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BASES MATEM´ATICAS
Enunciado: Prove que |x + y| ≤ |x| + |y|.
Pela defini¸c˜ao de valor absoluto
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
|y| =
y se y ≥ 0
−y se y < 0
ent˜ao
|x| + |y| =



x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0
x − y se x ≥ 0 e y < 0
−x + y se x < 0 e y ≥ 0
−x − y se x < 0 e y < 0
e
|x + y| =
x + y se x + y ≥ 0
−x − y se x + y < 0
Estudando todos os casos:
1o caso) |x + y| ≤ x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0
Se x ≥ 0 e y ≥ 0 ent˜ao x + y ≥ 0. Logo, a compara¸c˜ao a ser feita ´e com |x + y| = x + y.
Portanto, ´e trivial que x + y ≤ x + y.
2o caso) |x + y| ≤ x − y se x ≥ 0 e y < 0
Neste caso n˜ao ´e poss´ıvel saber qual a condi¸c˜ao de |x + y| deve ser analisada, portanto, analisemos
ambas.
i) x + y ≤ x − y ⇒ y ≤ 0
ii) −x − y ≤ x − y ⇒ x ≥ 0
No primeiro caso a desigualdade ´e v´alida caso y ≤ 0 sem depender do valor de x. No segundo caso a
desigualdade ´e v´alida caso x ≥ 0 sem depender do valor de y. Portanto, ambos os casos s˜ao v´alidos
no dominio {x ≥ 0 e y < 0} e |x + y| ≤ x − y.
3o caso) |x + y| ≤ −x + y se x < 0 e y ≥ 0
Neste caso n˜ao ´e poss´ıvel ter certeza sobre a condi¸c˜ao de |x + y| a ser analisada, portanto, analisemos
ambas.
i) x + y ≤ −x + y ⇒ x ≤ 0
ii) −x − y ≤ −x + y ⇒ y ≥ 0
No primeiro caso a desigualdade ´e v´alida caso x ≤ 0 sem depender do valor de y. No segundo caso a
desigualdade ´e v´alida caso y ≥ 0 sem depender do valor de x. Portanto, ambos os casos s˜ao v´alidos
no dominio {x < 0 e y ≥ 0} e |x + y| ≤ −x + y.
4o caso) |x + y| ≤ −x − y se x < 0 e y < 0
Se x < 0 e y < 0 ent˜ao x + y < 0. Logo a compara¸c˜ao a ser feita ´e com |x + y| = −x − y.
Portanto, ´e trivial que −x − y ≤ −x − y.
Ap´os demonstrar a veracidade da propriedade em todos os casos poss´ıveis, conclui-se que |x + y| ≤
|x| + |y|.
1
Outra forma de demonstrar a propriedade
´E f´acil notar que |x| ≥ x e |y| ≥ y. Somando, ent˜ao, membro a membro essas desigualdade obtemos
que |x| + |y| ≥ x + y. De forma an´aloga, podemos escrever |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, donde resulta,
efetuando a soma membro a membro, que |x| + |y| ≥ −(x + y). Da´ı, podemos afirmar, com toda
certeza que |x| + |y| ´e maior ou igual a max{x + y, −(x + y)}. Mas, por defini¸c˜ao de valor absoluto,
|x + y| = max{x + y, −(x + y)}. Portanto, |x| + |y| ≥ |x + y|.
2

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  • 1. BASES MATEM´ATICAS Enunciado: Prove que |x + y| ≤ |x| + |y|. Pela defini¸c˜ao de valor absoluto |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 |y| = y se y ≥ 0 −y se y < 0 ent˜ao |x| + |y| =    x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0 x − y se x ≥ 0 e y < 0 −x + y se x < 0 e y ≥ 0 −x − y se x < 0 e y < 0 e |x + y| = x + y se x + y ≥ 0 −x − y se x + y < 0 Estudando todos os casos: 1o caso) |x + y| ≤ x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0 Se x ≥ 0 e y ≥ 0 ent˜ao x + y ≥ 0. Logo, a compara¸c˜ao a ser feita ´e com |x + y| = x + y. Portanto, ´e trivial que x + y ≤ x + y. 2o caso) |x + y| ≤ x − y se x ≥ 0 e y < 0 Neste caso n˜ao ´e poss´ıvel saber qual a condi¸c˜ao de |x + y| deve ser analisada, portanto, analisemos ambas. i) x + y ≤ x − y ⇒ y ≤ 0 ii) −x − y ≤ x − y ⇒ x ≥ 0 No primeiro caso a desigualdade ´e v´alida caso y ≤ 0 sem depender do valor de x. No segundo caso a desigualdade ´e v´alida caso x ≥ 0 sem depender do valor de y. Portanto, ambos os casos s˜ao v´alidos no dominio {x ≥ 0 e y < 0} e |x + y| ≤ x − y. 3o caso) |x + y| ≤ −x + y se x < 0 e y ≥ 0 Neste caso n˜ao ´e poss´ıvel ter certeza sobre a condi¸c˜ao de |x + y| a ser analisada, portanto, analisemos ambas. i) x + y ≤ −x + y ⇒ x ≤ 0 ii) −x − y ≤ −x + y ⇒ y ≥ 0 No primeiro caso a desigualdade ´e v´alida caso x ≤ 0 sem depender do valor de y. No segundo caso a desigualdade ´e v´alida caso y ≥ 0 sem depender do valor de x. Portanto, ambos os casos s˜ao v´alidos no dominio {x < 0 e y ≥ 0} e |x + y| ≤ −x + y. 4o caso) |x + y| ≤ −x − y se x < 0 e y < 0 Se x < 0 e y < 0 ent˜ao x + y < 0. Logo a compara¸c˜ao a ser feita ´e com |x + y| = −x − y. Portanto, ´e trivial que −x − y ≤ −x − y. Ap´os demonstrar a veracidade da propriedade em todos os casos poss´ıveis, conclui-se que |x + y| ≤ |x| + |y|. 1
  • 2. Outra forma de demonstrar a propriedade ´E f´acil notar que |x| ≥ x e |y| ≥ y. Somando, ent˜ao, membro a membro essas desigualdade obtemos que |x| + |y| ≥ x + y. De forma an´aloga, podemos escrever |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, donde resulta, efetuando a soma membro a membro, que |x| + |y| ≥ −(x + y). Da´ı, podemos afirmar, com toda certeza que |x| + |y| ´e maior ou igual a max{x + y, −(x + y)}. Mas, por defini¸c˜ao de valor absoluto, |x + y| = max{x + y, −(x + y)}. Portanto, |x| + |y| ≥ |x + y|. 2