1 ( x³ + 5x )
3 6

y= ⇔y=
( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6
( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2
Definimos:

1
z = ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) ( 1)
6

( )
2
w = x2 + 3 ( 2)

Dessa forma, temos:

z z ' w − zw '
y= ⇒ y' = ( 3)
w w2



Mas:

1
z = ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )
6

1 2 1
1 −3
z = u3 ×v6 ⇒ z ' = u u' v6 + 6v5v 'u3
3
u = x³ + 1 ⇒ u' = 3x²
v = x³ + 5x ⇒ v ' = 3x² + 5
Substituindo :
2 1
z' =
1
3
( )
( x³ + 1) − 3 3 x² ( x³ + 5x ) 6 + 6 ( x³ + 5x ) 5 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3
2 1
z ' = x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 + 6 ( x³ + 5x ) 5 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( 4)
−
3

( )
2
w = x2 + 3 ⇒ w ' = 2 ( x² + 3 ) ( 2x ) ∴ w ' = 4x ( x² + 3 ) ( 5)

Substituindo (1), (2), (4) e (5) em (3):

z ' w − zw '
y' =
w2
 2 1  1
6
x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x ( x³ + 3 )
− 6 5 2

   
y' =  2
  
( x³ + 3 ) 2 

 

 2 1  1
6
x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x ( x³ + 3 )
− 6 5 2

   
y' =    
( x³ + 3 )
4

 2 1  1
6
x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x
− 6 5

   
y' =    
( x³ + 3)
3

 2 1  1
6
x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) + 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3  ( x³ + 3 ) − ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  4x
− 6 5

   
y' =    
( x³ + 3 )
3

2 1 1
x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 ( x³ + 3) 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( x³ + 3)
− 5
4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )
6
3
y' = + −
( x³ + 3) 3 ( x³ + 3) 3 ( x³ + 3) 3

2 1 1
x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 4x ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6
− 5
3 3 3
y' = + −
( x³ + 3) ( x³ + 3 ) ( x³ + 3 )
2 2 3

Logo:

2 1 1
x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( x³ + 5x ) ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )
− 5 6
3
y' = + −
( x³ + 3) 2 ( x³ + 3) 2 ( x³ + 3) 3


é a derivada pedida.

Solução pelas Propriedades dos Logaritmos:

( )
1
x³ + 1 ( x³ + 5x )
3 6
( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6
y= ⇔y= ( 1)
( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2
Aplicando o logaritmo neperiano (ln) a ambos os membros da expressão (1),e aplicando as propriedades dos
logaritmos, obtemos:

 1
6
 ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 
ln y = ln  
 ( x² + 3) 2 
 
 1
6
ln y = ln ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )  − ln ( x² + 3 )
2


 

1
ln y = ln ( x³ + 1) 3 + ln ( x³ + 5x ) − ln ( x² + 3 )
6 2

1
ln y = ln ( x³ + 1) + 6 ln ( x³ + 5x ) − 2 ln ( x² + 3 ) ( 2)
3

Derivando a expressão (2) e levando em conta (1):



1
ln y = ln ( x³ + 1) + 6 ln ( x³ + 5x ) − 2 ln ( x² + 3 )
3
y ' 1 3x²
= × +6×
( 3x² + 5) − 2 × 2x
y 3 x³ + 1 x³ + 5x x² + 3

y' =
1
×
3 x²
y +6×
( 3x² + 5) y − 2 × 2x y
3 x³ + 1 x³ + 5x x² + 3
1 1 1
x² ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x ) 6

y' = × + × − ×
( x³ + 1) ( x² + 3) 2 ( x³ + 5x ) ( x² + 3) 2 ( x² + 3) ( x² + 3) 2
2 1 1
x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5 ) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )
− 6
3
y' = + −
( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 3

Logo:

2 1 1
x² ( x³ + 1) ( x³ + 5x ) 6 6 ( 3x² + 5) ( x³ + 1) 3 4x ( x³ + 1) 3 ( x³ + 5x )
− 6
3
y' = + − é a derivada pedida.
( x² + 3) 2 ( x² + 3) 2 ( x² + 3) 3
Compare os dois métodos e divirta-se!

1.7.2. Demonstrações de Algumas Fórmulas de Derivadas

1ª) Regra da Função Produto

Seja y = u g , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:
v

y = u g ⇒ ln y = ln ( u g ) ⇔ ln y = ln u + ln v
v v
Derivando :
y' u' v' u' v'
= + ⇔ y ' = gy + gy
y u v u v
Substituindo y = u g :
v
u' v' u' v'
y ' = gy + gy ⇔ y ' = g u g + g u gv ∴ y ' = u 'g + v 'g
u v u
v
v
v u ( ) ( )
Assim :
y = u g ⇒ y ' = u 'g + v 'g
v v u

2ª) Regra da Função Quociente



u
Seja y= , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:
v

u u
y= ⇒ ln y = ln  ÷ ⇔ ln y = ln u − ln v
v v
Derivando :
y' u' v' u' v'
= − ⇔ y' = g − g y y
y u v u v
u
Substituindo y = :
v
u' v' u'  u  v'  u  u ' v'u
y ' = gy − gy ⇔ y ' = g ÷− g ÷ ⇔ y ' = − 2
 
u v u  v  v v v v
u ' v'u u 'v − v'u
y' = − 2 ⇔ y' =
v v v2
Assim :
u u 'v − v'u
y = ⇒ y' =
v v2

3ª) Regra da Função Potência

Seja y = u n , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:

( )
y = u n ⇒ ln y = ln u n ⇔ ln y = n ln u
Derivando :
y' u' u'
= ng ⇔ y ' = ng g y
y u u
Substituindo y = u g :
v
u' u'
( )
y ' = n g g ⇔ y ' = y ' = n g g u n ⇔ y ' = n ×u '×u n ×u −1 ∴ y ' = n ×u '×u n −1
u
y
u
Assim :
y = u n ⇒ y ' = n ×u '×u n −1

4ª) Regra da Função Expoente



Seja y = a u , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:

( )
y = a u ⇒ ln y = ln a u ⇔ ln y = u ln a
Derivando :
y'
= u '× a ⇔ y ' = u '× a ×y
ln ln
y
Substituindo y = a u :
ln ln ( )
y ' = u '× a ×y ⇔ y ' = u '× a × a u ∴ y ' = u '× u × a
a ln
Assim :
y = a u ⇒ y ' = u '× u × a
a ln

5ª) Regra da Função Expoente de Função

Seja y = u v , aplicando o logaritmo neperiano a ambos os lados:



( )
y = u v ⇒ ln y = ln u v ⇔ ln y = v ln u
Derivando :
y' u' u'
= v '×ln u + ×v ⇔ y ' = v '×ln u ×y + ×v ×y
y u u
Substituindo y = u v :
u'
u
( )u'
y ' = v '×ln u ×y + ×v ×y ⇔ y ' = v '×ln u × u v + ×v × u v
u
( )
 u '×v  v  u × '× u + u '× 
v ln v
y ' = u v  v '×ln u + ÷⇔ y ' = u  ÷
 u   u 
y ' = u v ×u −1 ( u ×v '×ln u + u '×v ) ∴ y ' = u v−1 ( u ×v '×ln u + u '×v )
Assim :
y = u v ⇒ y ' = u v−1 ( u ×v '×ln u + u '×v )

Como se pode notar das demonstrações acima, a utilização das Propriedades Operatórias dos Logaritmos permite
calcular as derivadas das funções com muita facilidade. Acompanhe os exemplos.

1.7.3. Exercícios Resolvidos

1. Utilizando as Propriedades dos Logaritmos, derive as funções a seguir:

a) y = xx

Solução:

( )
y = x x ⇔ ln y = ln x x ⇔ ln y = x ×ln x
Derivando :
y' 1 y'
ln y = x ×ln x ⇔ = 1 ×ln x + ×x ⇔ = ln x + 1∴ y ' = y ×ln x + y
y x y
Susbtituindo y = x x :

( )
y ' = y ×ln x + y ⇔ y ' = x x ×ln x + x x ∴ y ' = x x ( ln x + 1)

2
b) y = 3x

Solução:



2
y = 3x ⇔ ln y = ln 3x ( ) ⇔ ln y = x ×ln 32
2

Derivando :
y'
ln y = x 2 ×ln 3 ⇔ = 2x ×ln 3 ⇔ y ' = 2x ×ln ( 3 ) ×y
y
2
Substituindo y = 3x :
2 2
y ' = 2x ×ln ( 3) ×y ⇔ y ' = 2x ×ln ( 3) × x ∴ y ' = 2x × x ×ln 3
3 3

( )
4
y = ( x + 7) × x2 − 3
5
c)

Solução:

( ) ( )
4 4
y = ( x + 7) × x2 − 3 ⇔ ln y = ln ( x + 7 ) × x 2 − 3
5 5

( ) ( )
4
ln y = ln ( x + 7 ) + ln x 2 − 3 ⇔ ln y = 5ln ( x + 7 ) + 4 ln x 2 − 3
5

Derivando :
y' 5×1 4 × 2x )
( y' 5 8x
= + ⇔ = +
y ( x + 7) 2
x −3 (
y ( x + 7) 2
x −3 ) ( )
5 8x
y' = ×y + ×y
( x + 7) 2
x −3 ( )
( )
4
Substituindo y = ( x + 7 ) × x 2 − 3 :
5

( ) ( )
5 4 8x 4
× x + 7) × x2 − 3
( ×( x + 7 ) × x 2 − 3
5 5
y' = +
( x + 7) ( x 2 − 3)
Simplificando :
3

( ) ( )
4
5 4 8x 4
× x + 7)
( × x + 7) × x − 3
(
5 2 5 2
y' = × x −3 +
( x + 7) (x 2
−3 )
Logo :

( ) ( )
4 3
y ' = 5 × x + 7) × x2 − 3
( + 8x ×( x + 7 ) × x 2 − 3
4 5


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