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Produtos Notáveis




    Ângelo Moreira dos Reis
Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem
 alguns produtos muito usuais. É recomendado então
                 sabê-los “de cor”.
• QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
        •SOMA PELA DIFERENÇA:

    (a + b) . (a – b) = a2 – b2
    • CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma
   multiplicação de fatores. Fatoração é o processo
             inverso dos produtos notáveis.
Veja os retângulos e suas respectivas áreas:




•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.
•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.
•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.
                 Qual polinômio representa a área total?

                   AT = ax + ay + az = a (x + y + z)
   Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto
        a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração
 muito importantes para o desenvolvimento do cálculo
                      algébrico.


      •Fator comum em evidência;
      •Fatoração por agrupamento;
      •Diferença de dois quadrados;
      •Trinômio do Quadrado Perfeito;
      •Soma ou diferença de dois cubos.
Como já foi dito fatorar significa transformar uma
       soma em produto de dois ou mais termos.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam
      um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.
Por exemplo:

•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois
termos, este é o fator comum.
  A forma fatorada é o produto do fator comum por uma
expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo
                       fator comum.
É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR
                       COMUM EM EVIDÊNCIA.




Exemplos:
•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)
•ax + bx +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)
•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
Neste processo verificamos que:
            a2 – b2 = (a + b).(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

                    a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Para reconhecer se um trinômio é um quadrado
perfeito, proceda da seguinte forma:
• Verifique se a expressão tem dois termos que são
  quadrados perfeitos (a2 e b2);
• Determine as raízes desses quadrados (a e b);
• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas
  raízes (+2ab ou –2ab).
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

    a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
FIM!

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Fatoração

  • 1. Produtos Notáveis Ângelo Moreira dos Reis
  • 2. Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem alguns produtos muito usuais. É recomendado então sabê-los “de cor”.
  • 3. • QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 •SOMA PELA DIFERENÇA: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 • CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
  • 4. Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Fatoração é o processo inverso dos produtos notáveis.
  • 5. Veja os retângulos e suas respectivas áreas: •O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax. •O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay. •O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az. Qual polinômio representa a área total? AT = ax + ay + az = a (x + y + z) Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
  • 6. Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração muito importantes para o desenvolvimento do cálculo algébrico. •Fator comum em evidência; •Fatoração por agrupamento; •Diferença de dois quadrados; •Trinômio do Quadrado Perfeito; •Soma ou diferença de dois cubos.
  • 7. Como já foi dito fatorar significa transformar uma soma em produto de dois ou mais termos. Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Por exemplo: •Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos, este é o fator comum. A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo fator comum.
  • 8.
  • 9. É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. Exemplos: •x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y) •ax + bx +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2) •y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
  • 10. Neste processo verificamos que: a2 – b2 = (a + b).(a – b)
  • 11. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Para reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, proceda da seguinte forma: • Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2); • Determine as raízes desses quadrados (a e b); • Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).
  • 12.
  • 13. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
  • 14. FIM!