1. SISTEMAS LINEARES
PROFESSORA ROSANA QUIRINO

2. EQUAÇÃO LINEAR

Para que uma equação seja considerada uma equação linear
deverá ser escrita da seguinte forma geral:
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b
Cada elemento dessa equação possui um significado: os
elementos a1, a2, a3, ... an são coeficientes das incógnitas x1, x2,
x3, ... , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da
equação linear).
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor
igual a zero a equação linear será HOMOGENEA .
Um determinado conjunto será a solução da equação linear se
todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da
equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas
incógnitas da equação linear a igualdade
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira.

3. EXEMPLO:

Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a
equação linear -2x + y + 5z = 11, para
verificar se é verdadeira essa solução
deve-se substituir os valores 0, 1 e 10
nas suas respectivas incógnitas.

4. NOTAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A EQUAÇÃO LINEAR:

• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor
numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá
solução. (SOLUÇÃO IMPOSSÍVEL)
• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor
numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer
valor real no seu conjunto solução. (SOLUÇÃO INDETERMINADA)
Exemplo:
Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da
equação
3x + 5y – mz + t = 0
Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da
equação:
3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0 ∴ m = -6
Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação,
m deverá assumir valor igual a -6.

5. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema (abreviadamente, sistema linear) é
um conjunto finito de equações lineares aplicadas
num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.

O sistema linear também pode ser conceituado como
um sistema de equações do primeiro grau, ou seja,
um sistema no qual as equações possuem
apenas polinômios em que cada parcela tem apenas
uma incógnita. Em outras palavras, num sistema
linear, não há potência diferente
de um ou zero tampouco pode
haver multiplicação entre incógnitas.

6. EXEMPLO:
3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −2
3𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑧 = 6
O Sistema linear apresentado está na forma
escalonada.

7. MÉTODO DO ESCALONAMENTO

O método do escalonamento consiste em, por meio de
operações de adição ( subtração ) e multiplicação
( divisão ) , diminuir a quantidade de incógnitas nas
equações.
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1
−3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −2
4𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 0

8. CLASSIICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

9. Número de soluções

Dado um sistema linear, apenas uma das situações
abaixo pode ocorrer:
O sistema tem solução única
 O sistema tem infinitas soluções
 O sistema não admite solução


10. NÚMERO DE SOLUÇÕES
x2
2 x1  x2  3

 x1  3x2  2
4
3
2
1
-0.5
0.5
-1
-2
Solução única
1
1.5
2
2.5
x1

11. NÚMERO DE SOLUÇÕES
x2
2 x1  x2  3

4 x1  2 x2  6
6
4
2
-2
-1
1
2
-2
Infinitas soluções
-4
-6
3
4
5
x1

12. NÚMERO DE SOLUÇÕES
x2
2 x1  x2  3

4 x1  2 x2  2
4
2
-1
-0.5
0.5
-2
Não admite solução
1
1.5
2
x1

13. NÚMERO DE SOLUÇÕES

Graficamente...

Solução única:


Infinitas soluções:


Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se
cruzam.
Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções
do sistema.
O sistema não admite solução:

Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe
nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

14.  Em
geral, um sistema linear com três
equações em três incógnitas pode ou não
representar uma reta no espaço. Isso vai
depender do tipo de solução do sistema. Por
exemplo, as equações do sistema podem
representar três planos paralelos que não se
interceptam, o que significa que o sistema não
possui solução (isso também vai ocorrer se as
equações representarem dois planos
paralelos, isto é, duas das três equações são
proporcionais e representam o mesmo plano,
enquanto que a terceira tem apenas os
coeficientes das variáveis proporcionais às
outras duas e representa um plano paralelo).

16. PODE ACONTECER QUE O SISTEMA TENHA UMA ÚNICA SOLUÇÃO,
ISTO É, OS TRÊS PLANOS SE INTERCEPTEM EM UM ÚNICO PONTO.

17. SOMENTE SE O CONJUNTO SOLUÇÃO DO SISTEMA FOR UM
CONJUNTO INFINITO A UM PARÂMETRO, ENTÃO OS TRÊS PLANOS
SE INTERCEPTAM AO LONGO DE UMA RETA.

18. Discussão e análise do Sistema Linear
Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de
forma a determinar os valores dos coeficientes das
equações que fazem com que o sistema possa ser
Possível e Determinado (SPD), Possível e
Indeterminado (SPI) e Impossível (SI).
Impondo condições sobre um dos coeficientes já é
possível discutir esse sistema e relacionar quais valores
esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com as
classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.

19. 1- Na loja de artesanato Local um turista se interessou por uma
determinada peça de cerâmica e um certo modelo de toalha. Se
ele comprar 3 dessas peças e 2 dessas toalhas, deverá pagar o
total de R$ 225,00. Se comprar 2 dessas peças e 3 dessas
toalhas deverá pagar o total de R$ 300,00. Com base nessas
informações, assinale o que for correto.
(01) Na loja Local, cada uma dessas peças de cerâmica custa
R$ 18,00.
(02) Cada uma dessas toalhas custa, na loja Local, R$ 90,00.
(04) Na compra de uma dessas toalhas e uma dessas peças na
loja Local, deve-se pagar o total de R$ 110,00.
(08) Com a quantia de R$ 250,00 é possível comprar no máximo
16 dessas peças de cerâmica na loja Local.
(16) Se na loja Modal o preço dessa toalha corresponde a do
preço na loja Local, então o preço de duas dessas toalhas na
loja Modal é R$ 250,00.
(32) Todos os itens acima estão incorretos.

20. 2- Para que a tripla ordenada (2, 5, 3) seja solução da
equação linear kx + y + 2z = 19, devemos ter k igual a ...
a) 4 b)8
c)9
d)3
e)2
3- O sistema :
a) é impossível se a=4 e b = -2
b) é possível e determinado se a = 4 e b = -2
c) é impossível se a 4 e b -2
d) é determinado se a = 4
e) é indeterminado se a = 4 e b = -2

21. 4- Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um
período de 1 hora:
 A e B juntas imprimem 130 folhas;
 A e C juntas imprimem 140 folhas;
 B e C juntas imprimem 150 folhas.
Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:
(equacione e resolva o problema)
5- Escalone, resolva e classifique o sistema.