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                                   FUNÇÃO MODULAR

•   Módulo (ou valor absoluto) de um número

   O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da
seguinte maneira:
                                     x, se x ≥ 0
                                 x =
                                    − x, se x < 0

    Então:
     se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
       Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15

     se x é negativo, | x | é igual a -x.
       Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20

   O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real
nunca é negativo.
   Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do
ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

    •   Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a,
        isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a.




    •   Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto
        é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a
        ou x < -a.




•   Equações modulares

   Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será
chamada equação modular.

    Exemplos:
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    a) | x2-5x | = 1
    b) | x+8 | = | x2-3 |

    Algumas equações modulares resolvidas:

    1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
       Resolução: Temos que analisar dois casos:
              caso 1: x2-5x = 6
              caso 2: x2-5x = -6

              Resolvendo o caso 1:
              x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
              Resolvendo o caso 2:
              x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
        Resposta: S={-1,2,3,6}


    2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
       Resolução: Temos que analisar dois casos:
              caso 1: x-6 = 3-2x
              caso 2: x-6 = -(3-2x)
              Resolvendo o caso 1:
              x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
              Resolvendo o caso 2:
              x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3
       Resposta: S={-3,3}


•   Inequações modulares

   Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de
expressões que contém a incógnita.

    Algumas inequações modulares resolvidas:

    1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
       Resolução:
                                                 − 2 < −2 x + 6   2 x < 6 + 2
        | - 2x + 6 | < 2 ⇒ − 2 < −2 x + 6 < 2 ⇒                 ⇒             ⇒
                                                − 2 x + 6 < 2     − 2 x < 4
             2 x < 8     x < 4
        ⇒              ⇒ 
             2 x > 4     x > 2
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       S = {x ∈ IR | 2<x<4}

    2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| ≤ 4.

    Resolução:
    |x2-2x+3| ≤ 4 => -4 ≤ x2-2x+3 ≤ 4.
    Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):
    Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3
    Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4

    Resolvendo a Eq.1:
    -4 ≤ x2-2x+3 => -4-3 ≤ x2-2x => -7 ≤ x2-2x => x2-2x+7 ≥ 0 => sem raízes reais

    Resolvendo a Eq.2:
    x2-2x+3 ≤ 4 => x2-2x-1 ≤ 0

                                              x' = 1 − 2
                                             
    Aplicando Bhaskara encontramos as raízes 
                                              x' ' = 1 + 2
                                             
    S = {x ∈ IR | 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2}


•   Módulo e raiz quadrada

    Consideremos os números reais x e y.
    Temos por definição, que
       x=y
    se e somente se, y2 = x e y≥0. Daí podemos concluir que
       x2 = x
    só é verdadeiro se x≥0.
    Se tivermos x<0, não podemos afirmar que
     x2 = x
    pois isso contradiz a definição.

    Por exemplo, se x=-3, teríamos:
      (−3) 2 = −3
    o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando
    a definição de módulo, podemos escrever:

       x 2 =| x |
    o que é verdadeiro para todo x real.
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    Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:
    4
        x 4 =| x |,       6
                              x 6 =| x |,     2n
                                                   x 2 n =| x |, com x ∈ IR e n ∈ IN *

    Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:
    3
        x 3 = x,      5
                          x 5 = x,      2 n +1
                                                 x 2 n +1 = x, com x ∈ IR e n ∈ IN


•   Função modular

    Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:

                                    x, se x ≥ 0
                          f ( x) = 
                                   − x, se x < 0

    Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.


     Determinação do domínio

          Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações
    modulares:

               Exemplo 1: Determinar o domínio da função
                                       1
                      f ( x) =
                                   | x | −3

               Resolução:
                                         1
                      Sabemos que              só é possível em IR se | x | −3 ≠ 0.
                                      | x | −3
                      Então : | x | −3 ≠ 0 ⇒ | x |≠ 3 ⇒ x ≠ 3 ou x ≠ −3
                      Resposta : D = {x ∈ IR | x ≠ 3 ou x ≠ −3}


               Exemplo 2: Determinar o domínio da função
                      f ( x ) = 2− | x − 1 |

    Resolução:
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 Sabemos que     2− | x − 1 | só é possível em IR se 2− | x − 1 |≥ 0.
 Então : 2− | x − 1 |≥ 0 ⇒ − | x − 1 |≥ −2 ⇒ | x − 1 |≤ 2 ⇒ − 2 ≤ x − 1 ≤ 2
 − 2 ≤ x −1 ≤ 2 ⇒ − 2 +1 ≤ x ≤ 2 +1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3
 Resposta : D = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 3}


 Gráfico

   Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:

                               x      y=f(x)
                              -1        1
                              -2        2
                               0        0
                               1        1
                               2        2

                            Gráfico da função f(x)=|x|:
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Este documento foi feito por Juliano Niederauer, com o auxílio dos livros:
- Matemática Fundamental – 2º grau – Volume único (Giovanni, Bonjorno, Giovanni Jr.)
- Matemática – Volume único - Facchini

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  • 1. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com FUNÇÃO MODULAR • Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:  x, se x ≥ 0 x = − x, se x < 0 Então:  se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15  se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: • Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a. • Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < -a. • Equações modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos:
  • 2. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com a) | x2-5x | = 1 b) | x+8 | = | x2-3 | Algumas equações modulares resolvidas: 1) Resolver a equação | x2-5x | = 6. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2-5x = 6 caso 2: x2-5x = -6 Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1. Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2. Resposta: S={-1,2,3,6} 2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3 Resposta: S={-3,3} • Inequações modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas: 1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2. Resolução:  − 2 < −2 x + 6 2 x < 6 + 2 | - 2x + 6 | < 2 ⇒ − 2 < −2 x + 6 < 2 ⇒  ⇒  ⇒ − 2 x + 6 < 2 − 2 x < 4 2 x < 8 x < 4 ⇒  ⇒  2 x > 4 x > 2
  • 3. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com S = {x ∈ IR | 2<x<4} 2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| ≤ 4. Resolução: |x2-2x+3| ≤ 4 => -4 ≤ x2-2x+3 ≤ 4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 Resolvendo a Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 => -4-3 ≤ x2-2x => -7 ≤ x2-2x => x2-2x+7 ≥ 0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 => x2-2x-1 ≤ 0  x' = 1 − 2  Aplicando Bhaskara encontramos as raízes   x' ' = 1 + 2  S = {x ∈ IR | 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2} • Módulo e raiz quadrada Consideremos os números reais x e y. Temos por definição, que x=y se e somente se, y2 = x e y≥0. Daí podemos concluir que x2 = x só é verdadeiro se x≥0. Se tivermos x<0, não podemos afirmar que x2 = x pois isso contradiz a definição. Por exemplo, se x=-3, teríamos: (−3) 2 = −3 o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: x 2 =| x | o que é verdadeiro para todo x real.
  • 4. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par: 4 x 4 =| x |, 6 x 6 =| x |, 2n x 2 n =| x |, com x ∈ IR e n ∈ IN * Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever: 3 x 3 = x, 5 x 5 = x, 2 n +1 x 2 n +1 = x, com x ∈ IR e n ∈ IN • Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:  x, se x ≥ 0 f ( x) =  − x, se x < 0 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.  Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função 1 f ( x) = | x | −3 Resolução: 1 Sabemos que só é possível em IR se | x | −3 ≠ 0. | x | −3 Então : | x | −3 ≠ 0 ⇒ | x |≠ 3 ⇒ x ≠ 3 ou x ≠ −3 Resposta : D = {x ∈ IR | x ≠ 3 ou x ≠ −3} Exemplo 2: Determinar o domínio da função f ( x ) = 2− | x − 1 | Resolução:
  • 5. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Sabemos que 2− | x − 1 | só é possível em IR se 2− | x − 1 |≥ 0. Então : 2− | x − 1 |≥ 0 ⇒ − | x − 1 |≥ −2 ⇒ | x − 1 |≤ 2 ⇒ − 2 ≤ x − 1 ≤ 2 − 2 ≤ x −1 ≤ 2 ⇒ − 2 +1 ≤ x ≤ 2 +1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 Resposta : D = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 3}  Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|: x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2 Gráfico da função f(x)=|x|:
  • 6. SABER DIREITO www.itbsite.blogspot.com Este documento foi feito por Juliano Niederauer, com o auxílio dos livros: - Matemática Fundamental – 2º grau – Volume único (Giovanni, Bonjorno, Giovanni Jr.) - Matemática – Volume único - Facchini