O documento fornece informações sobre determinantes de matrizes. Em três frases ou menos: 1) Determinantes representam valores numéricos associados a matrizes e são calculados de diferentes formas dependendo da ordem da matriz. 2) Propriedades dos determinantes incluem que se uma linha ou coluna for nula ou proporcional a outra, o determinante será nulo. 3) O Teorema de Laplace permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3 somando produtos de elementos por seus respectivos cofatores.

1. D
E
T
E
R
M
Determinante
I
N
A
N
T
E

2. O que você sabe
sobre
determinante?

3. Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
 Matrizes
 Equação do 1º
 Equação do 2º grau

4. Como representamos o
determinante de uma
matriz?
Colocando os elementos de uma matriz
entre duas barras verticais.
Exemplos:
1 2  12
A =
4 0  ⇒Det A = 4 0

 
 1 4 0 140
 
B =  2 0 1  ⇒ Det B = 2 0 1
5 5 3  553
 

5. Como calculamos o
determinante de uma
matriz quadrada?
 Se for uma matriz de ordem 1,
então o determinante é o próprio
elemento da matriz.
Exemplo:
A = ( − 4 ) ⇒ det A = − 4 = −4

6.  Se for uma matriz de ordem 2, então o
determinante é a diferença entre o produto dos
elementos da matriz principal e o produto dos
elementos da matriz secundária.
Exemplo:
2 3  2 3
A =
1 0 ⇒
 det A =
  10
2.0 − 3.1 = −3

7. Tente fazer sozinho!
 x − 1  x y
(UF-PI) Sejam A =  y 2 e B =  1 1
  
   
Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y é
igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

8. Solução
x −1 x y
det A = =4 det B = =2
y 2 11
2 x − (− y ) = 4 ⇒ 2 x + y = 4 x− y =2
2 x + y = 4 2 x + y = 4 3x = 6 x-y=2
 ⇒ ⇒
2-y=2
x − y = 2 x − y = 2 x=2
y=0
Logo, x + y = 2 + 0 = 2
Resposta: letra A.

9.  Se for uma matriz de ordem 3,
então o determinante é calculado
através da Regra de Sarrus.

11. Exemplo:
det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12
det A = 0

12. Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que
1 2 x
x 0 − 1 = −8 é(são):
x −2 −3
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3

13. Solução
1 2 x 1 2
1 2 x
x 0 − 1 x 0 = −8
x 0 − 1 = −8
x − 2 − 3 x -2
x −2 −3
0 -2 6x 0 -2x -2x2
-2 + 6x -2x -2x2 =-8
-2x2 + 4x -10 = 0
As raízes são -1 e 3.
Resposta: letra E.

14. Propriedades dos
determinantes
1ª) Se todos os elementos de uma fila
(linha ou coluna) de uma matriz quadrada
forem iguais a zero, o determinante
dessa
matriz também será zero.
1 0 4 1 
 
Exemplo: 2 0 3 0 
A = ⇒ det A =0
3 0 7 2
 
9 0 0 5 
 

15. 2ª) Se os elementos correspondentes de
duas filas (duas linhas ou duas colunas) de
uma matriz forem iguais, o determinante
dessa matriz será zero.
Exemplo:
1 0 4 1 
 
2 7 3 0 
A = ⇒det A =0
2 5 3 0
 
9 1 0 5 
 

16. 3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de uma matriz forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será zero.
Exemplo: 1 0 4 2 
 
2 7 3 4 
A = ⇒det A =0
2 7 3 4
 
3 1 0 6 
 

17. 4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas)
de posição, o determinante da nova matriz será o
oposto da matriz anterior.
Exemplo:  1 2 5
 
 0 1 3 
 
A= 0 1 3  e B= 1 2 5
 −1 0 − 2   −1 0 − 2 
   
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13

18. 5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)
forem multiplicados por um mesmo número, então o
determinante também fica multiplicado por esse número.
Exemplo:  1 2 5  3 6 15 
   
A= 0 1 3  e B= 1 2 5
 −1 0 − 2  −1 0 −2 
   
det A =
det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39

19. 6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um
número real, então o determinante fica multiplicado por
esse número elevado a ordem da matriz.
Exemplo:
 1 2 5  1 2 5  2 4 10 
     
A= 0 1 3  e B = 2 0 1 3  =  0 2 6
 −1 0 − 2  −1 0 − 2  − 2 0 −4 
     
det A = 13, então det B = 13. 23 = 104

20. 7ª) O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante da sua transposta.
Exemplo:
 1 2 5
 
A= 0 1 3 
 −1 0 − 2
 
det A = 13, então det At = 13

21. 8ª) O determinante de uma matriz triangular
é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal.
Exemplo:
1 2 5 
 
A = 0 1 3 
0 0 − 2
 
det A = 1.1.(-2) = -2

22. 9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas
matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz
produto, então det(AB) = (det A) (det B).
Exemplo: A =  3 2 

0 2
 5 − 1
 e B=
 3 4

   
 6 14 
AB = 
 − 3 6  ⇒ det( AB ) = 36 + 42 = 78

 
det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78

23. Tente fazer sozinho!
(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais
que det A = 3 e det B = 4.
Então, det (A . 2B) é igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96

24. Solução
det A = 3 e det B = 4
Pelo Teorema de Binet temos que:
det(A . 2B) = det A . det 2B
E pela 6ª propriedade temos que:
det 2B = 4 . 23 = 32
Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96  letra E.

25. 10ª) Seja A uma matriz
quadrada invertível
e A-1 sua inversa. Então, det A−1 = 1
det A
Exemplo:
 0 1 
 1 − 1 −1  2
A=
2 0   e A =
   −1 1 

 2
−1 1
det A = 0 + 2 = 2, então det A =
2

26. Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de
ordem 3, possui determinante igual a 2.
O valor de det (2 . A-1) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

27. Solução
det A = 2
Pela 10ª propriedade temos que:
−1 1 −1 1
det A = ⇒ det A =
det A 2
Pela 6ª propriedade temos que:
det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4
Logo, det (2 . A-1) = 4  letra D.

28. Teorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o
determinante da matriz A será o número real que
se obtém somando-se os produtos dos elementos
de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus
respectivos cofatores.
Esse teorema nos permite calcular o determinante
de matrizes de ordem maior que 3.
Porém, antes vamos aprender os conceitos
de Cofator.

29. O que é Cofator de uma
matriz?
É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice
de um elemento) pelo determinante da
matriz obtida quando eliminamos a linha e
a coluna desse elemento.
Exemplo: Considerando a matriz
2 5 3 
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 

30. Vamos calcular os cofator c11.
2 5 3 
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 
− 2 −1
C11 = (-1) 1+1
.
4 −3
C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10

31. Vamos calcular os cofator c23.
2 5 3 
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 
2 5
C23 = (-1) 2+3
.
6 4
C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22

32. Teorema de La Place
Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,
o determinante da matriz A será o número
real
que se obtém somando-se os produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna)
qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo: Considerando3amatriz
2 5
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 

33. Vamos calcular o determinante
usando da segunda linha.
2 5 3 
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 
5 3
C21 = (-1) 2+1
. = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27
4 −3
2 3
C22 = (-1)2+2 . 6 − 3 = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24
2 5
C23 = (-1)2+3 . 6 4 = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22

34. Então, o cálculo do
determinante da matriz
2 5 3 
 
A =  0 − 2 −1
 6 4 − 3
 
Pelo Teorema de La Place é:
det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)
det A = 0 + 48 - 22
det A = 26.

35. O que você aprendeu:
 Como representar e calcular um
determinante.
 Regra de Sarrus.
 As propriedades dos determinantes.
 Teorema de La Place.

36. Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 146 a 174.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 303 a 313.
 Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.
 http://www.somatematica.com.br/emedio/det
erminantes/