O documento descreve um trabalho sobre módulo matemático. Apresenta uma introdução sobre o assunto e é dividido em seções sobre definição de módulo, interpretação geométrica, propriedades, exercícios resolvidos e propostos, equações modulares, inequações modulares e gabarito. O objetivo é ensinar o conceito de módulo de forma simples, com teoria e exercícios.
Este documento discute funções modulares e suas propriedades. Ele define o módulo de um número real como seu valor absoluto e lista propriedades como módulo de produtos, quocientes e potências. Também apresenta equações modulares e suas soluções, como {-7,3} para a equação x+2=5 ou x+2=-5.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
As propriedades fundamentais das funções modulares são apresentadas, incluindo que o módulo de um número é sempre não-negativo e igual a si mesmo. Exemplos de inequações modulares são resolvidos e o domínio da função f(x)=2x-5-2 é determinado. Exercícios sobre o assunto são propostos para a página 193 de um livro texto.
Este documento apresenta um resumo da função modular. Ele define módulo, propriedades de equações e inequações modulares e exemplos delas. Também define função modular como uma função de números reais para reais que mapeia cada número para seu valor absoluto, e discute a construção gráfica de funções modulares como a união de duas semirretas.
O documento discute o conceito matemático de módulo ou valor absoluto de um número real. Explica que o módulo de um número é seu próprio valor se positivo ou zero, e seu simétrico se negativo. Apresenta propriedades e exemplos do módulo, assim como equações e inequações modulares.
Dallol, na Etiópia, tem a temperatura média anual mais alta, excedendo 46°C no mês mais quente. A Plateau Station, na Antártida, tem a menor média anual, abaixo de -56,7°C. O documento discute conceitos de módulo e função modular.
O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número à origem na reta real. Exemplos mostram como calcular o módulo de números e expressões algébricas. Também são apresentados gráficos de funções modulares e resoluções de equações e inequações modulares.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Este documento discute funções modulares e suas propriedades. Ele define o módulo de um número real como seu valor absoluto e lista propriedades como módulo de produtos, quocientes e potências. Também apresenta equações modulares e suas soluções, como {-7,3} para a equação x+2=5 ou x+2=-5.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
As propriedades fundamentais das funções modulares são apresentadas, incluindo que o módulo de um número é sempre não-negativo e igual a si mesmo. Exemplos de inequações modulares são resolvidos e o domínio da função f(x)=2x-5-2 é determinado. Exercícios sobre o assunto são propostos para a página 193 de um livro texto.
Este documento apresenta um resumo da função modular. Ele define módulo, propriedades de equações e inequações modulares e exemplos delas. Também define função modular como uma função de números reais para reais que mapeia cada número para seu valor absoluto, e discute a construção gráfica de funções modulares como a união de duas semirretas.
O documento discute o conceito matemático de módulo ou valor absoluto de um número real. Explica que o módulo de um número é seu próprio valor se positivo ou zero, e seu simétrico se negativo. Apresenta propriedades e exemplos do módulo, assim como equações e inequações modulares.
Dallol, na Etiópia, tem a temperatura média anual mais alta, excedendo 46°C no mês mais quente. A Plateau Station, na Antártida, tem a menor média anual, abaixo de -56,7°C. O documento discute conceitos de módulo e função modular.
O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número à origem na reta real. Exemplos mostram como calcular o módulo de números e expressões algébricas. Também são apresentados gráficos de funções modulares e resoluções de equações e inequações modulares.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
O documento discute funções modulares, definindo-as como funções cuja variável está dentro de um módulo. Explica que funções modulares podem ser representadas por duas funções equivalentes separadas pelo valor da variável. Apresenta exemplos de funções modulares e como construir seus gráficos.
Este documento descreve como construir gráficos de funções modulares dividindo-os em dois casos: quando x é positivo e quando x é negativo. Dois exemplos são dados para ilustrar como plotar pontos (x, y) em cada quadrante e então combiná-los em um único gráfico. O texto é retirado de um livro de matemática do segundo grau sobre conjuntos, funções e progressões.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
Este documento explica conceitos fundamentais sobre módulo, funções modulares e equações modulares em 3 frases:
1) O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo e representa a distância desse número até o ponto 0 na reta real.
2) Equações e inequações modulares envolvem módulos de expressões contendo incógnitas e devem ser analisadas em casos separados.
3) A função modular f(x)=|x| é definida por duas sentenças para números positivos e negativos e seu grá
1. O documento pede para completar um quadro com monômios e seus respectivos coeficientes e graus, e realizar operações algébricas como soma, subtração, multiplicação e divisão de monômios.
2. Também pede para resolver equações algébricas de 1o e 2o grau e igualdades notáveis.
3. Fornece casos notáveis de fatoração para simplificar expressões algébricas.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de integral definida e área sob curvas. Inclui 7 exercícios resolvidos e 16 exercícios propostos sobre cálculo de áreas e integrais definidas de funções.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) A função exponencial crescente y=5x representa a função dada no documento, pois deixando tudo na base 5, o gráfico resultante é uma curva exponencial crescente.
2) As raízes da identidade exponencial dada são x1=1 e x2=2, obtida após igualar as bases das exponenciais.
3) A solução da equação exponencial é x=1, obtida após igualar as bases das exponenciais.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
1) O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número até o ponto zero na reta real e sempre positivo ou nulo.
2) Aborda equações e inequações modulares, resolvendo exemplos que envolvem módulos de expressões contendo incógnitas.
3) Explica a definição de função modular e como determinar o domínio de funções utilizando inequações modulares, ilustrando com exemplos.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL - Conceito e resoluçãobetontem
Este documento fornece uma explicação sobre equações exponenciais, definindo-as como aquelas que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. Ele apresenta exemplos de equações exponenciais e as etapas para resolvê-las, como igualar expoentes quando as bases são iguais e usar a fórmula de Bhaskara. O documento também fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
O documento apresenta os principais conceitos e operações com frações algébricas, incluindo conceito de fração algébrica, denominador, simplificação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Exemplos ilustram cada operação com frações algébricas.
O documento fornece uma introdução às funções exponenciais, definindo-as como funções onde a variável aparece no expoente. Explica como graficar funções exponenciais com base positiva maior ou menor que 1 e como resolver equações e inequações exponenciais, reduzindo os membros a potências de mesma base ou usando artifícios quando não for possível. Fornece também exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
Apost. 05 inequações exponenciais definição e resolução - aulaAgamenon21
1) O documento discute inequações exponenciais, definindo-as como desigualdades que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.
2) A resolução de inequações exponenciais envolve reduzi-las a desigualdades de potências da mesma base e aplicar propriedades para manter ou inverter o sentido da desigualdade.
3) Exemplos demonstram como resolver inequações exponenciais isolando o intervalo dos valores possíveis da variável.
O documento discute funções exponenciais e logarítmicas. É dividido em duas seções principais: a primeira seção explica a definição, domínio, gráfico e imagem da função exponencial, além de fornecer exemplos. A segunda seção trata de equações e desigualdades exponenciais e como encontrar suas soluções.
1) O documento discute propriedades para resolver inequações modulares e fornece exemplos resolvidos.
2) Para resolver inequações modulares, deve-se considerar se k é positivo ou negativo.
3) Exemplos mostram como aplicar as propriedades para obter as soluções das inequações modulares passo a passo.
O documento discute funções modulares, definindo-as como funções cuja variável está dentro de um módulo. Explica que funções modulares podem ser representadas por duas funções equivalentes separadas pelo valor da variável. Apresenta exemplos de funções modulares e como construir seus gráficos.
Este documento descreve como construir gráficos de funções modulares dividindo-os em dois casos: quando x é positivo e quando x é negativo. Dois exemplos são dados para ilustrar como plotar pontos (x, y) em cada quadrante e então combiná-los em um único gráfico. O texto é retirado de um livro de matemática do segundo grau sobre conjuntos, funções e progressões.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
Este documento explica conceitos fundamentais sobre módulo, funções modulares e equações modulares em 3 frases:
1) O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo e representa a distância desse número até o ponto 0 na reta real.
2) Equações e inequações modulares envolvem módulos de expressões contendo incógnitas e devem ser analisadas em casos separados.
3) A função modular f(x)=|x| é definida por duas sentenças para números positivos e negativos e seu grá
1. O documento pede para completar um quadro com monômios e seus respectivos coeficientes e graus, e realizar operações algébricas como soma, subtração, multiplicação e divisão de monômios.
2. Também pede para resolver equações algébricas de 1o e 2o grau e igualdades notáveis.
3. Fornece casos notáveis de fatoração para simplificar expressões algébricas.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de integral definida e área sob curvas. Inclui 7 exercícios resolvidos e 16 exercícios propostos sobre cálculo de áreas e integrais definidas de funções.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) A função exponencial crescente y=5x representa a função dada no documento, pois deixando tudo na base 5, o gráfico resultante é uma curva exponencial crescente.
2) As raízes da identidade exponencial dada são x1=1 e x2=2, obtida após igualar as bases das exponenciais.
3) A solução da equação exponencial é x=1, obtida após igualar as bases das exponenciais.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
1) O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número até o ponto zero na reta real e sempre positivo ou nulo.
2) Aborda equações e inequações modulares, resolvendo exemplos que envolvem módulos de expressões contendo incógnitas.
3) Explica a definição de função modular e como determinar o domínio de funções utilizando inequações modulares, ilustrando com exemplos.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL - Conceito e resoluçãobetontem
Este documento fornece uma explicação sobre equações exponenciais, definindo-as como aquelas que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. Ele apresenta exemplos de equações exponenciais e as etapas para resolvê-las, como igualar expoentes quando as bases são iguais e usar a fórmula de Bhaskara. O documento também fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
O documento apresenta os principais conceitos e operações com frações algébricas, incluindo conceito de fração algébrica, denominador, simplificação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Exemplos ilustram cada operação com frações algébricas.
O documento fornece uma introdução às funções exponenciais, definindo-as como funções onde a variável aparece no expoente. Explica como graficar funções exponenciais com base positiva maior ou menor que 1 e como resolver equações e inequações exponenciais, reduzindo os membros a potências de mesma base ou usando artifícios quando não for possível. Fornece também exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
Apost. 05 inequações exponenciais definição e resolução - aulaAgamenon21
1) O documento discute inequações exponenciais, definindo-as como desigualdades que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.
2) A resolução de inequações exponenciais envolve reduzi-las a desigualdades de potências da mesma base e aplicar propriedades para manter ou inverter o sentido da desigualdade.
3) Exemplos demonstram como resolver inequações exponenciais isolando o intervalo dos valores possíveis da variável.
O documento discute funções exponenciais e logarítmicas. É dividido em duas seções principais: a primeira seção explica a definição, domínio, gráfico e imagem da função exponencial, além de fornecer exemplos. A segunda seção trata de equações e desigualdades exponenciais e como encontrar suas soluções.
1) O documento discute propriedades para resolver inequações modulares e fornece exemplos resolvidos.
2) Para resolver inequações modulares, deve-se considerar se k é positivo ou negativo.
3) Exemplos mostram como aplicar as propriedades para obter as soluções das inequações modulares passo a passo.
1) O documento discute definições e propriedades de logaritmos, incluindo a definição de logaritmo, propriedades de logaritmos, mudança de base e equações logarítmicas.
2) É apresentada a definição formal de logaritmo como a função inversa da exponencial e são mostradas algumas propriedades como a adição e subtração de logaritmos.
3) O documento também aborda o cologaritmo, logaritmo natural, gráficos e equações envolvendo funções logarít
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
O documento discute funções exponenciais e logarítmicas, definindo funções exponenciais, apresentando casos particulares e equações/inequações envolvendo essas funções. Também define funções logarítmicas e detalha como resolver equações e inequações logarítmicas verificando o domínio e aplicando as propriedades dos logaritmos.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento apresenta um guia sobre módulos, equações e inequações modulares. É dividido em seções que apresentam a definição de módulo, propriedades, interpretação geométrica, exercícios resolvidos e propostos sobre módulos. As próximas seções abordam equações e inequações modulares, apresentando propriedades e exercícios resolvidos e propostos sobre esses tópicos. O objetivo é ensinar esses conceitos de forma prática através de exemplos e exercícios.
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
Recuperação lista exercicios 9º ano 1º bimestreRafael Marques
O documento apresenta os conceitos básicos de matemática sobre números inteiros, racionais, equações de 1o e 2o grau. Inclui regras para adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de inteiros e operações com frações. Também explica como resolver equações de 1o grau usando a propriedade distributiva e como encontrar as raízes de equações do 2o grau usando a fórmula quadrática.
1) O documento é uma lista de exercícios de equações do 2o grau com 15 questões. 2) As questões incluem classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades e justificar respostas. 3) Há também um gabarito com as respostas para cada uma das questões.
1) O documento é uma lista de exercícios de equações do 2o grau com 15 questões. 2) As questões incluem classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades e justificar respostas. 3) Há também um gabarito com as respostas para cada uma das questões.
1) O documento é uma lista de exercícios de equações do 2o grau com 15 questões. 2) As questões incluem classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades e justificar respostas. 3) Há também um gabarito com as respostas para cada uma das questões.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre equações do segundo grau. Os exercícios abordam tópicos como identificação de coeficientes, resolução de equações, cálculo do discriminante, fórmula de Bhaskara e análise do número de raízes reais.
O documento apresenta os principais tópicos sobre o software MATLAB, incluindo definição e aplicações do MATLAB, ambiente de trabalho, variáveis, operadores matemáticos, matrizes, sistemas lineares, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
3. As técnicas apresentadas permitem calcular integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e hiperbólicas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações do segundo grau, incluindo classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades.
2) Pede para determinar quais equações são do segundo grau, classificar equações como completas ou incompletas, resolver várias equações, e determinar valores para coeficientes ou raízes.
3) Inclui também exercícios sobre aplicações geométricas e algébricas de equações do segundo grau, como área de retângulos e números que
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
O documento apresenta uma lista de exercícios de equações do segundo grau. Inclui instruções sobre como usar uma calculadora online para resolver esses exercícios, a fórmula de Bháskara e uma lista com vários exercícios de equações do segundo grau para serem resolvidos.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
O documento trata de potenciação de números reais com expoente inteiro, abordando quatro situações: quando o expoente é maior que um, igual a um, igual a zero e negativo. É explicado que, quando o expoente é maior que um, a base é multiplicada por si mesma o número de vezes indicado pelo expoente, e são apresentados exemplos para bases decimais e fracionárias.
1) O documento resume os principais conceitos de funções matemáticas como função, função injetora, função sobrejetora, função quadrática, equações e inequações com funções.
2) Inclui explicações sobre diferentes tipos de funções como função afim, função do primeiro grau, função exponencial e logaritmos.
3) Apresenta exemplos resolvidos de equações e inequações com funções para demonstrar a aplicação dos conceitos.
O documento apresenta exercícios de conjuntos numéricos, cálculo algébrico, fatoração, frações algébricas e equações do 1o e 2o grau. Inclui definições e exemplos resolvidos de cada tópico, além de listas de exercícios para o estudante praticar.
Semelhante a Equações e enequações modulares. (20)
3. O nosso objetivo nesse trabalho é mostrar o conteúdo da
forma mais fácil e prática de modo que o que pretendemos é fazer
com que outros alunos possam aprender, entender e praticar através
de exercícios o conteúdo mostrado no decorrer do mesmo.
Esperamos que todos tenham um bom aproveitamento através
do que passaremos, sendo esta matéria parte do conteúdo de ensino
no curso superior.
Estaremos abertos para dúvidas e questionamentos dentro das
possibilidades analisadas e estudadas por nós, pois o nosso trabalho
será passado da forma mais simples (teoria e exercícios resolvidos e
propostos).
Introdução
4. Antes mesmo de abordarmos o conteúdo central do trabalho
tivemos que mostrar o conteúdo que explica primeiramente o que é
módulo, através de definição, algumas interpretações e algumas
propriedades utilizadas, sendo que módulo em geral é estudo
durante o Ensino Médio, somente as Equações e Inequações
Modulares é que são estudadas com mais importância durante o
conteúdo dado no Ensino Superior pois são com esses
conhecimentos de equações e inequações modulares que dá para se
aprofundar em algumas aplicações tais como funções (modulares,
injetoras, composta e etc) que também não são estudadas no Ensino
Médio.
Esperamos um bom aproveitamento de todos e que através do
que passaremos podemos mostrar a importância de cada conteúdo
do programa de Ensino da Matemática na vida de um futuro
profissional. Tenham um bom entendimento e que sejam úteis as
informações obtidas pelo conteúdo do trabalho que será mostrado a
seguir.
1. Módulo
5. 1.1. Definição
Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou
um número real denominado módulo de x representado por x e
obtido do seguinte modo:
0
0
x x se x
= ³
x x se x
=- <
1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo.
Exemplos:
a) O módulo de 5 é igual a 5, isto é 5 =5
b) O módulo de 0 é igual a 0, isto é 0 =0
c) O módulo de 4 é igual a 4 , isto é 4 = 4
d) O módulo de 21 é igual a 21, isto é 21 =21
2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal.
Exemplos:
a) O módulo de –2 é igual a +2, isto é -2 =-(-2)Þ-2 =2
b) O módulo de - 4 é igual a 4 , isto é
- 4 =-(- 4)Þ- 4 = 4
c) O módulo de -10 é igual a 10, isto é
-10 =-(-10)Þ-10 =10
O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo
1.2 Interpretação Geométrica
Sabemos que um número real x está associado a um ponto da
reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do
ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.
6. Exemplos:
a) No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto
A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0.
-1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
0 A
3
b) No próximo esquema abaixo, o número real é –3 e está
associado ao ponto B. O módulo de -3 é igual à distância entre B e
0.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
B 0
3
1.3 Algumas Propriedades
Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas
propriedades:
2 2
M 1 x = - x M 4
x =
x
M xy x y M x x
= × = Û =
2 5 0 0
( y ) M x x
x
y
M x
y
2
= ¹ =
3 0 6
As propriedades acima são todas imediatas, no entanto, tem-se
uma observação a fazer a respeito da propriedade M6. Suponhamos
por exemplo que x = 5, então temos:
x2 = 52 = 25 =5 = 5 = x
Suponhamos agora que x = -5:
7. x2 = (-5)2 = 25 =5 = -5 = x
1.4 Exercícios Resolvidos
1) Calcule:
a) 5+2
5+2 =7 =7
b) 3-8
3-8 =-5 =5
c) -2 +5
-2 +5 =2+5 =7
d) 3-5 +2-11
3-5 +10-2 =-2 +8 =2+8 =10
e) 4+3 2-9 --5
4 +3-7 -(5) =4 +3(7) -5 =4 +21-5 =25-5 =20
f) 4+5-3
4+5+3 =4+8 =4+8 =12 =12
2) Diga se as seqüências abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) 4+5 =4 +5 (Verdadeira)
b) (-3)+(8) =-3 +8 (Falsa)
c) 4 4
= (Verdadeira)
5
5
d) (4) ×(5) =4 × 5 (Verdadeira)
e) (-3)+(-8) =-3 +-8 (Verdadeira)
f) 4-7 =7-4 (Verdadeira)
1.5 Exercícios Propostos
8. 1) Calcule:
a) -2+6
b) -5-1
c) -3 -5
d) 15+-3 -4
e) --2+5
f) (-5)+2-(-8)
g) 4-7 --12
h) 3 --9
2) Resolva as equações abaixo (baseado nos conceitos de
módulo):
a) x =7
b) x =-6
c) x =0
9. 2. Equações Modulares
As equações modulares são resolvidas através da aplicação de
algumas propriedades que estarão definidas a seguir dando
continuidade às propriedades citadas anteriormente:
M x = a Û x = a ou x = -
a
M x = y Û x = y ou x = -
y
2 2
M x = a Û x =
a
2 2
7
8
9
M 10
x = y Û x =
y
Para justificarmos as propriedades M9 e M10 é necessário que
lembremos da seguinte propriedade:
a b a b a R+ = Û 2 = 2 , " ,Î
De modo semelhante podemos justificar ambas as propriedades,
lembrando que x2 =x2 e que a ³ 0, então teremos:
x =aÛx2 =a2 Ûx2 =a2
Observação:
Se a >0 x =aÛx =a ou x =-a,
10. Se a =b Ûa =b ou a =-b
2.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as equações:
a) x -2 =6
1º modo
x x ou x
- = Û - = = - =- =-
V
2 6 2 6 8 2 6 4
{8; 4}
= -
2º modo
x -2 = 6Û( x -2)2 =62 Ûx2 -4x +4 =36Ûx2 -4x -32 =0
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos x' = -4 e x'' = 8 . Assim
temos: V ={8;-4}
b) x-3 =4x -1
1º modo
x x x x ou x x
- = - Û - = - - = - -
3 4 1 3 4 1 3 (4 1)
þ ý ü
î í ì
= -
x x ou x x
Û - = - - = - +
4 3 1 3 4 1
2
Û = - =
2
; 4
3
5
4
5
3
V
x ou x
2º modo
x -2 = 6Û( x -2)2 =62 Ûx2 -4x +4 =36Ûx2 -4x -32 =0
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos 5
x' = - 2 e x'' = 4
. Assim
3
temos: V ={8;-4}
2.2 Exercícios Propostos
3) Resolva as equações abaixo:
11. a) 2x -1 =x +2
b) 2x2 +15x -3 =x2 +2x -3
c) 3x +2 =2x -3
d) x-1 =3
e) x
1
-
x
3 =
-
2 1
x 1
æ ¹
ö çè
sendo ÷ø
2
f) x -1 +x +6 =13
g) 3x -5 ×(4x2 -1) =0
h) 3-4x-1 =6
4) Sendo A = x +2 e B =x -5 , resolva a equação A - B =10
12. 3. Inequações Modulares
Para resolver as inequações modulares aplicam-se algumas
propriedades do módulo que serão definidas a seguir:
*
+
M Dado a Î
R temos
11 :
x < a Û- a < x <
a
*
+
M Dado a Î
R temos
12 :
x > a Û x > a ou x < -
a
Ou para definição mais completa das propriedades utilizadas
podemos demonstrá-las assim:
'
M x < a Û- a < x <
a
x £ a Û- a £ x £
a
11
M x > a Û x < - a ou x >
a
x ³ a Û x £ - a ou x ³
a
'
12
3.1 Exercícios Resolvidos
1) Resolva as inequações:
a) x <2
Os valores que satisfazem essa inequação estão entre –2 e 2:
Vejamos a seguir
x <2Û-2 <x <2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
(x)
Sendo o conjunto-verdade:
V ={xÎR /-2 < x < 2} = ]-2;2[
13. b) x >2
x >2Ûx >2 ou x <-2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
/ / / / / / / / / / / / /
(x)
Sendo o conjunto-verdade:
V ={xÎR / x > 2 Úx < -2} = ]-¥;-2[È]2;¥[
c) x+3 £5
Segue o mesmo raciocínio...
x +3 £5Û-5 £x +3 £5Û-8 £x £2
Sendo o conjunto-verdade:
V ={xÎR /-8 £ x £ 2} =[-8;2]
3.2 Exercícios Propostos
5) Resolva as inequações abaixo:
a) 3x -2 <4
b) 1<x -1 £3
c) 2x -7 +x -1 ³0
d) 3x -4 +2x +1<0
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a) 3x +2 -2x -1 >x +1
b) x -2 -x +4 £1-x
7) Sendo A = x +2 e B =x -5 , resolva a inequação
14. A + B > 10 .
8) Determine o conjunto solução do sistema abaixo:
ïî
ïí ì
x y
+ =
5
2 1
x2 x y y2
- + =
15. 4. Gabarito (Exercícios Propostos)
1) Calcule:
a) 4
b) 6
c) -2
d) 14
e) 3
f) 5
g) 9
h) 6
2) Resolva as equações abaixo:
a) x = 7
b) x = 6
c) x = 0
3) Resolva as equações abaixo:
a) þ ý ü
S 1
b) S ={-13;6}
c) S ={ } ou vazio
d) S ={-2;4}
e) þ ý üî í ì
î í ì
= - ;3
3
S 4
f) S ={-9;4}
g) þ ý ü
=
3
S 1
î í ì
= -
; 5
2
3
; 1
2
S 5
h) þ ý ü
î í ì
=
2
16. 4) Resolva a equação A - B =10
S ={ } ou vazio
5) Resolva as inequações abaixo:
a) þ ý ü
S x R / 2 x
b) S ={xÎR /-2 £ x < 0Ú2 < x £ 4} ou [-2;0[È]2;4]
c) þ ý ü
î í ì
= Î - < < 2
3
S x R / x 8
d) S ={ } ou vazio
î í ì
= Î ³
3
6) Resolva em R (reais) as inequações abaixo:
a) S = {xÎR / x < -2 Ú x > 0}
b) S ={xÎR / x £ -5Ú-3 £ x £ 7}
7) Resolva a inequação A + B > 10
þ ý ü
S x R / x 7 x
î í ì
= Î < - Ú >
13
2
2
8) Determine o conjunto solução do sistema:
S ={(3;2); (2;3); (-3;2); (-2;3)}
Apresentação
17. Trabalho entregue a Professora Luciana Arruda, para a
disciplina de Introdução à Informática, do 1º período do curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade Estácio de Sá
(UNESA), Campus Cidade Nova.
Alunos
André Luís da Silva Ferreira de Andrade
Matrícula 2002221512
Julliane Pereira Verdini
Matrícula 2002200374
Bibliografia
18. Livros
· Matemática – Volume Único
Autor: Paulo Bucchi – Editora Moderna
· Conjunto e Funções – Volume 1 (Noções de Matemática)
Autores: Aref A. Neto; Nilton Lapa; José Luiz P. Sampaio; Sidney
Luiz Cavalcante – Editora Moderna
Site
www.somatematica.com.br