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Função Modular  ProfªMárcia Regina Berbetz Conte
Módulo (ou valor absoluto) de um número   O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: Então:    se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos:  | 2 | = 2  ;  | 1/2 | = | 1/2 |  ;  | 15 | = 15      se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos:  | -2 | = -(-2) = 2  ;  | -20 | = -(-20) = 20
O módulo de um número real é  sempre  positivo ou nulo. O módulo de um número real  nunca  é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:           -> Se | x | <  a  (com  a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que  a , isto é, x deve estar entre  –a  e  a , ou seja, | x | <  a      -a  < x <  a .             ->  Se | x | >  a  (com  a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que  a , isto é, deve estar à direita de  a  ou à esquerda de  –a  na reta real, ou seja: | x | >  a     x >  a  ou x <  -a .
Equações modulares   ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
2) ) Resolver a equação  | x-6 | = | 3-2x | . Resolução:  Temos que analisar dois casos: caso 1:  x-6 = 3-2x caso 2:   x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x  =>  x+2x = 3+6  =>  3x=9  =>  x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x)  =>  x-2x = -3+6  =>  -x=3  =>  x=-3 Resposta:   S={-3,3} 1) Resolvendo o caso 1: x 2 -5x-6 = 0  =>  x’=6  e  x’’=-1 . Resolvendo o caso 2: x 2 -5x+6 = 0  =>  x’=3  e  x’’=2 . Resposta:   S={-1,2,3,6}   Algumas equações modulares resolvidas:   1)      Resolver a equação  | x 2 -5x | = 6 . Resolução:  Temos que analisar dois casos: caso 1:  x 2 -5x = 6 caso 2:   x 2 -5x = -6  
Inequações Modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.   Algumas inequações modulares resolvidas:   1)      Resolver a inequação  | -2x+6 | < 2 . Resolução:   S = {x    IR | 2<x<4}
1)      Dê o conjunto solução da inequação |x 2 -2x+3|    4.   Resolução: |x 2 -2x+3|    4  =>  -4    x 2 -2x+3    4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1 : -4    x 2 -2x+3 Eq.2 : x 2 -2x+3    4   Resolvendo a Eq.1: -4    x 2 -2x+3  =>  -4-3    x 2 -2x  =>  -7    x 2 -2x  =>  x 2 -2x+7    0  =>  sem raízes reais   Resolvendo a Eq.2:   x 2 -2x+3    4  =>  x 2 -2x-1    0
Módulo e raiz quadrada Consideremos os números reais  x  e  y . se e somente se, y 2  = x e y  0.  Daí podemos concluir que   só é verdadeiro se x  0. Se tivermos x<0, não podemos afirmar  pois isso contradiz a definição.   Por exemplo, se x=-3, teríamos:   o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever:   o que é  verdadeiro  para  todo  x  real.
      Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:
Função modular   Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:   Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.        Determinação do domínio   Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:
Exemplo 1 : Determinar o domínio da função   Resolução:
Exemplo 2 : Determinar o domínio da função   Resolução:
Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:   Gráfico da função f(x)=|x|: x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2

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Funcao modular

  • 1. Função Modular ProfªMárcia Regina Berbetz Conte
  • 2. Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: Então:  se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15    se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
  • 3. O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:          -> Se | x | < a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre –a e a , ou seja, | x | < a  -a < x < a .            -> Se | x | > a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a .
  • 4.
  • 5. 2) ) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x | . Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3 Resposta: S={-3,3} 1) Resolvendo o caso 1: x 2 -5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1 . Resolvendo o caso 2: x 2 -5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2 . Resposta: S={-1,2,3,6} Algumas equações modulares resolvidas:   1)      Resolver a equação | x 2 -5x | = 6 . Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x 2 -5x = 6 caso 2: x 2 -5x = -6  
  • 6. Inequações Modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.   Algumas inequações modulares resolvidas:   1)      Resolver a inequação | -2x+6 | < 2 . Resolução: S = {x  IR | 2<x<4}
  • 7. 1)      Dê o conjunto solução da inequação |x 2 -2x+3|  4.   Resolução: |x 2 -2x+3|  4 => -4  x 2 -2x+3  4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1 : -4  x 2 -2x+3 Eq.2 : x 2 -2x+3  4   Resolvendo a Eq.1: -4  x 2 -2x+3 => -4-3  x 2 -2x => -7  x 2 -2x => x 2 -2x+7  0 => sem raízes reais   Resolvendo a Eq.2:   x 2 -2x+3  4 => x 2 -2x-1  0
  • 8. Módulo e raiz quadrada Consideremos os números reais x e y . se e somente se, y 2 = x e y  0. Daí podemos concluir que só é verdadeiro se x  0. Se tivermos x<0, não podemos afirmar pois isso contradiz a definição.   Por exemplo, se x=-3, teríamos: o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: o que é verdadeiro para todo x real.
  • 9.       Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:
  • 10. Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:   Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.      Determinação do domínio   Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:
  • 11. Exemplo 1 : Determinar o domínio da função   Resolução:
  • 12. Exemplo 2 : Determinar o domínio da função   Resolução:
  • 13. Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:   Gráfico da função f(x)=|x|: x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2