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            Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
            Professor: Marcelo Torraca




Esse trabalho é em grupo formado por no máximo três alunos e

vale no máximo dois pontos.



O trabalho deve ser feito em folha A4 sem pauta, sem a utilização do

corretivo, feito a caneta preferencialmente sem rasuras, se o mesmo

não seguir as recomendações poderá não ser aceito.



O trabalho deve ser entregue impreterivelmente até o dia 31 de março

de 2012.



Se o trabalho for entregue após 31 de março até o dia 14 de abril, o

mesmo terá decréscimo na nota em 50% e após 14 de abril não será

mais aceito o trabalho.




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1. Determine o domínio das funções:
a) y = 3x + 2                                   x3 − 8                                          1
                                   j) f ( x ) = 3                              r) f ( x ) =
         2x − 1                                 x +8                                          4 − x2
b) y =
         3x + 5                                      x                         s)   f ( x) = − x 2 + 2 x + 3
                                   k) f ( x ) = 2
c) y = 6 − 3x + 1                               x − 3x + 2
                                                                               t)   y = − 1(1 − x 2 )
          2                                     4 − 3x − x 2
d) y =                             l) f ( x ) =
       x−2                                           x4                                          x
                                                                               u) f ( x) =
                                                          3
                                                          x   3                                x −1
          3x + 5                           m) f ( x ) =     + 3
e) y =                                                    3 x                                          1
          2x − 1                                                               v) f ( x) = (3 − x 2 ) 2
                                                        x 4 − 2 x 3 + 5x − 2
f) y = 4 − 6 x                             n) f ( x ) =
                                                              x 3 − 2x                            x2
                3     2               2                                        w) f ( x) =
g) f ( x ) = ( x − x + 3x + 5).(2 x + 3x )                                                     − x2 + 4 x
                                                         2x + 1 
                                           o) f ( x ) =          
                                                         x+5                                  1 − 2x
                                                                               x) f ( x) =
h) f ( x ) = (−2x 4 + 3x 2 − 1).(3x 2 − 5)                                                       2
                                                                                               x −x−2
                                                         x3 + 1 
                                           p) f ( x ) =  2
                                                         x +3     
                                                                             y) f ( x) = 2 − 3 x 2 − 8
                2x 3 + 4
i) f ( x ) = 2                                             x−2
             x − 4x + 1                    q) g( x ) =
                                                           x−7

2. Um supermercado esta fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% dado nos
   quilos que excedem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4,00, pede-se o gráfico do
   total pago em função da quantidade comprada.

3. Escreva a função afim f ( x) = ax + b , sabendo que:
a) f (1) = 5 e f (−3) = −7
b) f (−1) = 7 e f (2) = 1
c)   f (1) = 5 e f (−2) = −4


4. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que
   o preço de fábrica é R$ 57 500,00 e que, depois de 6 anos de uso, é R$ 31 200,00, qual seu valor após
   4 anos de uso, em reais?

5. Considere a função f : IR → IR definida por f ( x) = 5 x − 3 .
a)   Verifique se a função é crescente ou decrescente
b)   O zero da função;
c)   O ponto onde a função intersecta o eixo y;
d)   O gráfico da função;
e)   Faça o estudo do sinal;
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6. O gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (−2,−63) e ( 5, 0 ) . Determine essa função e calcule
     f (16) .


7. Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (−8, 0 ) e ( 0, 4 ) e verifique:
a)   Se a função é crescente ou decrescente
b)   A raiz da função
c)   o gráfico da função
d)   Calcule f (−1) .


8. Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas:
a) f ( x) = −2 x + 5 e g ( x) = 2 x + 5
b) f ( x) = 5 x e g ( x) = 2 x − 6
c)   f ( x) = 4 x e g ( x) = − x + 3


9. Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender
   cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
a) Qual a lei dessa função f;
b) Para que valores de x têm f ( x) < 0 ? Como podemos interpretar esse caso?
c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00?
d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00?

10. Dada a função afim f ( x) = 2 x + 3 , determine os valores de x para que:
a) f ( x) = 1
b) f ( x) = 0
                1
c)   f ( x) =
                3

11. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$8,00 mais um custo variável de R$0,50
    por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.
b) calcule o custo para 100 peças.

12. Dadas às funções f ( x) = ax + 4 e g ( x) = bx + 1 , calcule a e b de modo que os gráficos das funções se
     interceptem no ponto ( 1, 6 ) .


13. Seja f : IR → IR uma função tal que f ( x + 1) = 2 ⋅ f ( x) − 5 e f (0) = 6 . Calcule f (4) .




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14. O gráfico ao lado expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da
    temperatura em graus Celsius. Encontre a equação que expressa os graus
    Fahrenheit em função dos graus Celsius; e determine o valor aproximado da
    temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit.



15. Montar o gráfico das funções abaixo:
              − 6, se x < −2
             
a) f ( x ) =  - 2, se - 2 ≤ x ≤ 2
              3, se x > 2
             
              − 4, para x ≤ −1
b) f ( x ) = 
              2x − 6, para x > 1
              3x − 9, para x ≤ 4
c) f ( x ) = 
              − 2, para x > 4

16. Um motorista de táxi, para cobrar a corrida, lê no hodômetro do carro o número de quilômetros
    percorridos e utiliza uma tabela impressa, como mostrada abaixo. O total a pagar consiste em uma
    quantia fixada, que é de R$ 1,00, mais uma quantia que depende do número de quilômetros rodados.
    Exprima matematicamente o total a pagar “y” em uma corrida de “x” quilômetros.
                      Km rodados         Total a pagar        Km rodados    Total a pagar
                             0                 1,00                     5       4,50
                             1                 1,70                     6       5,20
                             2                 2,40                     7       5,90
                             3                 3,10                     8       6,60
                             4                 3,80                     9       7,30

17. O gráfico abaixo representa a quantidade arrecadada na
    exportação de café em um ano. Com base no gráfico,
    responda:
a) Em que meses do ano a exportação de café rendeu
    menos de 200 milhões de dólares?
b) Em que meses do ano a exportação de café ultrapassou
    os 250 milhões de dólares?
c) Em que mês ela atingiu o máximo?




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18. Em um certo município do estado do Rio de Janeiro, pesquisou-se durante um ano o número de casos
    de certa doença, encontrando-se os dados representados no gráfico abaixo: Baseado no gráfico,
    responda:
a) Em que mês ocorreu o menor número
    de casos? E o maior?                       1200
                                               1100
                                               1000
b) Qual o número de casos registrados no        900
                                                800




                                                    nº de Casos
    3º trimestre?                               700
                                                600

c) Entre que meses consecutivos ocorreu a       500
                                                400
                                                300
    maior diferença de número de casos          200
                                                100
    registrados ?                                 0
                                                    Jan Fev M ar Abr M ai   Jun    Jlh   Ago Set O ut N ov D ez

d) Qual o total de casos registrados durante                              m eses do A no

    o 2º semestre?

19. O gráfico abaixo representa a quantidade
    arrecadada na exportação de café em um ano.                      400
                                                                     350
    Com base no gráfico, responda:                                   300
a) Em que meses do ano a exportação de café                          250

    rendeu menos de 200 milhões de dólares?                          200
                                                                     150
b) Em que meses do ano a exportação de café
                                                                     100
    ultrapassou os 250 milhões de dólares?                            50

c) Em que mês ela atingiu o máximo?                                    0
                                                                            JAN FEV MAR ABR MAI JUN JLH AGO SET OUT NOV DEZ
d) Durante qual(ais) mês(es) do ano ela
    manteve-se estável?

20. Determine o vértice e os zeros das seguintes funções, utilizando a forma canônica da função
    quadrática:
a) f ( x) = x 2 + 4 x + 4         e) f ( x) = − x 2 + 6 x − 9                             1
                                                                  h) f ( x) = x 2 − 2 x +
                                                                                          2
b) f ( x) = 3x 2 − 7 x + 2        f) f ( x) = 3x 2 − x
                                                      3           i) f ( x) = x 2 + (1 − 3 ) x − 3
c) f ( x) = x 2 − 5 x + 4                        2
                                  g) f ( x) = − x + x + 1
              2
d) f ( x) = x + x + 2                                 2



FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU NA ECONOMIA
As funções podem ser aplicadas em quase tudo que fazemos em nosso dia a dia, agora veremos alguns
casos de aplicações da função do segundo grau em Administração e Economia. Enfatizaremos a função
custo, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer
empresa.



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FUNÇÃO CUSTO TOTAL
Seja q a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de q e à relação entre eles
chamamos função Custo Total (e indicamos por CT). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos
que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que
independem da quantidade produzida, chamamos Custo Fixo (e indicamos por CF). À parcela de custos
que depende de q chamamos Custo Variável (e indicamos por CV). Desta forma, podemos escrever:
CT = C F + C v .q


FUNÇÃO RECEITA TOTAL
Suponhamos agora que q unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de q e a
função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das
vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(q). Assim, a receita total pode
ser expressa através da função demanda como: R = Pv.q


FUNÇÃO LUCRO TOTAL
Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total,
isto é: L = R − CT
Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções.
O interesse básico é achar o lucro. Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso
precisamos conhecer as raízes da função lucro total.

21. O dono de uma pizzaria verificou que, quando o preço unitário de cada pizza era de R$ 14,00 o
    número de pizzas vendidas era 170 por semana. Verificou também quando preço passava para
    R$11,00 a quantidade vendida era de 200 unidades. Assim sendo sua função demanda é
     p = −0,1q + 31 . (Considere o custo de uma pizza de R$ 7,00). Determine:
a)   A função Receita;
b)   A função Lucro;
c)   Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal.
d)   Qual o lucro máximo da pizzaria?
e)   Qual o preço que maximiza o lucro?

22. O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do
    centro de uma artéria do que nas extremidades. Testes experimentais mostraram que a
    velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada
     pela função V (r ) = R 2 − r 2 em cm / s em que C é uma constante e R é o raio do vaso.
     Supondo, para um determinado vaso, que seja C = 1,8 ⋅104 e R = 10 −2 cm , calcule a
     velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo.



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23. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em
   metros, t segundos após o lançamento, seja h = −t 2 + 4t + 6 .
Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois de lançada, ela toca o solo?

24. Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa deve pagar à
    companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocupado do avião.
a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem?
b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema?

25. Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em
    tráfego é descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão.
                                                v2
     Uma das fórmulas utilizadas é d = 0,1v +       na qual v é a velocidade, em
                                               250
   quilômetros por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a
   distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o motorista pressente
   o acidente até o mesmo parar.
   Essa é uma função quadrática que relaciona uma distância, muitas vezes determinada pelas marcas de
   pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a velocidade que o carro trafegava.
a) Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde o momento em que vê o obstáculo, até o carro
   parar?
b) A distância de frenagem do carro é d = 15m , qual velocidade do carro?

26. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C , em que L é o lucro total, R
    é a receita total e C é o custo total da produção.
     Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que                                      R( x ) = 6 000 x − x 2   e
     C ( x ) = x 2 − 2 000 x . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja
     máximo?

27. Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem
    de cada uma das funções.
a) f ( x) = | x + 1 | −3                              d) f ( x) = | x + 1 | + x
b) f ( x) = | x 2 + 4 x − 5 |                                        e)    f ( x) = x 2 − 3 | x | +2
c)   f ( x ) = | x 2 − 5 x | +6                                      f)    f ( x) = | x + 1 | + x



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                               | x + 2 |, se x < −1
                                                                     − x , se x ≤ 0
28. Dadas as funções f ( x ) =  x 2 − 4, se − 1 ≤ x < 2 e g ( x ) =  3               , pede-se:
                                2 x − 1, se x ≥ 2                    x − 1, se x > 0
                               
a) f (2) + f (−1)                               3                                  f 
                                              f                                e)  (3) − g (2)
                                                                                     g
b) f ( f (−5))                          d)      2                                   
c) f (g (1))                                  g ( − 4)                           f) g ( f (−5))
g) A representação gráfica e as imagens das funções f (x) e g (x) .

29. Seja f (x) o gráfico da abaixo. Construa o gráfico de:
a) f ( x) + 1             e)   f ( x − 2) − 2
b) f ( x) − 2             f) − f (x)
c) 2 f ( x)               g) − f ( x) + 1
d) f ( x + 1)


30. O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela
    expressão N ( t ) = 1 200 ⋅ 20, 4 t . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura
    terá 38.400 bactérias?

31. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N ( t ) = 200 ⋅ 3 k t , onde N representa
    o número de bactérias no instante t (em horas) e k é uma constante a ser obtida. A produção tem início
    para t = 0 . Decorridas doze horas, há um total de seiscentas bactérias. Calcule:
a ) a constante k
b ) o número de bactérias, 36 horas depois que se iniciou a produção

32. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos feitos numa certa
    modalidade. Um cliente desse banco fez um depósito de 500 reais, nessa modalidade. Qual é, em
    reais, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos?

33. Uma substancia radioativa está em processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade
    não desintegrada é aproximadamente M ( t ) = M (0) ⋅ 2−3 t . Qual o valor de t para que metade da
    quantidade inicial M (0) se desintegre?

34. O Custo mensal C, em reais, de um motor elétrico aumenta à medida que aumenta o número mensal
    de horas t em que é utilizado, conforme C = 40 000 − 30 000 ⋅ e −0 ,0002 t .Qual é o valor do custo mensal
    se esse motor elétrico é utilizado cerca de 150 horas por mês?

35. As células de um tumor possuem sabidamente um metabolismo mais acelerado e, consequentemente
    um maior consumo de glicose que as células normais. Aproveitando-se destas suas características, é

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    possível realizar um exame para detectar um tumor através de sua atividade metabólica. Este exame é
    o PET (Positron Emission Tomography - tomografia por emissão de pósitrons).
    Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são:
    o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor- 18, cujas meias-vidas são respectivamente de
    20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um dos
    isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente.
a ) Calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida.
b ) Em quanto tempo uma amostra de nitrogênio-13 se reduz à 1 8 do que era quando foi obtida?
c ) Após 10 minutos de sua obtenção, qual fração de oxigênio-15 ainda restará?

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36. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de            38   Sr
   radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e
                                                                                          90
   sabendo que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de               38   Sr se reduzir, por
                                1
   desintegração, a               da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a
                               16
   partir do ano:

37. O plutônio-240, produzido em reatores nucleares, é um material radioativo de longa vida, o que torna
   o lixo atômico desses reatores de difícil armazenamento. A partir de uma massa inicial M 0 dessa
   substância, a sua massa M, após t séculos, será aproximadamente, determinada pela equação
    M = M 0 ⋅ (1,01) − t . Com base nessas informações, determine, em porcentagem, a quantidade de massa
   do plutônio-240 restante, após 2 séculos de desintegração.

38. Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a
    quantidade dessa medicação existente na corrente sanguínea seja dada, em ml , pela função
                          t
                     −
   Q( t ) = 50 ⋅ 2       180
                               e que o paciente deva receber outra dose quando a medicação existente em sua
                                 1
   corrente sanguínea for igual a    da quantidade que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de
                                 4
   tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a:

39. O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres
    vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é
    um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos, e como é
    relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres
    vivos, a medição da atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito
    utilizada para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14




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                                                               1  5730
   decai com o tempo pós-morte segundo a função A( t ) = A0 ⋅   , em que A0 é a atividade natural
                                                               2
   do C-14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil
   encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter a idade estimada. Verificou-se que
   emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por
   grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil?

40. O valor do pH é um número aproximado entre 0 e 14 que indica se uma solução é acida ( pH < 7 ),
   neutra ( pH = 7 ) ou básica / alcalina ( pH > 7 ).
   Em química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da
   respectiva concentração de H 3O + (íon hidroxônio), ou ainda, que o pH de uma solução aquosa é
   definido pela expressão pH = − log[ H + ] em que [ H + ] indica a concentração, em mol/L, de íons de
   hidrogênio na solução. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que nela, a
   concentração de Hidrogênio era [ H + ] = 5,4 ⋅ 10 −8 mol / L . Calcule o pH dessa solução.


41. Os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é
    inevitável. A população de uma determinada espécie animal, ameaçada de extinção diminui segundo a
   função f ( t ) = k ⋅ a t , na qual, k e a são números reais e f (t ) indica o número de indivíduos dessa
   espécie no instante t (t em anos). Atualmente (instante t = 0 ) existem 1.500 indivíduos da espécie e
   estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal
   decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos
   consideram como irreversível para a extinção?

42. Num país africano, uma espécie de camelos está sendo dizimada por uma peste. O número de camelos
   é dado, em função do tempo, pela lei C ( t ) = C 0 ⋅ e −0, 4 t (t em anos e C0 é o número atual de camelos).
a) Explique o que significa C (0) = 5 000 e determine C 0 .
b) O Ministério da Agricultura, através do seu Departamento de Veterinária, está desenvolvendo um
   medicamento que erradicará a peste e prevê que ficará pronto daqui a 10 anos. Quantos camelos serão
   salvos?
c) O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de
   camelos for inferior a 200. Se essa tendência se mantiver, daqui a quanto tempo isso acontecerá?

43. A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor sujeita a um certo conjunto de condições ambientais
                                                    1
    aumenta de acordo com a fórmula m ( t ) =                 , em que t representa o tempo (em dias).
                                              0,4 + 0,6 e − t
a) Qual é a massa inicial da cultura?
b) Qual é a massa da cultura depois de 15 dias?

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c) Resolva a equação m ( t ) = 2 e explique o seu significado.
d) Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura.
e) Escreva a equação que exprime t em função de m.

44. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem (emitindo
    partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade
    original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com
                                                                                                           t
                                                                                                      −
   inicialmente m0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: m ( t ) = m0 ⋅ 10          70
                                                                                                               ,
   onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará
   para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.


45. A radioatividade de um composto decresce de acordo com a fórmula A( t ) = A0 ⋅ e −0, 2 t , onde A0 é a
   quantidade de composto inicialmente presente e t é o tempo em segundos após a observação inicial.
   Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas do composto.
a) Quantos gramas do composto haverá 10 segundos depois da observação inicial?
b) Quanto tempo terá que decorrer para que a quantidade do composto se reduza à metade?


46. A expressão M = C ⋅ (1 + i )t permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital C a
   juros compostos, à taxa i num período de tempo n. Nessas condições, se o capital de R$ 2 000, 00 for
   aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano, após quanto tempo de aplicação serão obtidos
   montante de R$ 9 000,00?

47. Um capital de R$ 50.000, 00 foi colocado numa caderneta de poupança que rende 2,5% ao mês.
    Admitindo não haver retiradas, após quanto tempo o saldo dessa aplicação será de R$ 122.070, 31?

48. Em quanto tempo o capital dobra em regime de capitalização composta a 0,5% ao mês?

49. A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala Richter. Nesta escala, a
    magnitude M de um abalo sísmico está relacionada com a energia liberada E (em ergs), da seguinte
               log E − 11,8
    forma M =               (Fórmula de Gutenberg e Richter).
                   1,5
a) Um dos tremores de terra mais famoso ocorreu em S. Francisco, nos Estados Unidos, em 1906 e
   liberou 1,496 ⋅1024 ergs de energia. Qual foi a sua magnitude na escala Richter?
b) Qual a energia liberada por um sismo de magnitude 8, 5 na escala Richter?
c) Exprima a variável E em função de M.

50. A magnitude M de um sismo e a energia total E liberada por esse sismo, estão relacionadas pela
    equação log E = 5,24 + 1,44 M (a energia E é medida em Joule). O terremoto de 4,9 graus na escala

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   Richter no norte de Minas Gerais é o primeiro a registrar uma morte, segundo o Obsis (Observatório
   Sismológico de Brasília), da UnB (Universidade de Brasília). Qual foi a energia, em Joules, liberada
   por esse sismo? (Fonte: Folha online)

51. As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
                 M 
   R2 − R1 = log  2  , onde M 1 e M 2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob
                 M 
                  1
   a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Considerando que ocorreram dois terremotos,
   um correspondente a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4 , determine a razão entre as energias
   liberadas pelos mesmos.

52. A intensidade I de um terremoto, medido na escala Richter, é um número que varia de 0 ≤ I ≤ 8,9 ,
                                                                         2       E
   para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula I =             ⋅ log    , onde E é a energia liberada
                                                                         3       E0
   no terremoto em quilowatt-hora e E 0 = 7 ⋅ 10 −3 kWh .
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia
   liberada?

53. A figura ao lado representa um reservatório com três metros de altura.
    Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que,
    num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser
    esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de 14 horas. Admita que a
    altura, em metros, da água no reservatório, t horas após ter começado
   a ser esvaziado, é dada por h(t ) = log 2 (a − bt ) , com t ∈ [ 0,14 ] , onde a
   e b são constantes reais e positivas. Calcule o valor de a e de b.

54. Em certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiado pela TV a implantação de um
    novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t ≥ 0 horas
                                      A
    é dado pela fórmula f ( t ) =        A
                                            . Sabe-se também que decorrida 1 hora da divulgação do plano,
                                        − t
                                  1 + 4e 2
    50% da população já estava ciente da notícia.
a) Qual foi a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi
    noticiado?
b) Qual a população do país?
c) Após quanto tempo, 80% da população estava ciente do plano?



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SENAI/CETIQT
                       Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
                       Professor: Marcelo Torraca

55. Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é de aproximadamente 100º C. Para arrefecer, é
    colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C. Passados 3 minutos a sua
    temperatura é de aproximadamente 74º C. Depois de sair do forno, ao fim do tempo t, em minutos, a
   temperatura do pão é dada por T ( t ) = 23 + 77 ⋅ e − kt .
a) Calcule o valor de k.
b) Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno?
c) Para embrulhar o pão, é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. Paulo entrou
   na padaria no momento em que o pão saindo do forno. Ele quer comprar pão, mas como já está
   atrasado para ir para a escola, diz que só pode esperar entre 3 e 5 minutos. Será que o Paulo irá levar o
   pão?

56. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco.
    Em consequência disso, começou a derramar óleo. Admita que, às t horas do dia seguinte ao acidente,
   a área em km 2 , de óleo espalhado sobre o oceano, é dada por A( t ) = 16 ⋅ e 0,1t , t ∈ [ 0, 24 ] .
                                                      A ( t + 1)
a) Verifique que para qualquer valor de t,                       é constante.
                                                       A (t )
   Determine um valor aproximado dessa constante e interprete esse
   valor, no contexto da situação descrita.
b) Admita que a mancha de óleo é circular, com centro no local onde o
   petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a 7 km da
   costa, determine a que horas, do dia seguinte ao acidente, a mancha
   de óleo atingirá a costa.




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1º TRABALHO de CÁLCULO I

  • 1. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca Esse trabalho é em grupo formado por no máximo três alunos e vale no máximo dois pontos. O trabalho deve ser feito em folha A4 sem pauta, sem a utilização do corretivo, feito a caneta preferencialmente sem rasuras, se o mesmo não seguir as recomendações poderá não ser aceito. O trabalho deve ser entregue impreterivelmente até o dia 31 de março de 2012. Se o trabalho for entregue após 31 de março até o dia 14 de abril, o mesmo terá decréscimo na nota em 50% e após 14 de abril não será mais aceito o trabalho. 1 de 13
  • 2. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 1. Determine o domínio das funções: a) y = 3x + 2 x3 − 8 1 j) f ( x ) = 3 r) f ( x ) = 2x − 1 x +8 4 − x2 b) y = 3x + 5 x s) f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 k) f ( x ) = 2 c) y = 6 − 3x + 1 x − 3x + 2 t) y = − 1(1 − x 2 ) 2 4 − 3x − x 2 d) y = l) f ( x ) = x−2 x4 x u) f ( x) = 3 x 3 x −1 3x + 5 m) f ( x ) = + 3 e) y = 3 x 1 2x − 1 v) f ( x) = (3 − x 2 ) 2 x 4 − 2 x 3 + 5x − 2 f) y = 4 − 6 x n) f ( x ) = x 3 − 2x x2 3 2 2 w) f ( x) = g) f ( x ) = ( x − x + 3x + 5).(2 x + 3x ) − x2 + 4 x  2x + 1  o) f ( x ) =    x+5  1 − 2x x) f ( x) = h) f ( x ) = (−2x 4 + 3x 2 − 1).(3x 2 − 5) 2 x −x−2  x3 + 1  p) f ( x ) =  2  x +3     y) f ( x) = 2 − 3 x 2 − 8 2x 3 + 4 i) f ( x ) = 2 x−2 x − 4x + 1 q) g( x ) = x−7 2. Um supermercado esta fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% dado nos quilos que excedem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4,00, pede-se o gráfico do total pago em função da quantidade comprada. 3. Escreva a função afim f ( x) = ax + b , sabendo que: a) f (1) = 5 e f (−3) = −7 b) f (−1) = 7 e f (2) = 1 c) f (1) = 5 e f (−2) = −4 4. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 57 500,00 e que, depois de 6 anos de uso, é R$ 31 200,00, qual seu valor após 4 anos de uso, em reais? 5. Considere a função f : IR → IR definida por f ( x) = 5 x − 3 . a) Verifique se a função é crescente ou decrescente b) O zero da função; c) O ponto onde a função intersecta o eixo y; d) O gráfico da função; e) Faça o estudo do sinal; 2 de 13
  • 3. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 6. O gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (−2,−63) e ( 5, 0 ) . Determine essa função e calcule f (16) . 7. Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (−8, 0 ) e ( 0, 4 ) e verifique: a) Se a função é crescente ou decrescente b) A raiz da função c) o gráfico da função d) Calcule f (−1) . 8. Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas: a) f ( x) = −2 x + 5 e g ( x) = 2 x + 5 b) f ( x) = 5 x e g ( x) = 2 x − 6 c) f ( x) = 4 x e g ( x) = − x + 3 9. Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f ( x) < 0 ? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00? 10. Dada a função afim f ( x) = 2 x + 3 , determine os valores de x para que: a) f ( x) = 1 b) f ( x) = 0 1 c) f ( x) = 3 11. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$8,00 mais um custo variável de R$0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. b) calcule o custo para 100 peças. 12. Dadas às funções f ( x) = ax + 4 e g ( x) = bx + 1 , calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto ( 1, 6 ) . 13. Seja f : IR → IR uma função tal que f ( x + 1) = 2 ⋅ f ( x) − 5 e f (0) = 6 . Calcule f (4) . 3 de 13
  • 4. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 14. O gráfico ao lado expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; e determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 15. Montar o gráfico das funções abaixo:  − 6, se x < −2  a) f ( x ) =  - 2, se - 2 ≤ x ≤ 2  3, se x > 2   − 4, para x ≤ −1 b) f ( x ) =   2x − 6, para x > 1  3x − 9, para x ≤ 4 c) f ( x ) =   − 2, para x > 4 16. Um motorista de táxi, para cobrar a corrida, lê no hodômetro do carro o número de quilômetros percorridos e utiliza uma tabela impressa, como mostrada abaixo. O total a pagar consiste em uma quantia fixada, que é de R$ 1,00, mais uma quantia que depende do número de quilômetros rodados. Exprima matematicamente o total a pagar “y” em uma corrida de “x” quilômetros. Km rodados Total a pagar Km rodados Total a pagar 0 1,00 5 4,50 1 1,70 6 5,20 2 2,40 7 5,90 3 3,10 8 6,60 4 3,80 9 7,30 17. O gráfico abaixo representa a quantidade arrecadada na exportação de café em um ano. Com base no gráfico, responda: a) Em que meses do ano a exportação de café rendeu menos de 200 milhões de dólares? b) Em que meses do ano a exportação de café ultrapassou os 250 milhões de dólares? c) Em que mês ela atingiu o máximo? 4 de 13
  • 5. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 18. Em um certo município do estado do Rio de Janeiro, pesquisou-se durante um ano o número de casos de certa doença, encontrando-se os dados representados no gráfico abaixo: Baseado no gráfico, responda: a) Em que mês ocorreu o menor número de casos? E o maior? 1200 1100 1000 b) Qual o número de casos registrados no 900 800 nº de Casos 3º trimestre? 700 600 c) Entre que meses consecutivos ocorreu a 500 400 300 maior diferença de número de casos 200 100 registrados ? 0 Jan Fev M ar Abr M ai Jun Jlh Ago Set O ut N ov D ez d) Qual o total de casos registrados durante m eses do A no o 2º semestre? 19. O gráfico abaixo representa a quantidade arrecadada na exportação de café em um ano. 400 350 Com base no gráfico, responda: 300 a) Em que meses do ano a exportação de café 250 rendeu menos de 200 milhões de dólares? 200 150 b) Em que meses do ano a exportação de café 100 ultrapassou os 250 milhões de dólares? 50 c) Em que mês ela atingiu o máximo? 0 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JLH AGO SET OUT NOV DEZ d) Durante qual(ais) mês(es) do ano ela manteve-se estável? 20. Determine o vértice e os zeros das seguintes funções, utilizando a forma canônica da função quadrática: a) f ( x) = x 2 + 4 x + 4 e) f ( x) = − x 2 + 6 x − 9 1 h) f ( x) = x 2 − 2 x + 2 b) f ( x) = 3x 2 − 7 x + 2 f) f ( x) = 3x 2 − x 3 i) f ( x) = x 2 + (1 − 3 ) x − 3 c) f ( x) = x 2 − 5 x + 4 2 g) f ( x) = − x + x + 1 2 d) f ( x) = x + x + 2 2 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU NA ECONOMIA As funções podem ser aplicadas em quase tudo que fazemos em nosso dia a dia, agora veremos alguns casos de aplicações da função do segundo grau em Administração e Economia. Enfatizaremos a função custo, função receita e a função lucro que estão relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa. 5 de 13
  • 6. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca FUNÇÃO CUSTO TOTAL Seja q a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de q e à relação entre eles chamamos função Custo Total (e indicamos por CT). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos Custo Fixo (e indicamos por CF). À parcela de custos que depende de q chamamos Custo Variável (e indicamos por CV). Desta forma, podemos escrever: CT = C F + C v .q FUNÇÃO RECEITA TOTAL Suponhamos agora que q unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de q e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(q). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como: R = Pv.q FUNÇÃO LUCRO TOTAL Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é: L = R − CT Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro. Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. 21. O dono de uma pizzaria verificou que, quando o preço unitário de cada pizza era de R$ 14,00 o número de pizzas vendidas era 170 por semana. Verificou também quando preço passava para R$11,00 a quantidade vendida era de 200 unidades. Assim sendo sua função demanda é p = −0,1q + 31 . (Considere o custo de uma pizza de R$ 7,00). Determine: a) A função Receita; b) A função Lucro; c) Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal. d) Qual o lucro máximo da pizzaria? e) Qual o preço que maximiza o lucro? 22. O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do centro de uma artéria do que nas extremidades. Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função V (r ) = R 2 − r 2 em cm / s em que C é uma constante e R é o raio do vaso. Supondo, para um determinado vaso, que seja C = 1,8 ⋅104 e R = 10 −2 cm , calcule a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo. 6 de 13
  • 7. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 23. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = −t 2 + 4t + 6 . Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola; c) quantos segundos depois de lançada, ela toca o solo? 24. Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa deve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocupado do avião. a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem? b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema? 25. Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão. v2 Uma das fórmulas utilizadas é d = 0,1v + na qual v é a velocidade, em 250 quilômetros por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. Essa é uma função quadrática que relaciona uma distância, muitas vezes determinada pelas marcas de pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a velocidade que o carro trafegava. a) Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde o momento em que vê o obstáculo, até o carro parar? b) A distância de frenagem do carro é d = 15m , qual velocidade do carro? 26. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C , em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que R( x ) = 6 000 x − x 2 e C ( x ) = x 2 − 2 000 x . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 27. Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções. a) f ( x) = | x + 1 | −3 d) f ( x) = | x + 1 | + x b) f ( x) = | x 2 + 4 x − 5 | e) f ( x) = x 2 − 3 | x | +2 c) f ( x ) = | x 2 − 5 x | +6 f) f ( x) = | x + 1 | + x 7 de 13
  • 8. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca | x + 2 |, se x < −1   − x , se x ≤ 0 28. Dadas as funções f ( x ) =  x 2 − 4, se − 1 ≤ x < 2 e g ( x ) =  3 , pede-se:  2 x − 1, se x ≥ 2  x − 1, se x > 0  a) f (2) + f (−1) 3 f  f  e)  (3) − g (2) g b) f ( f (−5)) d) 2   c) f (g (1)) g ( − 4) f) g ( f (−5)) g) A representação gráfica e as imagens das funções f (x) e g (x) . 29. Seja f (x) o gráfico da abaixo. Construa o gráfico de: a) f ( x) + 1 e) f ( x − 2) − 2 b) f ( x) − 2 f) − f (x) c) 2 f ( x) g) − f ( x) + 1 d) f ( x + 1) 30. O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão N ( t ) = 1 200 ⋅ 20, 4 t . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 31. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N ( t ) = 200 ⋅ 3 k t , onde N representa o número de bactérias no instante t (em horas) e k é uma constante a ser obtida. A produção tem início para t = 0 . Decorridas doze horas, há um total de seiscentas bactérias. Calcule: a ) a constante k b ) o número de bactérias, 36 horas depois que se iniciou a produção 32. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade. Um cliente desse banco fez um depósito de 500 reais, nessa modalidade. Qual é, em reais, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos? 33. Uma substancia radioativa está em processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade não desintegrada é aproximadamente M ( t ) = M (0) ⋅ 2−3 t . Qual o valor de t para que metade da quantidade inicial M (0) se desintegre? 34. O Custo mensal C, em reais, de um motor elétrico aumenta à medida que aumenta o número mensal de horas t em que é utilizado, conforme C = 40 000 − 30 000 ⋅ e −0 ,0002 t .Qual é o valor do custo mensal se esse motor elétrico é utilizado cerca de 150 horas por mês? 35. As células de um tumor possuem sabidamente um metabolismo mais acelerado e, consequentemente um maior consumo de glicose que as células normais. Aproveitando-se destas suas características, é 8 de 13
  • 9. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca possível realizar um exame para detectar um tumor através de sua atividade metabólica. Este exame é o PET (Positron Emission Tomography - tomografia por emissão de pósitrons). Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são: o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor- 18, cujas meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um dos isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente. a ) Calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida. b ) Em quanto tempo uma amostra de nitrogênio-13 se reduz à 1 8 do que era quando foi obtida? c ) Após 10 minutos de sua obtenção, qual fração de oxigênio-15 ainda restará? 90 36. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de 38 Sr radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e 90 sabendo que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de 38 Sr se reduzir, por 1 desintegração, a da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a 16 partir do ano: 37. O plutônio-240, produzido em reatores nucleares, é um material radioativo de longa vida, o que torna o lixo atômico desses reatores de difícil armazenamento. A partir de uma massa inicial M 0 dessa substância, a sua massa M, após t séculos, será aproximadamente, determinada pela equação M = M 0 ⋅ (1,01) − t . Com base nessas informações, determine, em porcentagem, a quantidade de massa do plutônio-240 restante, após 2 séculos de desintegração. 38. Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação existente na corrente sanguínea seja dada, em ml , pela função t − Q( t ) = 50 ⋅ 2 180 e que o paciente deva receber outra dose quando a medicação existente em sua 1 corrente sanguínea for igual a da quantidade que lhe foi injetada. Nessas condições, o intervalo de 4 tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a: 39. O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14 9 de 13
  • 10. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca t  1  5730 decai com o tempo pós-morte segundo a função A( t ) = A0 ⋅   , em que A0 é a atividade natural  2 do C-14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter a idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil? 40. O valor do pH é um número aproximado entre 0 e 14 que indica se uma solução é acida ( pH < 7 ), neutra ( pH = 7 ) ou básica / alcalina ( pH > 7 ). Em química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de H 3O + (íon hidroxônio), ou ainda, que o pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = − log[ H + ] em que [ H + ] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que nela, a concentração de Hidrogênio era [ H + ] = 5,4 ⋅ 10 −8 mol / L . Calcule o pH dessa solução. 41. Os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é inevitável. A população de uma determinada espécie animal, ameaçada de extinção diminui segundo a função f ( t ) = k ⋅ a t , na qual, k e a são números reais e f (t ) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (t em anos). Atualmente (instante t = 0 ) existem 1.500 indivíduos da espécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos consideram como irreversível para a extinção? 42. Num país africano, uma espécie de camelos está sendo dizimada por uma peste. O número de camelos é dado, em função do tempo, pela lei C ( t ) = C 0 ⋅ e −0, 4 t (t em anos e C0 é o número atual de camelos). a) Explique o que significa C (0) = 5 000 e determine C 0 . b) O Ministério da Agricultura, através do seu Departamento de Veterinária, está desenvolvendo um medicamento que erradicará a peste e prevê que ficará pronto daqui a 10 anos. Quantos camelos serão salvos? c) O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de camelos for inferior a 200. Se essa tendência se mantiver, daqui a quanto tempo isso acontecerá? 43. A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor sujeita a um certo conjunto de condições ambientais 1 aumenta de acordo com a fórmula m ( t ) = , em que t representa o tempo (em dias). 0,4 + 0,6 e − t a) Qual é a massa inicial da cultura? b) Qual é a massa da cultura depois de 15 dias? 10 de 13
  • 11. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca c) Resolva a equação m ( t ) = 2 e explique o seu significado. d) Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura. e) Escreva a equação que exprime t em função de m. 44. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com t − inicialmente m0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: m ( t ) = m0 ⋅ 10 70 , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 45. A radioatividade de um composto decresce de acordo com a fórmula A( t ) = A0 ⋅ e −0, 2 t , onde A0 é a quantidade de composto inicialmente presente e t é o tempo em segundos após a observação inicial. Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas do composto. a) Quantos gramas do composto haverá 10 segundos depois da observação inicial? b) Quanto tempo terá que decorrer para que a quantidade do composto se reduza à metade? 46. A expressão M = C ⋅ (1 + i )t permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital C a juros compostos, à taxa i num período de tempo n. Nessas condições, se o capital de R$ 2 000, 00 for aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano, após quanto tempo de aplicação serão obtidos montante de R$ 9 000,00? 47. Um capital de R$ 50.000, 00 foi colocado numa caderneta de poupança que rende 2,5% ao mês. Admitindo não haver retiradas, após quanto tempo o saldo dessa aplicação será de R$ 122.070, 31? 48. Em quanto tempo o capital dobra em regime de capitalização composta a 0,5% ao mês? 49. A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala Richter. Nesta escala, a magnitude M de um abalo sísmico está relacionada com a energia liberada E (em ergs), da seguinte log E − 11,8 forma M = (Fórmula de Gutenberg e Richter). 1,5 a) Um dos tremores de terra mais famoso ocorreu em S. Francisco, nos Estados Unidos, em 1906 e liberou 1,496 ⋅1024 ergs de energia. Qual foi a sua magnitude na escala Richter? b) Qual a energia liberada por um sismo de magnitude 8, 5 na escala Richter? c) Exprima a variável E em função de M. 50. A magnitude M de um sismo e a energia total E liberada por esse sismo, estão relacionadas pela equação log E = 5,24 + 1,44 M (a energia E é medida em Joule). O terremoto de 4,9 graus na escala 11 de 13
  • 12. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca Richter no norte de Minas Gerais é o primeiro a registrar uma morte, segundo o Obsis (Observatório Sismológico de Brasília), da UnB (Universidade de Brasília). Qual foi a energia, em Joules, liberada por esse sismo? (Fonte: Folha online) 51. As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula M  R2 − R1 = log  2  , onde M 1 e M 2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob M   1 a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4 , determine a razão entre as energias liberadas pelos mesmos. 52. A intensidade I de um terremoto, medido na escala Richter, é um número que varia de 0 ≤ I ≤ 8,9 , 2 E para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula I = ⋅ log , onde E é a energia liberada 3 E0 no terremoto em quilowatt-hora e E 0 = 7 ⋅ 10 −3 kWh . a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? 53. A figura ao lado representa um reservatório com três metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de 14 horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após ter começado a ser esvaziado, é dada por h(t ) = log 2 (a − bt ) , com t ∈ [ 0,14 ] , onde a e b são constantes reais e positivas. Calcule o valor de a e de b. 54. Em certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiado pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t ≥ 0 horas A é dado pela fórmula f ( t ) = A . Sabe-se também que decorrida 1 hora da divulgação do plano, − t 1 + 4e 2 50% da população já estava ciente da notícia. a) Qual foi a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado? b) Qual a população do país? c) Após quanto tempo, 80% da população estava ciente do plano? 12 de 13
  • 13. SENAI/CETIQT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Marcelo Torraca 55. Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é de aproximadamente 100º C. Para arrefecer, é colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C. Passados 3 minutos a sua temperatura é de aproximadamente 74º C. Depois de sair do forno, ao fim do tempo t, em minutos, a temperatura do pão é dada por T ( t ) = 23 + 77 ⋅ e − kt . a) Calcule o valor de k. b) Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno? c) Para embrulhar o pão, é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. Paulo entrou na padaria no momento em que o pão saindo do forno. Ele quer comprar pão, mas como já está atrasado para ir para a escola, diz que só pode esperar entre 3 e 5 minutos. Será que o Paulo irá levar o pão? 56. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar óleo. Admita que, às t horas do dia seguinte ao acidente, a área em km 2 , de óleo espalhado sobre o oceano, é dada por A( t ) = 16 ⋅ e 0,1t , t ∈ [ 0, 24 ] . A ( t + 1) a) Verifique que para qualquer valor de t, é constante. A (t ) Determine um valor aproximado dessa constante e interprete esse valor, no contexto da situação descrita. b) Admita que a mancha de óleo é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a 7 km da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao acidente, a mancha de óleo atingirá a costa. 13 de 13