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PROGRESSÃO
 ARITMÉTICA
    P.A.
Definição:
  Chama-se Progressão Aritmética (PA) à
  toda sequência numérica cujos termos a
  partir do segundo, são iguais ao anterior
  somado com um valor constante
  denominado razão.

Exemplos:
(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3
(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r
  =-5
(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0
Fórmulas de uma PA
TERMO GERAL:
        an = a1 + (n – 1) . r


an é o termo de ordem n (n-ésimo termo)
n é a posição descrita
r é a razão
a1 é o primeiro termo
SOMAS DOS TERMOS DE UMA PA

                  (a1 + an ) ⋅ n
             Sn =
                       2
Sn → é o valor da soma dos termos da sequência

a1 → é o primeiro termo escolhido da sequência

an → é o último termo escolhido da sequência

n → é a posição do último termo escolhido da
sequência
Explorando as fórmulas da PA
Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...)
Termo Geral: an = a1 + (n – 1) . r
a15=?    a1=-6     r= -2 – (-6) = 4   n = 15

a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50

R: a15 = 50
Encontrando a razão
  Determine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e
  quinto termo 2.

a5 = 2   a1=-10        r=?     n=5

                       an = a1 + (n – 1) . r

                         2 = -10 + (5-1).r

                             2=-10 + 4r

                             2+10=4r

                             r=12/4=3


Razão é 3.
Determinando o primeiro termo:
  Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com
  valor -52 , qual é o valor do primeiro termo?

a20=-52     a1=? r=-6     n=20

an = a1 + (n – 1) . R

-52=a1 + (20-1).(-6)
-52 = a1+ 19.(-6)
-52 = a1-
Soma de uma PA
  Na PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos
  10 primeiros termos.
                                 (a1 + an ) ⋅ n
                            Sn =
                                      2
  Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que
  encontrar a10:
  r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4
  Determinando o 10º termo da PA
  a10 = –1 + (10 – 1) * 4
  a10 = – 1 + 9 * 4
  a10 = – 1 + 36
  a10 = 35
Assim S10 :
                 (−3 + 35).10 32.10 320
           s10 =             =     =    = 160
                      2         2    2
Lista de Exercícios:
1 - Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural

3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35.
  Se o último termo é igual ao número de termos,
  então qual é o primeiro termo?
Questões de Vestibular:
1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20
   termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os
   termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo
   é igual a:


2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é
   dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P.
   A vale:



3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o
   primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo
   elemento -13 é:

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  • 2. Definição: Chama-se Progressão Aritmética (PA) à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: (3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3 (25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r =-5 (7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0
  • 3. Fórmulas de uma PA TERMO GERAL: an = a1 + (n – 1) . r an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) n é a posição descrita r é a razão a1 é o primeiro termo
  • 4. SOMAS DOS TERMOS DE UMA PA (a1 + an ) ⋅ n Sn = 2 Sn → é o valor da soma dos termos da sequência a1 → é o primeiro termo escolhido da sequência an → é o último termo escolhido da sequência n → é a posição do último termo escolhido da sequência
  • 5. Explorando as fórmulas da PA Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...) Termo Geral: an = a1 + (n – 1) . r a15=? a1=-6 r= -2 – (-6) = 4 n = 15 a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50 R: a15 = 50
  • 6. Encontrando a razão Determine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e quinto termo 2. a5 = 2 a1=-10 r=? n=5 an = a1 + (n – 1) . r 2 = -10 + (5-1).r 2=-10 + 4r 2+10=4r r=12/4=3 Razão é 3.
  • 7. Determinando o primeiro termo: Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com valor -52 , qual é o valor do primeiro termo? a20=-52 a1=? r=-6 n=20 an = a1 + (n – 1) . R -52=a1 + (20-1).(-6) -52 = a1+ 19.(-6) -52 = a1-
  • 8. Soma de uma PA Na PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 10 primeiros termos. (a1 + an ) ⋅ n Sn = 2 Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que encontrar a10: r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4 Determinando o 10º termo da PA a10 = –1 + (10 – 1) * 4 a10 = – 1 + 9 * 4 a10 = – 1 + 36 a10 = 35 Assim S10 : (−3 + 35).10 32.10 320 s10 = = = = 160 2 2 2
  • 9. Lista de Exercícios: 1 - Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )? 2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35. Se o último termo é igual ao número de termos, então qual é o primeiro termo?
  • 10. Questões de Vestibular: 1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a: 2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale: 3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é: