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INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO BANCÁRIA


              CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MATEMÁTICA
                                  Ano lectivo 2008/2009


                                  Exame Época Normal


                  30 de Janeiro de 2009    Duração: 2 horas e 30 minutos
                                          Resolução
1 - Considere o sistema de equações lineares:


                  ⎧ x − y + 2z = 1
                  ⎪
                  ⎨ x − y + az = 2
                  ⎪x + 4 y + 2z = b − 2
                  ⎩


   a) Classifique o sistema em função de a e b. (25)
Podemos utilizar o método de eliminação de Gauss para obter um sistema reduzido.
Assim, podemos começar por eliminar a incógnita x da segunda e da terceira equações:

             − x +           y − 2    z = −1
− E1 + E 2 :   x −           y + a    z = 2




                                 (a − 2) z = 1


              −   x +        y − 2 z = −1
− E1 + E3 :       x + 4      y + 2 z = b−2




                         5   y              = b−3
O sistema vem agora equivalente a

⎧        −
⎪
⎨                        ( a − 2) z =        1
⎪                                      = b−3
⎩            5   y




Estamos agora em condições de classificar o sistema:

•   Para α − 2 ≠ 0 ⇔ α ≠ 2 , ∀ b , o sistema é possível e determinado;
•   Para α − 2 = 0 ⇔ α = 2 , ∀ b , o sistema é impossível;
•   O sistema nunca é possível e indeterminado.

    b) Resolva o sistema para a = 0 e b = 1. (15)
O determinante da matriz dos coeficientes vem
1 −1 2
1 − 1 0 = −2 + 0 + 8 − (−2 − 2 + 0) = 6 + 4 = 10 .
1 4 2
                                                                    1
Por substituição ordenada no sistema reduzido, vem − 2 z = 1 ⇔ z = − . Substituindo
                                                                    2
                                            2
na segunda equação temos 5 y = −2 ⇔ y = − . Finalmente, substituindo na primeira
                                            5
                                                                   ⎡ 8 ⎤
                                                                   ⎢ ⎥
                                                              ⎡ x⎤ ⎢ 5 ⎥
equação vem x − y + 2 z = 1 ⇔ x = 1 − + 2 = . Assim, vem ⎢ y ⎥ = ⎢− ⎥ .
                                     2    1 8                         2
                                     5    2 5                 ⎢ ⎥ ⎢ 5⎥
                                                              ⎢z⎥ ⎢ 1⎥
                                                              ⎣ ⎦
                                                                   ⎢− 2 ⎥
                                                                   ⎣ ⎦



2 - Considere a função f, real de variável real, definida por:


                           ⎧− x − 1        , x < −1
                           ⎪
                 f ( x ) = ⎨− 2( x + 1) 2 ,−1 ≤ x < 1
                           ⎪log( x − 1)        ,x >1
                           ⎩

    a) Indique o domínio e os zeros da função. (15)




                                                                                 2
Para x < −1, f(x) é definida por uma função afim com domínio IR.. Para −1 ≤ x < 1 f(x) é
definida por uma parábola cujo domínio é IR e para x > 1 f(x) é definida por uma função
logarítmica que neste intervalo de valores de x se encontra definida. A função f(x) só
não está definida no ponto x=1, conclui-se assim que o seu domínio é IR  {1}.


Zeros: − x − 1 = 0 ∧ x < −1 ⇔ x = −1 ∧ x < −1              impossível

− 2( x + 1) = 0 ∧ − 1 ≤ x < 1 ⇔ x = −1
           2



log( x − 1) = 0 ∧ x > 1 ⇔ x = 2


Zeros: {−1, 2}.



  b) Obtenha a função derivada f ' ( x) e mostre que não é diferenciável no ponto x=1.
       (15)

A função derivada obtém-se por aplicação das regras de derivação aos vários ramos de
f(x). Uma vez que f(x) não está definida no ponto x=1, não admite derivada finita nesse
ponto e portanto não será diferenciável.



Derivadas laterais em x = −1



                      f (−1 + h) − f (−1)        − (− 1 + h ) − 1 − 0        −h
f ' (−1− ) = lim−                         = lim−                      = lim−    = −1
               h →0            h            h →0          h             h →0  h

                 f (−1 + h) − f (−1)          − 2(− 1 + h + 1) − 0        − 2h 2
                                                                  2
      +
f ' (−1 ) = lim+                     = lim                         = lim+        = lim (−2h) = 0
            h→0           h            h →0 +           h            h→0    h      h →0 +




como as derivadas laterais são diferentes não existe derivada em x = −1.
A função derivada vem:

                                                ⎧
                                                ⎪− 1       , x < −1
                                                ⎪
                                     f ´( x ) = ⎨− 4 x − 4 , − 1 < x < 1
                                                ⎪ 1
                                                ⎪           , x >1
                                                ⎩ x −1



                                                                                              3
c) Indique os intervalos de monotonia e extremos relativos da função. (15)



O quadro de sinais vem


                    x      −∞                  −1              1    +∞
                  f'(x)               −        NE      −       ND    +
                   f(x)                        0               ND
NE-Não Existe; ND-Não Definida
Intervalos de monotonia:
A função é monótona decrescente para x∈ ]− ∞, 1[ .

A função é monótona crescente para x∈ ]1, + ∞[ .

Não há extremos relativos.

     d) Represente graficamente a função. (15)

                                           y




                                 -1        1       2       x




                                      -8




3-

                                                                                  4
a) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções:


                        x                             3
                  y=                     ey=                      . (15)
                        x                           3x − 2


                                                                                 1        1
                                          x       x   x1   1−
Primitivação da função y =                   : y=   = 1 = x 2 = x2
                                           x       x x 2

                            1                  3          3
                                +1
                            x2 2⋅ x2 2⋅ x x
                   1
                     x2
Assim, Y = P ( x ) =
                   2
                          =   =     =       +k.
                     1      3    3      3
                       +1
                     2      2

                                                 3            3                       −1
Primitivação da função y =                             : y=          = 3 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2
                                              3⋅ x − 2      3⋅ x − 2

                                                              1
                                     −1         (3 ⋅ x − 2)       2                       1
           Y = P3 ⋅ (3 ⋅ x − 2)           2
                                              =                       = 2 ⋅ (3 ⋅ x − 2)       2
                                                                                                  =
Assim,                                               12
           = 2 3⋅ x − 2 + k


     b) Calcule a área do domínio plano definido pelas funções y = − x 2 + 1 e y = 0 . (15)
                                     1
 1                ⎛ x3    ⎞    ⎛ (1)3 ⎞ ⎛ (−1)3        ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1                  ⎞ 4
∫−1 (− x + 1)dx = ⎜ − + x ⎟ = ⎜ −
                               ⎜ 3 + 1⎟ − ⎜ − 3 + (−1) ⎟ = ⎜ − 3 + 1⎟ − ⎜ 3 + (−1) ⎟ = 3
       2
                  ⎜ 3     ⎟           ⎟ ⎜              ⎟
                  ⎝       ⎠ −1 ⎝      ⎠ ⎝              ⎠ ⎝          ⎠ ⎝            ⎠


Graficamente temos:




                                                                                                      5
∞
                                       ⎛ n  3 ⎞
4-     a) Calcule a soma da série ∑ ⎜ n + n-1 ⎟ . (20)
                                  n =1 ⎝ 2 4 ⎠

 ∞
     ⎛ n   3 ⎞ ∞⎛ n          ⎞ ∞⎛ 3 ⎞
∑ ⎜ 2 n 4 n −1 ⎟ = ∑ ⎜ 2 n
     ⎜   +     ⎟      ⎜      ⎟ + ∑⎜
                             ⎟      ⎜         ⎟
                                              ⎟
                             ⎠ n = 1⎝ 4 n − 1 ⎠
n = 1⎝         ⎠ n = 1⎝




Série Aritmético-Geométrica de razão r = 1/2 < 1 logo a série é convergente e a soma
da série é



 ∞                                                n
     ⎛ 3 ⎞ ∞⎛ 3            1 ⎞    ∞
                                       ⎛1⎞
∑ ⎜ 4 n −1 ⎟
     ⎜     ⎟ = ∑⎜   ⎜ −1 × ⎟ = ∑ 12 ⎜ ⎟
                             ⎟
                          4n ⎠   n =1 ⎝ ⎠
n = 1⎝     ⎠ n = 1⎝ 4                   4
Série Geométrica de razão r = 1/4 < 1 logo a série é convergente e a soma da série é
                   1
             12 ×
       u1         4 = 3 = 3× 4 = 4
S=         =
      1− r   1−
                  1    3      3
                  4    4
Logo a soma da série dada é
S = 2+4 =6




                                                                                       6
b) Estude a natureza das séries:


               ∞
                          n
          i)   ∑ n + 5 ; (10)
               n =1



    Condição Necessária de Convergência



   Logo a série é divergente.

                      ∞
                        5 2n
            ii)    ∑ n . (10)
                   n =1




    Critério de Alembert  




   Logo a série é divergente.



5 – O Banco Central de um país tem uma equipa de 10 técnicos afectos ao
Departamento de Supervisão Bancária (DSB). Foi seleccionada uma amostra de 5
bancos para serem analisados pela referida equipa ao longo do mês de Fevereiro.


a) Quantas equipas de 3 técnicos pode o responsável do DSB constituir para efectuar a
análise pretendida? (20)

          C 3 = 120 equipas diferentes.
            10




b) De quantas formas pode o responsável do DSB distribuir essas equipas pelos bancos
que constituem a amostra admitindo que cada equipa só analisará um banco? (10)

  120
        A5 = 120 × 119 × 118 × 117 × 116 = 22869362880 formas diferentes.




                                                                                        7

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Exame matematica

  • 1. INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO BANCÁRIA CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MATEMÁTICA Ano lectivo 2008/2009 Exame Época Normal 30 de Janeiro de 2009 Duração: 2 horas e 30 minutos Resolução 1 - Considere o sistema de equações lineares: ⎧ x − y + 2z = 1 ⎪ ⎨ x − y + az = 2 ⎪x + 4 y + 2z = b − 2 ⎩ a) Classifique o sistema em função de a e b. (25) Podemos utilizar o método de eliminação de Gauss para obter um sistema reduzido. Assim, podemos começar por eliminar a incógnita x da segunda e da terceira equações: − x + y − 2 z = −1 − E1 + E 2 : x − y + a z = 2 (a − 2) z = 1 − x + y − 2 z = −1 − E1 + E3 : x + 4 y + 2 z = b−2 5 y = b−3
  • 2. O sistema vem agora equivalente a ⎧ − ⎪ ⎨ ( a − 2) z = 1 ⎪ = b−3 ⎩ 5 y Estamos agora em condições de classificar o sistema: • Para α − 2 ≠ 0 ⇔ α ≠ 2 , ∀ b , o sistema é possível e determinado; • Para α − 2 = 0 ⇔ α = 2 , ∀ b , o sistema é impossível; • O sistema nunca é possível e indeterminado. b) Resolva o sistema para a = 0 e b = 1. (15) O determinante da matriz dos coeficientes vem 1 −1 2 1 − 1 0 = −2 + 0 + 8 − (−2 − 2 + 0) = 6 + 4 = 10 . 1 4 2 1 Por substituição ordenada no sistema reduzido, vem − 2 z = 1 ⇔ z = − . Substituindo 2 2 na segunda equação temos 5 y = −2 ⇔ y = − . Finalmente, substituindo na primeira 5 ⎡ 8 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ x⎤ ⎢ 5 ⎥ equação vem x − y + 2 z = 1 ⇔ x = 1 − + 2 = . Assim, vem ⎢ y ⎥ = ⎢− ⎥ . 2 1 8 2 5 2 5 ⎢ ⎥ ⎢ 5⎥ ⎢z⎥ ⎢ 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢− 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 - Considere a função f, real de variável real, definida por: ⎧− x − 1 , x < −1 ⎪ f ( x ) = ⎨− 2( x + 1) 2 ,−1 ≤ x < 1 ⎪log( x − 1) ,x >1 ⎩ a) Indique o domínio e os zeros da função. (15) 2
  • 3. Para x < −1, f(x) é definida por uma função afim com domínio IR.. Para −1 ≤ x < 1 f(x) é definida por uma parábola cujo domínio é IR e para x > 1 f(x) é definida por uma função logarítmica que neste intervalo de valores de x se encontra definida. A função f(x) só não está definida no ponto x=1, conclui-se assim que o seu domínio é IR {1}. Zeros: − x − 1 = 0 ∧ x < −1 ⇔ x = −1 ∧ x < −1 impossível − 2( x + 1) = 0 ∧ − 1 ≤ x < 1 ⇔ x = −1 2 log( x − 1) = 0 ∧ x > 1 ⇔ x = 2 Zeros: {−1, 2}. b) Obtenha a função derivada f ' ( x) e mostre que não é diferenciável no ponto x=1. (15) A função derivada obtém-se por aplicação das regras de derivação aos vários ramos de f(x). Uma vez que f(x) não está definida no ponto x=1, não admite derivada finita nesse ponto e portanto não será diferenciável. Derivadas laterais em x = −1 f (−1 + h) − f (−1) − (− 1 + h ) − 1 − 0 −h f ' (−1− ) = lim− = lim− = lim− = −1 h →0 h h →0 h h →0 h f (−1 + h) − f (−1) − 2(− 1 + h + 1) − 0 − 2h 2 2 + f ' (−1 ) = lim+ = lim = lim+ = lim (−2h) = 0 h→0 h h →0 + h h→0 h h →0 + como as derivadas laterais são diferentes não existe derivada em x = −1. A função derivada vem: ⎧ ⎪− 1 , x < −1 ⎪ f ´( x ) = ⎨− 4 x − 4 , − 1 < x < 1 ⎪ 1 ⎪ , x >1 ⎩ x −1 3
  • 4. c) Indique os intervalos de monotonia e extremos relativos da função. (15) O quadro de sinais vem x −∞ −1 1 +∞ f'(x) − NE − ND + f(x) 0 ND NE-Não Existe; ND-Não Definida Intervalos de monotonia: A função é monótona decrescente para x∈ ]− ∞, 1[ . A função é monótona crescente para x∈ ]1, + ∞[ . Não há extremos relativos. d) Represente graficamente a função. (15) y -1 1 2 x -8 3- 4
  • 5. a) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: x 3 y= ey= . (15) x 3x − 2 1 1 x x x1 1− Primitivação da função y = : y= = 1 = x 2 = x2 x x x 2 1 3 3 +1 x2 2⋅ x2 2⋅ x x 1 x2 Assim, Y = P ( x ) = 2 = = = +k. 1 3 3 3 +1 2 2 3 3 −1 Primitivação da função y = : y= = 3 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 3⋅ x − 2 3⋅ x − 2 1 −1 (3 ⋅ x − 2) 2 1 Y = P3 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 = = 2 ⋅ (3 ⋅ x − 2) 2 = Assim, 12 = 2 3⋅ x − 2 + k b) Calcule a área do domínio plano definido pelas funções y = − x 2 + 1 e y = 0 . (15) 1 1 ⎛ x3 ⎞ ⎛ (1)3 ⎞ ⎛ (−1)3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 4 ∫−1 (− x + 1)dx = ⎜ − + x ⎟ = ⎜ − ⎜ 3 + 1⎟ − ⎜ − 3 + (−1) ⎟ = ⎜ − 3 + 1⎟ − ⎜ 3 + (−1) ⎟ = 3 2 ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Graficamente temos: 5
  • 6. ⎛ n 3 ⎞ 4- a) Calcule a soma da série ∑ ⎜ n + n-1 ⎟ . (20) n =1 ⎝ 2 4 ⎠ ∞ ⎛ n 3 ⎞ ∞⎛ n ⎞ ∞⎛ 3 ⎞ ∑ ⎜ 2 n 4 n −1 ⎟ = ∑ ⎜ 2 n ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ + ∑⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ n = 1⎝ 4 n − 1 ⎠ n = 1⎝ ⎠ n = 1⎝ Série Aritmético-Geométrica de razão r = 1/2 < 1 logo a série é convergente e a soma da série é ∞ n ⎛ 3 ⎞ ∞⎛ 3 1 ⎞ ∞ ⎛1⎞ ∑ ⎜ 4 n −1 ⎟ ⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎜ −1 × ⎟ = ∑ 12 ⎜ ⎟ ⎟ 4n ⎠ n =1 ⎝ ⎠ n = 1⎝ ⎠ n = 1⎝ 4 4 Série Geométrica de razão r = 1/4 < 1 logo a série é convergente e a soma da série é 1 12 × u1 4 = 3 = 3× 4 = 4 S= = 1− r 1− 1 3 3 4 4 Logo a soma da série dada é S = 2+4 =6 6
  • 7. b) Estude a natureza das séries: ∞ n i) ∑ n + 5 ; (10) n =1 Condição Necessária de Convergência Logo a série é divergente. ∞ 5 2n ii) ∑ n . (10) n =1 Critério de Alembert   Logo a série é divergente. 5 – O Banco Central de um país tem uma equipa de 10 técnicos afectos ao Departamento de Supervisão Bancária (DSB). Foi seleccionada uma amostra de 5 bancos para serem analisados pela referida equipa ao longo do mês de Fevereiro. a) Quantas equipas de 3 técnicos pode o responsável do DSB constituir para efectuar a análise pretendida? (20) C 3 = 120 equipas diferentes. 10 b) De quantas formas pode o responsável do DSB distribuir essas equipas pelos bancos que constituem a amostra admitindo que cada equipa só analisará um banco? (10) 120 A5 = 120 × 119 × 118 × 117 × 116 = 22869362880 formas diferentes. 7