As três principais ideias do documento são: 1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial. 2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários. 3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.

1. Prof. Jorge
Professor Antonio Carlos Carneiro
Barroso
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2. Prof. Jorge
Funções
exponenciais

3. Prof. Jorge
As aparências enganam
 Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro
dia, Hugo, o melhor aluno da sala em
Matemática, fez a Mateus uma proposta
estranha:
ou melhor,
as potências
Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar
10000 reais por dia. Em compensação, você me
dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia,
o triplo do dia anterior.

4. Prof. Jorge
A operação potenciação
 Se a, b e x são números reais, define-se a
operação potenciação, expressa pela
igualdade:
ax
= b
a é a base
x é o expoente
b é a potência
 De acordo com o tipo de expoente, a potenciação
apresenta restrições quanto ao valor da base.

5. Prof. Jorge
A operação potenciação
 Potência de expoente natural
Se a é real e n é natural, definimos:
 a0
= 1 (a ≠ 0)
 a1
= a
 an
= a.a.a. ... .a (n ≥ 2)
n fatores

6. Prof. Jorge
 (√5)1
= √5
Exemplos
 60
= 1
 (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32

7. Prof. Jorge
A operação potenciação
 Potência de expoente inteiro negativo
Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se:
a–n
=
1
a
n
=
1
an

8. Prof. Jorge
Exemplos
 5–1
=
1
51
=
1
5
.
–8
3
-1
=
–3
8
1
=
–3
8

9. Prof. Jorge
A operação potenciação
 Potência de expoente inteiro fracionário
racional
Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0,
define-se:
a =
m
n n
√am

10. Prof. Jorge
√4
Exemplos
 41/2
=
.
√25 251/2
= = 5
√16 161/3
= = 2√23 3
= 2

11. Prof. Jorge
Propriedades da
potenciação

12. Prof. Jorge
ay
b
Propriedades operatórias
ax
. ay
= ax+y
ax
= ax–y
(ax
)y
= ax.y
(a.b)x
= ax
.bx
a x
bx
ax
=

13. Prof. Jorge
√3
33
.32
Exemplos
 40,3
. 40,2
= 40,3+0,2
= 40,5
= 41/2
= √4 = 2
 32x – 1
=
32x
31
=
(3x
)2
3
=
31/2
33
.32
= 33 + 2 – 1/2
= 39/2
5x
2x
.32x
=
5x
2x
.(32
)x
=
5x
2x
.9x
=
5
2.9
x
=
5
18
x
.
.

14. Prof. Jorge
Crescimento e
decrescimento exponencial

15. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
 Vamos imaginar o seguinte experimento.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC,
aumenta em 30% a cada minuto.
 Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é
multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).

16. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
 Vamos obter as temperaturas em o
C, em
alguns instantes do experimento.
 Temperatura inicial: T0 = 10
 1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3)
 2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69)
= 13
= 16,9
 3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22
 4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6
 6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3
 t minutos: T = 10.(1,3)t

17. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
 Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(o
C)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(o
C)
0 10
1 13
2 16,9
3 22
4 28,6
6 48,3

18. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
 Vamos supor agora a seguinte situação.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC,
diminui em 20% a cada minuto.
 Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é
multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).

19. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
 Vamos obter as temperaturas em o
C, em
alguns instantes do experimento.
 Temperatura inicial: T0 = 70
 1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8)
 2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64)
= 56
= 44,8
 3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8
 4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7
 6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3
 t minutos: T = 70.(0,8)t

20. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
 Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(o
C)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(o
C)
0 70
1 56
2 44,8
3 35,8
4 28,7
6 18,3

21. Prof. Jorge
Funções exponenciais
 Funções como a que acabamos de analisar
são chamadas de funções exponenciais.
 Nos dois casos a variável t é expoente de uma
potência de base constante.
T = 10.(1,3)t
T = 70.(0,8)t
 base (1,3) ⇒ Crescente.
 base (0,8) ⇒ Decrescente.

22. Prof. Jorge
Funções exponenciais
elementares

23. Prof. Jorge
Funções exponenciais
 De modo geral, se a é uma constante real (a > 0
e a ≠ 1), chamamos de função exponencial
elementar de base a a função definida por:
y = f(x) = ax

24. Prof. Jorge
Exemplos
 y = 5x
→ base 5
 y = (0,3)x
→ base 0,3
 y = 2–x
ou y =
1
2
x
→ base 1/2

25. Prof. Jorge
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
 Traçar o gráfico da função exponencial
elementar y = f(x) = 2x
.
Exemplos
42
21
10
½–1
¼–2
y = 2x
x
D = R e Im = R+
*
→ função é crescente

26. Prof. Jorge
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Exemplos
 Traçar o gráfico da função exponencial
elementar y = f(x) = (1/2)x
.
¼2
½1
10
2–1
4–2
y = (1/2)x
x
D = R e Im = R+
*
→ função é decrescente

27. Prof. Jorge
Funções exponenciais - Resumo
 Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos
algumas conclusões sobre a função
exponencial elementar y = ax
(a > 0 e a ≠ 1):
 O domínio é os Reais;
 O conjunto imagem é os Reais positivos;
 Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.
 Ela é decrescente em todo o seu domínio para
0 < a < 1.

28. Prof. Jorge
Propriedades da função
exponencial elementar

29. Prof. Jorge
Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax
(a > 0 e a ≠ 1), é
injetora. Isso significa que potências de mesma
base só são iguais se os expoentes forem iguais.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
am
= an
m = n⇔
y = 2x

30. Prof. Jorge
Exemplos
 5x
= 53
⇔ x = 3
 3x – 1
= 32
⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3

31. Prof. Jorge
x
y
0
1
Propriedades operatórias
 Os gráficos de todas as função exponenciais têm
apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa
que potências de bases diferentes só são iguais
apenas se o expoente comum é 0.
am
= bm
m = 0⇔
y = 2xy = 4x
y = 2–x

32. Prof. Jorge
Exemplos
 3x
= 7x
⇔ x = 0
 2x + 1
= 5x + 1
⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1
 53x – 6
= 7x – 2
⇒ (53
)x – 2
= 7x – 2
⇒ 125x – 2
= 7x – 2
⇒ x – 2 = 0
⇒ x = 2

33. Prof. Jorge
am
> an
m > n⇔
Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax
é crescente em todo
o seu domínio, se a > 1.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
 Quanto maior o expoente
x maior é a potência ax
.
Mesmo sentido
y = 2x

34. Prof. Jorge
am
> an
m < n⇔
Propriedades operatórias
 A função exponencial y = ax
é decrescente em
todo o seu domínio, se 0 < a < 1.
 Quanto maior o expoente
x menor é a potência ax
.
Sentidos contrários
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
y = 2–x

35. Prof. Jorge
Exemplos
 32
< 35
⇔ 2 < 5
 (0,7)3
< (0,7)–2
⇔ 3 > –2
base > 1, sinal mantido
0 < a < 1, sinal invertido
 2x
> 2–3
⇒ x > –3
a > 1, sinal mantido

36. Prof. Jorge
Equações e inequções
exponenciais

37. Prof. Jorge
Equacões exponenciais
 Chama-se equação exponencial toda equação
cuja incognita aparece no expoente.
 A resolução de uma equação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
am
= an
m = n⇔
am
= bm
m = 0⇔
P1
P2

38. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as equações exponenciais.
a) 3x
= 27
3x
= 27 ⇒ 3x
= 33
⇒ x = 3
b) 52x – 1
= 125
52x – 1
= 125 ⇒ 52x – 1
= 53
⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

39. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as equações exponenciais.
c)
22x
.2x+7
23 – x
= 1
22x
.2x+7
23 – x
= 1 ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x)
= 20
⇒ 24x + 4
= 20
⇒ 4x + 4 = 0
⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1

40. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as equações exponenciais.
d)
2
3
x + 1
=
9
4
2
3
x + 1
=
3
2
2
⇒
2
3
x + 1
=
2
3
–2
⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3

41. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as equações exponenciais.
e) 2x + 1
– 2x
+ 3.2x – 2
= 14
2x
.21
– 2x
+ 3.2x
.2–2
= 14
Vamos isolar em toda equação a potência 2x
.
Fazendo 2x
= y.
2y – y + 3. y
4
= 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56
⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8
⇒ 2x
= 8 ⇒ 2x
= 23
⇒ x = 3

42. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as equações exponenciais.
f) 9x
+ 3x + 1
= 4
(32
)x
+ 3x
.3 = 4
Vamos isolar em toda equação a potência 3x
.
Fazendo 3x
= y. ⇒ y2
+ 3y – 4 = 0
⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x
= –4
(impossível)
⇒ 3x
= 1 ⇒ 3x
= 30
⇒ (3x
)2
+ 3x
.3 = 4
⇒ x = 0

43. Prof. Jorge
Inequacões exponenciais
 Chama-se inequação exponencial toda
inequação cuja incognita aparece no expoente.
 A resolução de uma inequação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
P3
P4
am
> an
m > n⇔
Mesmo sentido
am
> an
m < n⇔
Sentidos contrários
⇒ para a > 1
⇒ para 0 < a < 1

44. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as inequações exponenciais.
a) 53x – 1
> 25x + 2
53x – 1
> (52
)x + 2
⇒ 53x – 1
> 52x + 4
⇒ 3x – 1 > 2x + 4
base > 1, mantém-se o sentido
⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3

45. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as inequações exponenciais.
b) (0,9)2x – 1
≤ (0,9)x + 2
(0,9)2x – 1
≤ (0,9)x + 3
⇒ 2x – 1 ≥ x + 3
base < 1, inverte-se o sentido
⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4

46. Prof. Jorge
Exemplos
 Resolver as inequações exponenciais.
c) 9x
– 3x + 1
– 3x
+ 3 ≤ 0
(32
)x
– 3x
.31
– 3x
+ 3 ≤ 0
Vamos isolar em toda equação a potência 3x
.
Fazendo 3x
= y.⇒ (3x
)2
– 3x
.3 – 3x
+ 3 ≤ 0
⇒ y2
– 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2
– 4y + 3 ≤ 0
⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x
≤ 3 ⇒ 30
≤ 3x
≤ 31
⇒ 0 ≤ x ≤ 1

47. Prof. Jorge
Calculando juros compostos
ou capitalizados

48. Prof. Jorge
Exemplos
 Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00,
pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final
de cada mês sua dívida é acrescida dos juros
relativos o mês. Qual será o montante M da dívida
após t meses?
 1º mês: M1 = 1 000.1,05
 2º mês: M2 = M1.1,05 = 1 000.(1,05)2
 3º mês: M3 = M2.1,05 = 1 000.(1,05)3
 4º mês: M4 = M3.1,05 = 1 000.(1,05)4
...............................................................
 t meses: M = 1 000.(1,05)t
100% + 5% = 105%
(1 + i) = 1,05

49. Prof. Jorge
Calculando juros compostos
 Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator
de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses,
no sistema de juros compostos é calculado pela
fórmula:
M = C.(1 + i)t
Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t
estejam expressos na mesma unidade de tempo.

50. Prof. Jorge
Exemplos
 Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a
uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o
rendimento do agiota, após 4 meses?
Dados:
C = 6 000
i = 5 % a.m = 0,05
t = 4 meses
M = C.(1 + i)t = 6 000 . (1 + 0,05)4
M = 6 000 . 1,2155 ⇒ M = 7 293
M = C + j ⇒ 7 293 = 6 000 + j ⇒ j = 1
293,00

51. Prof. Jorge
Exemplos
 Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00
em um banco, a juros compostos, com taxa de
2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo,
se ele pagou R$ 438,00 de juros?
Dados:
C = 2 000
i = 2 % a.m = 0,02
M = 2 000 + 438 = 2 438
M = C.(1 + i)t ⇒ 2 438 = 2000 . (1,02)t
⇒ 1,02t
= 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses
1,026
≈ 1,126
1,027
≈ 1,148
1,028
≈ 1,171
1,029
≈ 1,195
1,0210
≈ 1,219

52. Prof. Jorge
Crescimento e
decrescimento exponencial

53. Prof. Jorge
Crescimento e decrescimento exponencial
 Há muitas situações práticas em que uma variável
cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas,
na unidade de tempo. Nesses casos, usamos
raciocínio semelhante ao dos juros compostos.
V = V0 . (1 + i)t
Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0,
seja função do tempo t.
V = V0 . (1 – i)t
 Se V cresce segundo uma
taxa fixa i, temos:
 Se V decresce segundo uma
taxa fixa i, temos:

54. Prof. Jorge
Exemplos
 O valor atual de um lote é de R$ 30 000,00.
Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize
8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos?
V = V0 .(1 + i)t = 30 000 . (1,08)6
⇒ V = 30 000 . 1,59
⇒ V = 47 700
⇒ O lote valerá R$ 47 700,00

55. Prof. Jorge
Exemplos
 O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00,
e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual
fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2
anos, a máquina valerá R$ 2 0 25,00.
V = V0 .(1 – i)t
Para t = 2, V = 2 0 25.
⇒ 2 025 = 2 500 . (1 – i)2
⇒ (1 – i)2
= 0,81
= 2 500 .(1 – i)t
⇒ (1 – i)2
= √0,81
⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a.

56. Prof. Jorge
Veja os cálculos
 1º dia (hoje): V1 = 10
 2º dia: V2 = 10.(3)1 = 10.(3)
 3º dia: V3 = 10.(3)2 = 10.(9)
= 30
= 90
 4º dia: V4 = 10.(3)3 = 10.(27) = 270
 5º dia: V5 = 10.(3)4 = 10.(81) = 810
 6º dia: V6 = 10.(3)5 = 10.(243) = 2 430
 7º dia: V7 = 10.(3)6 = 10.(729) = 7 290
 8º dia: V8 = 10.(3)7 = 10.(2 187) = 21 870
 9º dia: V9 = 10.(3)8 = 10.(6 561) = 65 610
 10º dia: V10 = 10.(3)9 = 10.(19 683) = 196 830
Total ................................................... = 295 230