O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.

1. Sistema de Equações
Profº Juliano Turmina
9ºAnos
Fonte: http://lh3.ggpht.com/-y60O2tXN060/T1Vi__1-
UcI/AAAAAAAADJw/NivfX7zHQys/image%25255B2%25255D.png

2. • A soma das idades de Marlon e Tais são iguais a
60. Já a diferença de suas idades é igual a 6.
Qual a idade de cada um, sabendo que Marlon é
o mais velho.
• A soma de dois números é 18 e o produto é 45.
Quais são estes números?

3. • Tentativa e erro?
• Aproximação?
• Montou uma equação?
• Elaborou alguma regra?
• O que levou a resolver desta maneira....
• Estas situações podem ser representadas por
sistemas de equações ......Vejamos

4. • Vamos representar Marlon com a letra “x” e
Maria com a letra “y”. Assim teremos
• x + y = 60  A soma de suas idades
• x – y = 6  A diferença de suas idades
• Podemos montar o seguinte sistema de
equações
x y 60
x y 6

5. • Vamos resolver este sistema pelo método da
adição das duas equações obtidas.
X Y 60
▫ Realizamos aqui a adição das duas equações;
X Y 6
▫ Obtemos uma equação do 1º grau;
2X 0Y 66
2X 66
66 ▫ Para resolvermos iremos separar números de letras;
X
2
X 33
▫ Obtemos o valor de “x”. Agora temos que encontrar “y”;

6. • Obtendo o valor de “y”. Podemos escolher
qualquer uma das equações.
X Y 60 ▫ É sempre mais fácil utilizarmos as equações positivas;
X Y 6
▫ Escolhemos a equação positiva;
x y 60 ▫ Substituímos o valor de x = 33 na equação ;
33 y 60 ▫ Resolvemos mais uma vez a equação do 1º grau;
y 60 33
y 27 ▫ Para concluirmos teremos o valor de “y”;
▫ Logo temos que Marlon tem 33 anos e Maria 27 anos;

7. • Antes de resolvermos um sistema de equações
do 2º grau pelo método da substituição vamos
praticar um pouco do que já vimos com as
atividades a seguir.
• Pense um pouco e encontre a solução ....

8. RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º Ano.
São Paulo: Scipione, 2009. Página 96

9. RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º Ano.
São Paulo: Scipione, 2009. Página 96

10. x y 8 x 2y 5
a) c)
x. y 15 x. y 3
x y 3
b)
x. y 4
RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º Ano.
São Paulo: Scipione, 2009. Página 96

11. • Vamos representar os números por “x” e “y”
• x + y = 18  A soma de dois números é 18
• x.y = 45  O produto é 45.
• Podemos montar o seguinte sistema de
equações
x y 18
x. y 45

12. • Para resolvermos este sistema de equações
devemos isolar uma das variáveis X ou Y.
• 1ª Etapa
• Torna-se mais fácil isolarmos as adições e
subtrações.
• Assim teremos:
• X + Y = 18
• X = 18 – Y
Vamos para 2ª Etapa

13. • Realizando uma substituição na equação que
envolve o produto teremos:
• X.Y = 45 Substituindo o valor de x por 18-y;
• (18 – Y ) . y = 45 Realizando a propriedade distributiva (chuveirinho);
• 18Y – Y² = 45
• -Y² + 18Y – 45 = 0 Encontramos uma equação do 2º grau

14. • Neste momento devemos encontrar o conjunto
solução das equações do 2º grau.
• Podemos utilizar todos os procedimentos que já
aprendemos:
• Fórmula de Bhaskara
• Soma e Produto

15. b² 4 .a .c
b
(18 )² 4 .( 1 ).( 45 ) y
2 .a
324 180
144
18 12
y
2
Neste exemplo 18 12 6
utilizamos a y1 3
fórmula de Bhaskara 2 2
18 12 30
y2 15
2 2

16. • Temos que Y = 3 ou Y = 15
• Vale lembrar que um sistema de equações tem
como solução um par ordenado na forma (x,y).
Neste caso ao se tratar de um sistema de
equações do 2º grau teremos dois pares
ordenados como solução.

17. • Agora temos que encontrar os valores de “x” na equação
que isolamos  X = 18 – Y
• Para Y = 3 temos que
• X = 18 – 3 = 15,
• assim X = 15 e Y = 3
• Par ordenado (15,3)
• Para Y = 15 temos que
• X = 18 – 15 = 3 ,
• assim X = 3 e Y = 15
• Par ordenado (3,15)

18. • Como estamos trabalhando com um sistema de equação
sua solução é um par ordenado na forma (X,Y), nesta
situação ao se tratar de equações do 2º grau teremos dois
pares ordenados.
São eles ( 15,3) e (3,15) os quais serão o conjunto
solução do sistema de equações.

19. • RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática, 9º Ano. São Paulo: Scipione, 2009. Página 96
• Imagem
• Disponível em: http://lh3.ggpht.com/-y60O2tXN060/T1Vi__1-UcI/AAAAAAAADJw/NivfX7zHQys/image%25255B2%25255D.png.
Acesso dia 19/10/2012 as 14:10