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Análise Combinatória
 O que é análise combinatória?
 Análise Combinatória ou simplesmente
Combinatória, é o ramo da Matemática que
estuda os problemas relacionados a
contagem, ou seja, analisa coleções de
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específicos relacionados a contagem de
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 Combinações de roupas
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 As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete
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 De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa
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denotado por n! ( lê-se “n fatorial”):
n! = 1. 2 . 3. ...(n – 2).(n – 1).n
 Em outras palavras, n! é definido por:
1! = 1 e n! = n.( n – 1) !
 Também é conveniente definir 0! = 1 .
(LIPSCHUTZ E LIPSON, p. 135, 2004)
 Princípio da regra da soma
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n ( A ∪ B) = n (A) + n (B)
 Princípio da regra do produto
Para A e B, temos o produto cartesiano de A e B:
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Princípio Fundamental da Contagem
 Princípio da Multiplicação
Se existirem n1 resultados possíveis para um primeiro
evento e n2 para um segundo, então existem n1 . n2
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Princípio Fundamental da Contagem
 Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados
possíveis, respectivamente, então o número total de
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Princípio Fundamental da Contagem
 Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da
UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas,
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diferentes o aluno pode ter?
Princípio Fundamental da Contagem
 Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da
UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas,
uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos conjuntos
diferentes o aluno pode ter?
= 2.3 possibilidades
= 6 conjuntos
Princípio Fundamental da Contagem:
Usando os dois princípios juntos
 Um aluno pode
escolher uma entre
duas camisetas da
UPF, uma vermelha e
uma preta, e uma
entre três pastas, uma
azul, uma amarela e
uma verde. Quantos
escolhas diferentes o
aluno pode fazer?
Princípio Fundamental da Contagem:
Usando os dois princípios juntos
 Um aluno pode
escolher uma entre
duas camisetas da
UPF, uma vermelha e
uma preta, e uma
entre três pastas, uma
azul, uma amarela e
uma verde. Quantos
escolhas diferentes o
aluno pode fazer?
= 2.3 possibilidades escolhendo primeiro a camiseta
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Princípio Fundamental da Contagem:
Usando os dois princípios juntos
 Quantos inteiros de três dígitos(100 a 999) são pares?
Princípio Fundamental da Contagem:
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Considerando, analogamente, os que terminam em 2,4,6,e 8,
temos:
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Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos
do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível
II(20 alunos)?
Problemas de Análise Combinatória
Problema 2: Em cada turma do ICEG será formada uma
comissão composta por um coordenador, um
secretário e um relator. Quantas comissões
diferentes poderão ser formadas na turma do nível
VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20
alunos)?
Problema 4: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três
camisetas. Quantas são as possibilidades de
sorteio na turma do nível VI da Matemática(5
alunos)? E do nível II(20 alunos)?
Problemas de Análise Combinatória
Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três
brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e
uma caneca. Quantas são as possibilidades de
premiação para a turma do nível VI da
Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos
do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20
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Permutação: arranjo ordenado de objetos
A solução para o problema 1(que permutou
todos os n elementos do conjunto) é
 Nivel VI : P5 = 5!
 Nivel II : P20 = 20!
Genericamente, a permutação dos n
elementos de um conjunto é
Pn=n!
Problema 2: Em cada turma do
ICEG será formada
uma comissão
composta por um
coordenador, um
secretário e um
relator. Quantas
comissões diferentes
poderão ser formadas
na turma do nível VI da
Matemática(5 alunos)?
E do nível II(20
alunos)?
Cada uma dessas comissões
é uma permutação de 3
elementos distintos escolhidos
em um conjunto de 5 elementos.
Permutação: arranjo ordenado de objetos
A solução para o problema 2(que permutou r elementos
escolhidos entre os n objetos distintos do conjunto) é
Nível VI : P(5,3) = 5.4.3 =
Nível II : P(20,3) = 20.19.18 =
Genericamente, a permutação de r elementos de um conjunto
de n elementos(ou arranjo simples) é
P(n,r)=
60
!2
!2.3.4.5
)!35(
!5
==
−
6840
!17
!17.18.19.20
)!320(
!20
==
−
)!(
!
rn
n
−
↓ ↓ ↓
5 4 3 possibilidades
= 5.4.3 possibilidades =
= 60 possibilidades no nível VI
Problema 3: Para cada turma do ICEG a
UPF sorteou três brindes:
uma bolsa de estudos, uma
camiseta e uma caneca.
Quantas são as
possibilidades de premiação
para a turma do nível VI da
Matemática(5 alunos)? E do
nível II(20 alunos)?
60
!2
!2.3.4.5
)!35(
!5
==
−
Problema 3: Para cada turma do ICEG a
UPF sorteou três brindes:
uma bolsa de estudos, uma
camiseta e uma caneca.
Quantas são as
possibilidades de premiação
para a turma do nível VI da
Matemática(5 alunos)? E do
nível II(20 alunos)?
↓ ↓ ↓
20 19 18 possibilidades
= 20.19.18 possibilidades =
= 6840 possibilidades no nível II
6840
!17
!17.18.19.20
)!320(
!20
==
−
Arranjo Simples (de n elementos tomados p a p,
p ≤ n, são os agrupamentos ordenados diferentes que se
podem formar com p dos n elementos dados)
Num conjunto de n elementos, ao agruparmos p a p:
 na primeira posição → n possibilidades
 na segunda posição → (n – 1) possibilidades
 na terceira posição → (n – 2) possibilidades
... ...
 na p-ésima posição → n – (p – 1) possibilidades
Arranjo Simples - An,p
Aplicando o princípio fundamental da contagem, o número total
de possibilidades é dado por:
An,p = n(n – 1)(n – 2) ... [n – (p – 1)]
p fatores
ou An,p = n(n – 1)(n – 2) ... (n – p + 1)
( )
( )
( )
( )
( )!pn
n!
A
!pn
!pn1)p–(n...2)–1)(n–n(n
A
!pn
!pn
1).p–(n...2)–1)(n–n(nA
pn,
pn,
pn,
−
=
=
−
−+
=
=
−
−
+=
Problema 4: Para cada turma do
ICEG a UPF sorteou
três camisetas.
Quantas são as
possibilidades de
sorteio na turma do
nível VI da
Matemática(5 alunos)?
E do nível II(20
alunos)?
↓ ↓ ↓
Neste caso observe que os
dois agrupamentos de alunos
representados ao lado não
diferem um do outro, pois o
brinde é o mesmo. Então não
podem ser contados duas vezes.
Combinação Simples
Assim, precisamos
encontrar quantos subconjuntos
com 3 elementos podemos
formar com o grupo de 5
alunos.
Cada combinação dessas
dá origem a 6 arranjos. Isso
significa que o número de
arranjos de 5 elementos
tomados 3 a 3 é 6 vezes maior
que o número de combinaçoes
de 5 elementos tomados 3 a 3.
Combinação Simples
10
)!35(!3
!5
!3
)!35(
!5
6
.6
3
3,5
3,5
3,5
3,5
3,53,5
=
−
=
−
==
=
=
P
A
C
A
C
CA
Combinação Simples (de n elementos tomados
p a p, p ≤ n, são os subconjuntos com exatamente p
elementos que se podem formar com os n elementos dados)
)!(!
!
)!(!
!
!
)!(
!
!
,
,
,
pnp
n
C
pnp
n
n
pn
n
p
A
C
pn
pn
pn
−
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−
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Análise combinatória

  • 2.  O que é análise combinatória?
  • 3.  Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória, é o ramo da Matemática que estuda os problemas relacionados a contagem, ou seja, analisa coleções de objetos que satisfaçam critérios ou atributos específicos relacionados a contagem de objetos nessas coleções. Análise Combinatória
  • 4.  Combinações de roupas  Placas de automóveis  Números de telefones  Competições  Premiações  Formação de grupos, comissões  Cardápios  Rotas e caminhos Análise Combinatória: Situações cotidianas
  • 5. Problemas de Contagem  Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos números de identidade são possíveis?
  • 6. Problemas de Contagem  Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos números de identidade são possíveis? = 10 possibilidades = 10.000.000.000 identidades 10
  • 7. Problemas de Contagem  As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são possíveis?
  • 8. Problemas de Contagem  As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são possíveis? = 26.26.26.10.10.10.10 possibilidades = 175.760.000 placas.
  • 9.  De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes? Problemas de Contagem
  • 10.  De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes? ↓ ↓ ↓ 2 4 3 = 2+4+3 possibilidades = 9 maneiras para escolha da sobremesa Problemas de Contagem
  • 11. FATORIAL  O produto de dois inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! ( lê-se “n fatorial”): n! = 1. 2 . 3. ...(n – 2).(n – 1).n  Em outras palavras, n! é definido por: 1! = 1 e n! = n.( n – 1) !  Também é conveniente definir 0! = 1 . (LIPSCHUTZ E LIPSON, p. 135, 2004)
  • 12.  Princípio da regra da soma Para A e B conjuntos disjuntos, temos: n ( A ∪ B) = n (A) + n (B)  Princípio da regra do produto Para A e B, temos o produto cartesiano de A e B: n ( A x B) = n (A) x n (B) Princípio Fundamental da Contagem
  • 13.  Princípio da Multiplicação Se existirem n1 resultados possíveis para um primeiro evento e n2 para um segundo, então existem n1 . n2 resultados possíveis para a seqüência dos dois eventos. Princípio Fundamental da Contagem  Princípio da Adição Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2.
  • 14. Princípio Fundamental da Contagem  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos conjuntos diferentes o aluno pode ter?
  • 15. Princípio Fundamental da Contagem  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos conjuntos diferentes o aluno pode ter? = 2.3 possibilidades = 6 conjuntos
  • 16. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos escolhas diferentes o aluno pode fazer?
  • 17. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Um aluno pode escolher uma entre duas camisetas da UPF, uma vermelha e uma preta, e uma entre três pastas, uma azul, uma amarela e uma verde. Quantos escolhas diferentes o aluno pode fazer? = 2.3 possibilidades escolhendo primeiro a camiseta = 3.2 possibilidades escolhendo primeiro a pasta = 6 + 6 escolhas
  • 18. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Quantos inteiros de três dígitos(100 a 999) são pares?
  • 19. Princípio Fundamental da Contagem: Usando os dois princípios juntos  Quantos inteiros de três dígitos(100 a 999) são pares? = 9.10.1 = 90 números pares que terminam em 0 Considerando, analogamente, os que terminam em 2,4,6,e 8, temos: 90 + 90 + 90 + 90 + 90 = 450 números pares
  • 20. Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Problemas de Análise Combinatória Problema 2: Em cada turma do ICEG será formada uma comissão composta por um coordenador, um secretário e um relator. Quantas comissões diferentes poderão ser formadas na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  • 21. Problema 4: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três camisetas. Quantas são as possibilidades de sorteio na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Problemas de Análise Combinatória Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  • 22. Problema 1: De quantas formas posso colocar em fila os alunos do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)?
  • 23. Permutação: arranjo ordenado de objetos A solução para o problema 1(que permutou todos os n elementos do conjunto) é  Nivel VI : P5 = 5!  Nivel II : P20 = 20! Genericamente, a permutação dos n elementos de um conjunto é Pn=n!
  • 24. Problema 2: Em cada turma do ICEG será formada uma comissão composta por um coordenador, um secretário e um relator. Quantas comissões diferentes poderão ser formadas na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? Cada uma dessas comissões é uma permutação de 3 elementos distintos escolhidos em um conjunto de 5 elementos.
  • 25. Permutação: arranjo ordenado de objetos A solução para o problema 2(que permutou r elementos escolhidos entre os n objetos distintos do conjunto) é Nível VI : P(5,3) = 5.4.3 = Nível II : P(20,3) = 20.19.18 = Genericamente, a permutação de r elementos de um conjunto de n elementos(ou arranjo simples) é P(n,r)= 60 !2 !2.3.4.5 )!35( !5 == − 6840 !17 !17.18.19.20 )!320( !20 == − )!( ! rn n −
  • 26. ↓ ↓ ↓ 5 4 3 possibilidades = 5.4.3 possibilidades = = 60 possibilidades no nível VI Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? 60 !2 !2.3.4.5 )!35( !5 == −
  • 27. Problema 3: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três brindes: uma bolsa de estudos, uma camiseta e uma caneca. Quantas são as possibilidades de premiação para a turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? ↓ ↓ ↓ 20 19 18 possibilidades = 20.19.18 possibilidades = = 6840 possibilidades no nível II 6840 !17 !17.18.19.20 )!320( !20 == −
  • 28. Arranjo Simples (de n elementos tomados p a p, p ≤ n, são os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados) Num conjunto de n elementos, ao agruparmos p a p:  na primeira posição → n possibilidades  na segunda posição → (n – 1) possibilidades  na terceira posição → (n – 2) possibilidades ... ...  na p-ésima posição → n – (p – 1) possibilidades
  • 29. Arranjo Simples - An,p Aplicando o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por: An,p = n(n – 1)(n – 2) ... [n – (p – 1)] p fatores ou An,p = n(n – 1)(n – 2) ... (n – p + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!pn n! A !pn !pn1)p–(n...2)–1)(n–n(n A !pn !pn 1).p–(n...2)–1)(n–n(nA pn, pn, pn, − = = − −+ = = − − +=
  • 30. Problema 4: Para cada turma do ICEG a UPF sorteou três camisetas. Quantas são as possibilidades de sorteio na turma do nível VI da Matemática(5 alunos)? E do nível II(20 alunos)? ↓ ↓ ↓ Neste caso observe que os dois agrupamentos de alunos representados ao lado não diferem um do outro, pois o brinde é o mesmo. Então não podem ser contados duas vezes.
  • 31. Combinação Simples Assim, precisamos encontrar quantos subconjuntos com 3 elementos podemos formar com o grupo de 5 alunos. Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos. Isso significa que o número de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 é 6 vezes maior que o número de combinaçoes de 5 elementos tomados 3 a 3.
  • 33. Combinação Simples (de n elementos tomados p a p, p ≤ n, são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados) )!(! ! )!(! ! ! )!( ! ! , , , pnp n C pnp n n pn n p A C pn pn pn − = − = − ==