Este documento apresenta um resumo da função modular. Ele define módulo, propriedades de equações e inequações modulares e exemplos delas. Também define função modular como uma função de números reais para reais que mapeia cada número para seu valor absoluto, e discute a construção gráfica de funções modulares como a união de duas semirretas.

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II
RESUMO FUNÇÃO MODULAR
Matemática
Professor Cristiano Marcell
Módulo f) | x | = | y | ↔ x = y ou x = -y
Definição: Seja x um número Real. Definimos o Exemplo 1
módulo de x e representamos por | x |, como sendo:
|x + 3| = 5
 x; se x  0
x  Condições:
 x; se x  0
Exemplos: x + 3 = 5 ou x + 3 = – 5
a) | -2 | = - (-2) = 2 Resolução:
b) | 4 | = 4
c) | 0 | = 0 x+3=5→x=5–3→x=2
x+3=–5→x=–5–3→x=–8
Dado um número real x, tem-se sempre que 𝑥2 =
𝑥. S = {– 8; 2}
Exemplos: Exemplo 2
|8x – 16| = 2x + 2
a) (3)2  9  3  3
Condições:
b)  22  2 2
|8x – 16| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se 2x + 2
Considere π = 3,1415.. ≥ 0, 2x ≥ –2, x ≥ –1
|8x – 16| = 2x + 2
c) 2− 𝜋 2 = 2 – π (isto é uma proposição falsa) 8x – 16 = 2x + 2 ou 8x – 16 = – (2x + 2)
2− 𝜋 2 = 2 – π = π − 2, pois π é maior que 2. Resolução:
8x – 16 = 2x + 2 → 8x – 2x = 2 + 16 → 6x = 18 → x =
Equações e inequações modulares 18/6 → x = 3
Definição: São equações e inequações que apresentam 8x – 16 = – (2x + 2) → 8x – 16 = – 2x – 2 → 8x + 2x = – 2
variável em módulos de boa parte delas são resolvidas, + 16 → 10x = 14 → x = 7/5 → x = 1,4
utilizando as seguintes propriedades:
Verifique que x = 3 e x = 1,4, satisfazem a condição x ≥ –
a) | x |  0, ∀ x  R 1, portanto o conjunto solução é {1,4; 3}
b) | x | = 0 ↔ x = 0
Exemplo 3
c) Se k > 0, | x | = k ↔ x = - k ou x = k
|x + 1| = |x – 3|
d) Se k > 0, | x |  k ↔ - k  x  k
x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (Não é
possível)
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x =
e) Se k > 0, | x |  k ↔ x  - k ou x  k 2→x=1
Solução: {1}
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

2. Professor Cristiano Marcell
Exemplo 4
Agora, esboçaremos f(x) = 𝑥 2 − 1
|x² – 5x + 6| = 2
x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0
(Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4
x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0
(Bháskara: não possui raízes reais)
Solução: {1,4}
Função Modular
Definição: uma função de R em R recebe o nome de Após...𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 − 2
Função Modular, quando se associa a cada x  R, o
elemento | x |  R, Isto é:
 f = R→R
 x→|x|
O gráfico da Função Modular é constituído pela união
de duas semirretas, como mostra a figura:
Vejamos:
f(x) = x   x; se x  0

 x; se x  0
Vamos construir o gráfico de f(x) = 𝑥 2 − 1 − 2
Primeiro faremos o gráfico de y = x2 – 1.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)