O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.

1. BASES MATEM´ATICAS
Enunciado: Calcule f−1({0}), f−1({1}) e f−1({2}).
f : R −→ R, f(x) = x − (x + 2)2 − 1
A fun¸c˜ao pode ser reescrita como f(x) = x − x2 + 4x + 3
Retirando-se o m´odulo, tem-se:
f(x) =
x − (x2 + 4x + 3) = −x2 − 3x − 3 se x2 + 4x + 3 ≥ 0
x + (x2 + 4x + 3) = x2 + 5x + 3 se x2 + 4x + 3 < 0
O conjunto pr´e-imagem do n´umero 0 tem como elementos todos os valores do dom´ınio de f tal que
f(x) = 0. Efetuando para as duas equa¸c˜oes, temos:
i) −x2 − 3x − 3 = 0
∆ = 9 − 4 · (−1) · (−3) = 9 − 12 < 0
Logo, ∃x ∈ Dom f {x|x2 + 4x + 3 < 0} |f(x) = 0.
ii) x2 + 5x + 3 = 0
∆ = 25 − 4 · 1 · 3 = 13
x = −5±
√
13
2 .
O valor −5±
√
13
2 ´e, certamente, zero da fun¸c˜ao g(x) = x2 + 5x + 3, mas n˜ao podemos afirmar se ´e
um zero da fun¸c˜ao f(x) = x − (x + 2)2 − 1 . Para que seja zero da fun¸c˜ao f, a solu¸c˜ao dever´a estar
contida no conjunto {x|x2 + 4x + 3 < 0}.
Devemos, ent˜ao, substituir os valores de x encontrados na inequa¸c˜ao x2 + 4x + 3 = 0 para verificar se
a desigualdade ser´a v´alida.
Efetuando o c´alculo para x = −5+
√
13
2 , temos:
−5+
√
13
2
2
+4 −5+
√
13
2 +3 = 25−10
√
13+3
4 +4−20+4
√
13
2 +3 = 25−10
√
13+13−40+8
√
13+12
4 = 10+2
√
13
4 > 0
A desigualdade n˜ao se verificou, portanto −5+
√
13
2 n˜ao ´e zero da fun¸c˜ao f.
Procedimento an´alogo deve ser tomado para −5−
√
13
2 .
Ao final, verificar-se-´a que f({0}) = ∅.
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