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Grandezas direta e
inversamente proporcionais
Prof. Homailson – Matemática – 9º ano
O que são “grandezas” na Matemática?!
• Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.
Grandezas diretamente proporcionais
• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma varia da
mesma forma que a outra.
Gasolina (litros) Valor pago (R$)
1 l 3,99
2 l 7,98
3 l 11,97
4 l 15,96
Constante de proporcionalidade
• A constante entre as grandezas proporcionais é encontrada pela razão
(divisão) entre elas.
Gasolina (litros) Valor pago (R$)
1 l 3,99
2 l 7,98
3 l 11,97
4 l 15,96
3,99
1
=
7,98
2
=
11,97
3
=
15,96
4
= 3,99
Grandezas inversamente proporcionais
• Grandezas cuja variação de uma provoca aumento ou redução na
outra, de forma proporcional, são as inversamente proporcionais.
Nº de pessoas
Quantos biscoitos cada
uma irá comer?
1 12
2 6
3 4
4 3
6 2
12 1
Constante de proporcionalidade inversa
• A constante entre grandezas inversamente proporcionais pode ser
obtida através do produto entre elas.
Nº de pessoas
Quantos biscoitos cada
uma irá comer?
1 12
2 6
3 4
4 3
6 2
12 1
1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3 = 6 × 2 = 12 × 1 = 12
𝑜𝑢
1
1
12
=
2
1
6
=
3
1
4
=
4
1
3
=
6
1
2
=
12
1
1
= 12
Grandezas não proporcionais
• Duas grandezas não são proporcionais quando não há constante de
proporcionalidade entre elas, ou seja, não variam na mesma
proporção.
Idade de Carlos Altura de Carlos
1 ano 76 cm
2 anos 88 cm
3 anos 96,5 cm
4 anos 100,13 cm
5 anos 106,40 cm
6 anos 112,77 cm
Visualização gráfica
0
2
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6
8
10
12
14
16
18
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
valopagoemreais
litros de gasolina
Diretamente proporcional
(Exemplo "gasolina")
0
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Quantocadaumairácomer?
nº de pessoas
Inversamente proporcional
(Exemplo "biscoito")
Exercícios resolvidos
1) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas
de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará
uma área de 11.900 m²?
Nessa situação as grandezas são diretamente
proporcionais (D.P.), pois quanto maior a área a se
limpar, mais tempo se passará!
Área a se limpar (m²) Tempo gasto (h)
5.100 3
11.900 x
5.100
11.900
=
3
𝑥
5.100 × 𝑥 = 11.900 ×3
𝑥 =
35.700
5.100
= 7
Resolução pela regra de três:
Resposta: A máquina limpará 11.900 m²
Em 7 horas.
2) Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias
seriam necessários para a construção desse mesmo muro, se fossem
utilizados 12 operários?
Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais (I.P),
pois quanto maior o número de operários, menor o número
de dias para o término da construção do muro.
Nº de operários Dias para o término da obra
8 30
12 x
Obs.: Quando temos grandezas inversamente proporcionais, montamos a proporção invertendo uma das grandezas
Resolução pela regra de três:
8
12
=
𝑥
30
12 × 𝑥 = 30 × 8
𝑥 =
240
12
=20
Resposta: Com 12 operários, a obra demorará 20 dias para terminar.
3) Dois número estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada
um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto desses
números é:
A) 90 B) 96 C) 180 D) 72 E) -124
Vamos chamar de 𝑥 e 𝑦 os números desconhecidos, colocando-os na razão de 2 para 3:
𝑥
𝑦
=
2
3
Acrescentando 2 a 𝑥 e a 𝑦, a razão passa a ser de 3 para 5:
𝑥 + 2
𝑦 + 2
=
3
5
I
II
Isolamos uma das variáveis (𝑥 ou 𝑦) na equação :I
𝑥 =
2
3
. 𝑦
Substituímos 𝑥 na equação e fazemos a regra de três:II
2
3
. 𝑦 + 2
𝑦 + 2
=
3
5
5 ×
2
3
. 𝑦 + 2 = 3 × (𝑦 + 2) 10𝑦
3
+ 10 = 3𝑦 + 6
10𝑦
3
− 3𝑦 = 6 − 10
10𝑦 − 9𝑦
3
= −4
10𝑦 − 9𝑦 = −4 × 3
𝑦 = −4 × 3
(Obs.: M.M.C)
Como 𝑥 =
2
3
. 𝑦 𝑥 =
2
3
× (−12)
𝑥 =
−24
3
= −8
𝑦 = −12
𝑥 × 𝑦 = (−8) × (−12) = 96
Sendo assim, o produto de 𝑥 por 𝑦
é
4) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta
uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130
m de altura?
A) 290 m B) 390 m C) 490 m D) 590 m E) 690 m
Nessa questão temos grandezas D.P.. Quanto maior o prédio, maior o tamanho da sombra que ele
projeta no chão.
Altura do
prédio
Comprimento da sombra
projetada pelo prédio
4,5 m 13,5 m
130 m x
Resolução pela regra de três:
4,5
130
=
13,5
𝑥
4,5 × 𝑥 = 130 ×13,5
4,5𝑥 = 1.755
𝑥 =
1.755
4,5
= 390 m
Resposta: O prédio de 130 m irá projetar uma sombra de 390 m.
5) A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5
cm. A distância real, em km, entre essas duas cidades é:
A) 15 km B) 16 km C) 17 km D) 18 km E) 19 km
Nessa questão temos o conceito de escala e grandezas diretamente proporcionais (mais
centímetros no mapa, maior o tamanho real. A representação 1:2000 quer dizer que 1 cm no mapa
equivale a 2000 cm na realidade.
Resolução pela regra de três:
1
2000
=
8,5
𝑥
1 × 𝑥 = 2000 × 8,5
𝑥 = 2000 × 8,5
𝑥 = 17000 cm
E 17000 cm = 17 km
Resposta: Na realidade, a distância entre essas cidades é de 17 km.
6) A distância entre a cidade de Canas/SP e Lorena/SP é igual a 8.900
metros. Mas, olhando no mapa, e medindo com a régua, pode-se notar
que a distância entre as cidades é de 20 cm. As informações nos
informam que a escala do mapa é:
A) 1:441
B) 1:442
C) 1:443
D) 1:444
E) 1:445 Resolução:
Em escalas, o valor da esquerda dos dois pontos corresponde ao valor do
desenho (no caso, o mapa). O valor da direita é o real. A escala é a divisão, ou
razão entre o valor do mapa e o real:
20
8.900
simplificando
1
445
𝑜𝑢 1: 445
FIM!!!

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Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

  • 1. Grandezas direta e inversamente proporcionais Prof. Homailson – Matemática – 9º ano
  • 2. O que são “grandezas” na Matemática?! • Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.
  • 3. Grandezas diretamente proporcionais • Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma varia da mesma forma que a outra. Gasolina (litros) Valor pago (R$) 1 l 3,99 2 l 7,98 3 l 11,97 4 l 15,96
  • 4. Constante de proporcionalidade • A constante entre as grandezas proporcionais é encontrada pela razão (divisão) entre elas. Gasolina (litros) Valor pago (R$) 1 l 3,99 2 l 7,98 3 l 11,97 4 l 15,96 3,99 1 = 7,98 2 = 11,97 3 = 15,96 4 = 3,99
  • 5. Grandezas inversamente proporcionais • Grandezas cuja variação de uma provoca aumento ou redução na outra, de forma proporcional, são as inversamente proporcionais. Nº de pessoas Quantos biscoitos cada uma irá comer? 1 12 2 6 3 4 4 3 6 2 12 1
  • 6. Constante de proporcionalidade inversa • A constante entre grandezas inversamente proporcionais pode ser obtida através do produto entre elas. Nº de pessoas Quantos biscoitos cada uma irá comer? 1 12 2 6 3 4 4 3 6 2 12 1 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3 = 6 × 2 = 12 × 1 = 12 𝑜𝑢 1 1 12 = 2 1 6 = 3 1 4 = 4 1 3 = 6 1 2 = 12 1 1 = 12
  • 7. Grandezas não proporcionais • Duas grandezas não são proporcionais quando não há constante de proporcionalidade entre elas, ou seja, não variam na mesma proporção. Idade de Carlos Altura de Carlos 1 ano 76 cm 2 anos 88 cm 3 anos 96,5 cm 4 anos 100,13 cm 5 anos 106,40 cm 6 anos 112,77 cm
  • 8. Visualização gráfica 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 valopagoemreais litros de gasolina Diretamente proporcional (Exemplo "gasolina") 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Quantocadaumairácomer? nº de pessoas Inversamente proporcional (Exemplo "biscoito")
  • 9. Exercícios resolvidos 1) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²? Nessa situação as grandezas são diretamente proporcionais (D.P.), pois quanto maior a área a se limpar, mais tempo se passará! Área a se limpar (m²) Tempo gasto (h) 5.100 3 11.900 x 5.100 11.900 = 3 𝑥 5.100 × 𝑥 = 11.900 ×3 𝑥 = 35.700 5.100 = 7 Resolução pela regra de três: Resposta: A máquina limpará 11.900 m² Em 7 horas.
  • 10. 2) Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias seriam necessários para a construção desse mesmo muro, se fossem utilizados 12 operários? Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais (I.P), pois quanto maior o número de operários, menor o número de dias para o término da construção do muro. Nº de operários Dias para o término da obra 8 30 12 x Obs.: Quando temos grandezas inversamente proporcionais, montamos a proporção invertendo uma das grandezas Resolução pela regra de três: 8 12 = 𝑥 30 12 × 𝑥 = 30 × 8 𝑥 = 240 12 =20 Resposta: Com 12 operários, a obra demorará 20 dias para terminar.
  • 11. 3) Dois número estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto desses números é: A) 90 B) 96 C) 180 D) 72 E) -124 Vamos chamar de 𝑥 e 𝑦 os números desconhecidos, colocando-os na razão de 2 para 3: 𝑥 𝑦 = 2 3 Acrescentando 2 a 𝑥 e a 𝑦, a razão passa a ser de 3 para 5: 𝑥 + 2 𝑦 + 2 = 3 5 I II Isolamos uma das variáveis (𝑥 ou 𝑦) na equação :I 𝑥 = 2 3 . 𝑦 Substituímos 𝑥 na equação e fazemos a regra de três:II 2 3 . 𝑦 + 2 𝑦 + 2 = 3 5 5 × 2 3 . 𝑦 + 2 = 3 × (𝑦 + 2) 10𝑦 3 + 10 = 3𝑦 + 6 10𝑦 3 − 3𝑦 = 6 − 10 10𝑦 − 9𝑦 3 = −4 10𝑦 − 9𝑦 = −4 × 3 𝑦 = −4 × 3 (Obs.: M.M.C) Como 𝑥 = 2 3 . 𝑦 𝑥 = 2 3 × (−12) 𝑥 = −24 3 = −8 𝑦 = −12 𝑥 × 𝑦 = (−8) × (−12) = 96 Sendo assim, o produto de 𝑥 por 𝑦 é
  • 12. 4) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura? A) 290 m B) 390 m C) 490 m D) 590 m E) 690 m Nessa questão temos grandezas D.P.. Quanto maior o prédio, maior o tamanho da sombra que ele projeta no chão. Altura do prédio Comprimento da sombra projetada pelo prédio 4,5 m 13,5 m 130 m x Resolução pela regra de três: 4,5 130 = 13,5 𝑥 4,5 × 𝑥 = 130 ×13,5 4,5𝑥 = 1.755 𝑥 = 1.755 4,5 = 390 m Resposta: O prédio de 130 m irá projetar uma sombra de 390 m.
  • 13. 5) A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. A distância real, em km, entre essas duas cidades é: A) 15 km B) 16 km C) 17 km D) 18 km E) 19 km Nessa questão temos o conceito de escala e grandezas diretamente proporcionais (mais centímetros no mapa, maior o tamanho real. A representação 1:2000 quer dizer que 1 cm no mapa equivale a 2000 cm na realidade. Resolução pela regra de três: 1 2000 = 8,5 𝑥 1 × 𝑥 = 2000 × 8,5 𝑥 = 2000 × 8,5 𝑥 = 17000 cm E 17000 cm = 17 km Resposta: Na realidade, a distância entre essas cidades é de 17 km.
  • 14. 6) A distância entre a cidade de Canas/SP e Lorena/SP é igual a 8.900 metros. Mas, olhando no mapa, e medindo com a régua, pode-se notar que a distância entre as cidades é de 20 cm. As informações nos informam que a escala do mapa é: A) 1:441 B) 1:442 C) 1:443 D) 1:444 E) 1:445 Resolução: Em escalas, o valor da esquerda dos dois pontos corresponde ao valor do desenho (no caso, o mapa). O valor da direita é o real. A escala é a divisão, ou razão entre o valor do mapa e o real: 20 8.900 simplificando 1 445 𝑜𝑢 1: 445