SlideShare uma empresa Scribd logo
Prof. Jorge
Antonio Carlos Carneiro Barroso
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.profantoniocarneiro.com
Professor de Matemática
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
Valéria-Salvador-Bahia
Prof. Jorge
Estudo da reta
Prof. Jorge
x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das
abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano
Prof. Jorge
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
 3 é a abscissa de P;
 4 é a ordenada de P;
 3 e 4 são as coordenadas
de P;
P(x, y)
 Em geral:
Prof. Jorge
Sinais no plano
x
y
+
+
++
–
–
– –
y = 0
O( 0, 0)
x = 0
Prof. Jorge
Bissetrizes no plano
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz
Prof. Jorge
Equação da reta
Prof. Jorge
Equação geral da reta
 A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas
variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os
pontos da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos eixos;
Prof. Jorge
Retas paralelas aos eixos
 A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O 4
2
r
s
 Equação da reta r: x = 4
 Equação da reta s: y = 2
Prof. Jorge
Retas paralelas ao eixo y
 A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O 3–2
r s  Equação de r: x = –2
1
t
 Equação de s: x = 1
 Equação de t: x = 3
 Geral: retas ∕∕ eixo y:
x = k
 k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.
Prof. Jorge
Retas paralelas ao eixo x
 A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano
cartesiano xOy.
x
y
O
3
–1 p
u
 Equação de w: y = 3
2
w  Equação de u: y = 2
 Equação de p: y = –1
 Geral: retas ∕∕ eixo x:
y = h
 h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Prof. Jorge
Retas não-paralelas aos eixos
 A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,
determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB A, B e P estão⇒
alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B
P(x, y)
Prof. Jorge
Equação geral da reta
 Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma
equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais,
sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0.
 A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas,
todas equivalentes.
 2x – y – 3 = 0
 4x – 2y – 6 = 0
 6x – 3y – 9 = 0 ... e assim por diante.
 Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.
Prof. Jorge
Exemplos
 Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral
3x + 2y – 5 = 0.
x = 1 ⇒ 3.1 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1
x = 3 ⇒ 3.3 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = –4 ⇒ y = –2
x
y
O
3
1
r
–2
1
Prof. Jorge
Exemplos
 Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de
equação geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
 Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem
satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
 Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
Prof. Jorge
40 m
Inclinação de uma reta
 Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme
figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na
horizontal, a pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
α
 O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo
de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da
rampa.
6 mInclinação = tg α = = 0,15 = 15 %
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Vamos analisar agora duas situações extremas.
 Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que
a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º.
(tg 0o
= 0).
α = 0o
⇒ Inclinação = tg α = tg 0o
= 0
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Vamos analisar agora duas situações extremas.
 O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse
caso, não se define a inclinação da rampa e o
ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é
definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
Prof. Jorge
Q
Inclinação de uma reta
 Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida
no plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
αM
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
∆x
∆y
a =
r
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 30º =
x
y
O
30ºM
3
√3
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O
45ºM
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O
60ºM
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta
 Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos
importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3
–√3
Prof. Jorge
Exemplos
 Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–2)
5 – 3
a =
3
2
a =
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
Prof. Jorge
Exemplos
 Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2
3
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
3 – (–2)
–1 – 3
a =
5
– 4
a =
a < 0 e α é obtuso
(90º < α < 180º)
b) M(–2, 3) e N(3, –1)
–1
Prof. Jorge
Exemplos
 Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
M N
–1 3
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–1)
3 – 3
a =
a = 0
a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)
c) M(–1, 3) e N(2, 3)
Prof. Jorge
Exemplos
 Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
M
N
–1
2
3
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
2 – 2
3 – (–1)
a =
a = não é definida
α = 90º (reto)
d) M(2, –1) e N(2, 3)
α
⇓
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta - resumo
 O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
 Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula,
conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
 α = 0º ⇔ a = 0.
 0º < α < 90º ⇔ a > 0.
 α = 90º a inclinação⇔ a não é definida.
 90º < α < 180º ⇔ a < 0.
Prof. Jorge
Exemplos
 Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O
120º45º 45º
r s
t
 ar = tg 45º = 1
 as = tg 45º = 1  at = tg 120º – √3= – tg 60º =
Prof. Jorge
Equação reduzida da reta
Prof. Jorge
Equação reduzida da reta
 Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e
um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r
que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
 Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3
–1 =a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5
Prof. Jorge
Equação reduzida da reta – Caso Geral
 Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe
pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x, y)
xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP
a =a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b  Equação reduzida da reta
Prof. Jorge
Equação reduzida da reta
 Na equação reduzida y = ax + b, temos:
 Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b
 O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado,
por isso, coeficiente angular da reta.
 O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo
y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
Prof. Jorge
Exemplos
 Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a
equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular
e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy.
O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4.
2x – y + 4 = 0 ⇒ –y = –2x – 4 ⇒ y = 2x + 4
 a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º.
 b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4).
Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos
fazer y = 0.
y = 0 ⇒ 2x – 0 + 4 = 0 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2 ⇒ (–2, 0)
Prof. Jorge
Exemplos
 Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
Prof. Jorge
Exemplos
 O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação
reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
 A reta corta o eixo y no ponto
de ordenada 2, ponto (0, 2),
logo b = 2.
 α = 180º – 45º = 135º
a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
Prof. Jorge
Exemplos
 Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos
A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)
a =
∆x
∆y
= =
 Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9
= ⇒ a = –3
 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Equação do 2º grau
Equação do 2º grauEquação do 2º grau
Equação do 2º grau
João Paulo Luna
 
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalÂgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Andréa Thees
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
wfsousamatematica
 
Plano cartesiano animado
Plano cartesiano animadoPlano cartesiano animado
Plano cartesiano animado
Edigley Alexandre
 
Equações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau pptEquações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau ppt
ktorz
 
Prismas
PrismasPrismas
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grau
leilamaluf
 
Expressoes algebricas
Expressoes algebricasExpressoes algebricas
Expressoes algebricas
Larissa Souza
 
P.a. e p.g.
P.a. e p.g.P.a. e p.g.
P.a. e p.g.
Rodrigo Carvalho
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Angela Costa
 
17 aula intervalos reais
17 aula   intervalos reais17 aula   intervalos reais
17 aula intervalos reais
jatobaesem
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
rosania39
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
Luiza Kokkonen
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
Letinha47
 
Funções
FunçõesFunções
Moda, Média e Mediana
Moda, Média e MedianaModa, Média e Mediana
Moda, Média e Mediana
Juliana Perleto
 
Matemática - PA e PG
Matemática - PA e PGMatemática - PA e PG
Matemática - PA e PG
Thiago Santiago
 
Equacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grauEquacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grau
estrelaeia
 
Razao e proporção
Razao e proporçãoRazao e proporção
Razao e proporção
Jéssica Oliveira
 

Mais procurados (20)

Equação do 2º grau
Equação do 2º grauEquação do 2º grau
Equação do 2º grau
 
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalÂgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
 
Plano cartesiano animado
Plano cartesiano animadoPlano cartesiano animado
Plano cartesiano animado
 
Equações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau pptEquações do 1º grau ppt
Equações do 1º grau ppt
 
Prismas
PrismasPrismas
Prismas
 
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grau
 
Expressoes algebricas
Expressoes algebricasExpressoes algebricas
Expressoes algebricas
 
P.a. e p.g.
P.a. e p.g.P.a. e p.g.
P.a. e p.g.
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
 
17 aula intervalos reais
17 aula   intervalos reais17 aula   intervalos reais
17 aula intervalos reais
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Radiciaçâo
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Moda, Média e Mediana
Moda, Média e MedianaModa, Média e Mediana
Moda, Média e Mediana
 
Matemática - PA e PG
Matemática - PA e PGMatemática - PA e PG
Matemática - PA e PG
 
Equacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grauEquacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grau
 
Razao e proporção
Razao e proporçãoRazao e proporção
Razao e proporção
 

Destaque

Equação geral da reta
Equação geral da retaEquação geral da reta
Equação geral da reta
Giovani Pontes Coelh pontes
 
Equação da reta
Equação da retaEquação da reta
Equação da reta
Goretti Silva
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
con_seguir
 
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retaGeometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
tpmoliveira
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
RobertomonteiroBarata
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triânguloswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
Aulas Apoio
 
SemelhançA De TriâNgulos
SemelhançA De TriâNgulosSemelhançA De TriâNgulos
SemelhançA De TriâNgulos
guest3ec7922
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
con_seguir
 
História da matemática semelhança de triângulos
História da matemática semelhança de triângulosHistória da matemática semelhança de triângulos
História da matemática semelhança de triângulos
Anderson Luiz Oliveira Lima
 
Posições e relativas entre reta e plano
Posições e relativas entre reta e planoPosições e relativas entre reta e plano
Posições e relativas entre reta e plano
Amanda Góes
 
Projeto de matemática financeira
Projeto de matemática financeiraProjeto de matemática financeira
Projeto de matemática financeira
Carolina Cerri
 
Geometria analítica equação da reta
Geometria  analítica equação da retaGeometria  analítica equação da reta
Geometria analítica equação da reta
astorfariasbarbosa
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Kaline Andreza
 
Teorema de Tales
Teorema de Tales Teorema de Tales
Teorema de Tales
Escola
 
Elementos de Matemática Básica - Funções
Elementos de Matemática Básica - FunçõesElementos de Matemática Básica - Funções
Elementos de Matemática Básica - Funções
Milton Henrique do Couto Neto
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
ELIZEU GODOY JR
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Marianna Teixeira
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
profluizgustavo
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
Alexsandra Barbosa
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
Luciane Antoniolli
 

Destaque (20)

Equação geral da reta
Equação geral da retaEquação geral da reta
Equação geral da reta
 
Equação da reta
Equação da retaEquação da reta
Equação da reta
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
 
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retaGeometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da reta
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triânguloswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Semelhança de Triângulos
www.aulasapoio.com - Matemática - Semelhança de Triângulos
 
SemelhançA De TriâNgulos
SemelhançA De TriâNgulosSemelhançA De TriâNgulos
SemelhançA De TriâNgulos
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
 
História da matemática semelhança de triângulos
História da matemática semelhança de triângulosHistória da matemática semelhança de triângulos
História da matemática semelhança de triângulos
 
Posições e relativas entre reta e plano
Posições e relativas entre reta e planoPosições e relativas entre reta e plano
Posições e relativas entre reta e plano
 
Projeto de matemática financeira
Projeto de matemática financeiraProjeto de matemática financeira
Projeto de matemática financeira
 
Geometria analítica equação da reta
Geometria  analítica equação da retaGeometria  analítica equação da reta
Geometria analítica equação da reta
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Teorema de Tales
Teorema de Tales Teorema de Tales
Teorema de Tales
 
Elementos de Matemática Básica - Funções
Elementos de Matemática Básica - FunçõesElementos de Matemática Básica - Funções
Elementos de Matemática Básica - Funções
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
 
Semelhança de triângulos
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
 

Semelhante a Estudo da reta

Estudodareta 17122016
Estudodareta 17122016Estudodareta 17122016
Estudodareta 17122016
Antonio Carneiro
 
Estudo da reta.ppt - A função de primeir
Estudo da reta.ppt - A função de primeirEstudo da reta.ppt - A função de primeir
Estudo da reta.ppt - A função de primeir
RobsonNascimento678331
 
Matemática - Estudo da reta
Matemática - Estudo da retaMatemática - Estudo da reta
Matemática - Estudo da reta
Danielle Siqueira
 
Geometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledsonGeometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledson
PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
slidericardinho
 
Base trigonometria 001
Base trigonometria  001Base trigonometria  001
Base trigonometria 001
trigono_metria
 
Mat geometria analitica 004
Mat geometria analitica   004Mat geometria analitica   004
Mat geometria analitica 004
trigono_metrico
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
profluizgustavo
 
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
leosilveira
 
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
Giorgianna Porcena
 
EquaçãO+G[1] (Erlan)
EquaçãO+G[1] (Erlan)EquaçãO+G[1] (Erlan)
EquaçãO+G[1] (Erlan)
josivaldopassos
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
mlsdesa
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
mlsdesa
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
mlsdesa
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
mlsdesa
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
mlsdesa
 
Derivada
DerivadaDerivada
Derivada
Carlos Campani
 
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Arthur Lima
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
Andrei Bastos
 
Caderno de atividades terceirão ftd 04
Caderno de atividades terceirão ftd   04Caderno de atividades terceirão ftd   04
Caderno de atividades terceirão ftd 04
Oswaldo Stanziola
 

Semelhante a Estudo da reta (20)

Estudodareta 17122016
Estudodareta 17122016Estudodareta 17122016
Estudodareta 17122016
 
Estudo da reta.ppt - A função de primeir
Estudo da reta.ppt - A função de primeirEstudo da reta.ppt - A função de primeir
Estudo da reta.ppt - A função de primeir
 
Matemática - Estudo da reta
Matemática - Estudo da retaMatemática - Estudo da reta
Matemática - Estudo da reta
 
Geometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledsonGeometria anatica retas exercicios by gledson
Geometria anatica retas exercicios by gledson
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Base trigonometria 001
Base trigonometria  001Base trigonometria  001
Base trigonometria 001
 
Mat geometria analitica 004
Mat geometria analitica   004Mat geometria analitica   004
Mat geometria analitica 004
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
 
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
 
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
100 questc3b5es-de-circunferc3aancia1
 
EquaçãO+G[1] (Erlan)
EquaçãO+G[1] (Erlan)EquaçãO+G[1] (Erlan)
EquaçãO+G[1] (Erlan)
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
 
Função polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grauFunção polinomial do 2°grau
Função polinomial do 2°grau
 
Derivada
DerivadaDerivada
Derivada
 
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Caderno de atividades terceirão ftd 04
Caderno de atividades terceirão ftd   04Caderno de atividades terceirão ftd   04
Caderno de atividades terceirão ftd 04
 

Mais de Antonio Carneiro

Volumes 17122016
Volumes 17122016Volumes 17122016
Volumes 17122016
Antonio Carneiro
 
Sessão de cônicas 17122016
Sessão de cônicas 17122016Sessão de cônicas 17122016
Sessão de cônicas 17122016
Antonio Carneiro
 
Angulos 17122016
Angulos 17122016Angulos 17122016
Angulos 17122016
Antonio Carneiro
 
Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016
Antonio Carneiro
 
Polinomios 17122016
Polinomios 17122016Polinomios 17122016
Polinomios 17122016
Antonio Carneiro
 
Matrizes 17122016
Matrizes 17122016Matrizes 17122016
Matrizes 17122016
Antonio Carneiro
 
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
Antonio Carneiro
 
Matriz
MatrizMatriz
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
Antonio Carneiro
 
Matrizes
Matrizes Matrizes
Matrizes
Antonio Carneiro
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Ângulo
ÂnguloÂngulo
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
Antonio Carneiro
 
Matemática Comercial e Financeira
 Matemática Comercial e Financeira Matemática Comercial e Financeira
Matemática Comercial e Financeira
Antonio Carneiro
 
Sessões Cônicas
 Sessões Cônicas Sessões Cônicas
Sessões Cônicas
Antonio Carneiro
 
Triângulo
TriânguloTriângulo
Triângulo
Antonio Carneiro
 
Produtos notaveis
Produtos notaveisProdutos notaveis
Produtos notaveis
Antonio Carneiro
 
Função Exponencial
Função ExponencialFunção Exponencial
Função Exponencial
Antonio Carneiro
 
Apresentação4 6ª a vesp
Apresentação4 6ª a vespApresentação4 6ª a vesp
Apresentação4 6ª a vesp
Antonio Carneiro
 

Mais de Antonio Carneiro (20)

Volumes 17122016
Volumes 17122016Volumes 17122016
Volumes 17122016
 
Sessão de cônicas 17122016
Sessão de cônicas 17122016Sessão de cônicas 17122016
Sessão de cônicas 17122016
 
Angulos 17122016
Angulos 17122016Angulos 17122016
Angulos 17122016
 
Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016
 
Polinomios 17122016
Polinomios 17122016Polinomios 17122016
Polinomios 17122016
 
Matrizes 17122016
Matrizes 17122016Matrizes 17122016
Matrizes 17122016
 
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
Introduomatemticacomercialefinanceira 17122016
 
Matriz
MatrizMatriz
Matriz
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Matrizes
Matrizes Matrizes
Matrizes
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Ângulo
ÂnguloÂngulo
Ângulo
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
 
Matemática Comercial e Financeira
 Matemática Comercial e Financeira Matemática Comercial e Financeira
Matemática Comercial e Financeira
 
Sessões Cônicas
 Sessões Cônicas Sessões Cônicas
Sessões Cônicas
 
Triângulo
TriânguloTriângulo
Triângulo
 
Produtos notaveis
Produtos notaveisProdutos notaveis
Produtos notaveis
 
Função Exponencial
Função ExponencialFunção Exponencial
Função Exponencial
 
Apresentação 3
Apresentação 3Apresentação 3
Apresentação 3
 
Apresentação4 6ª a vesp
Apresentação4 6ª a vespApresentação4 6ª a vesp
Apresentação4 6ª a vesp
 

Último

Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Falcão Brasil
 
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
principeandregalli
 
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosasFotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
MariaJooSilva58
 
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdfEscola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
Falcão Brasil
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Falcão Brasil
 
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdfA Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
Falcão Brasil
 
Caça-palavras - multiplicação
Caça-palavras  -  multiplicaçãoCaça-palavras  -  multiplicação
Caça-palavras - multiplicação
Mary Alvarenga
 
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdfLivro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
CarolineSaback2
 
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdfHistória das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
LeideLauraCenturionL
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Luzia Gabriele
 
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdfGeotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
Falcão Brasil
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdfPortfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Falcão Brasil
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
shirleisousa9166
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Centro Jacques Delors
 
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
Sandra Pratas
 
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.pptAnálise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Falcão Brasil
 
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamasConhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
edusegtrab
 

Último (20)

Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
 
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
Guia Genealógico da Principesca e Ducal Casa de Mesolcina, 2024
 
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosasFotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
Fotossíntese e respiração: conceitos e trocas gasosas
 
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdfEscola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica (ECEMAR).pdf
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
 
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdfA Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
 
Caça-palavras - multiplicação
Caça-palavras  -  multiplicaçãoCaça-palavras  -  multiplicação
Caça-palavras - multiplicação
 
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdfLivro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
Livro - Planejamento em Orientação Educacional - Heloísa Lück.pdf
 
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdfHistória das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
 
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdfGeotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
Geotecnologias Aplicadas na Gestão de Riscos e Desastres Hidrológicos.pdf
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdfPortfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
 
FOTOS_AS CIÊNCIAS EM AÇÃO .
FOTOS_AS CIÊNCIAS EM AÇÃO                .FOTOS_AS CIÊNCIAS EM AÇÃO                .
FOTOS_AS CIÊNCIAS EM AÇÃO .
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
 
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_MARINELA NEVES & PAULA FRANCISCO_22_23
 
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, O Encontro de Rute com Boaz, 3Tr24.pptx
 
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.pptAnálise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
 
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamasConhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
 

Estudo da reta

  • 1. Prof. Jorge Antonio Carlos Carneiro Barroso www.ensinodematemtica.blogspot.com.br www.profantoniocarneiro.com Professor de Matemática Colégio Estadual Dinah Gonçalves Valéria-Salvador-Bahia
  • 3. Prof. Jorge x y O (0, 0) 1º quadrante2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante eixo das abscissas eixo das ordenadas Origem Plano cartesiano
  • 4. Prof. Jorge P x y O 4 3 P(3, 4) Coordenadas no plano  3 é a abscissa de P;  4 é a ordenada de P;  3 e 4 são as coordenadas de P; P(x, y)  Em geral:
  • 5. Prof. Jorge Sinais no plano x y + + ++ – – – – y = 0 O( 0, 0) x = 0
  • 6. Prof. Jorge Bissetrizes no plano x y y = xy = –x 1ª bissetriz2ª bissetriz
  • 8. Prof. Jorge Equação geral da reta  A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles. Retas paralelas aos eixos; Retas não-paralelas aos eixos;
  • 9. Prof. Jorge Retas paralelas aos eixos  A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 4 2 r s  Equação da reta r: x = 4  Equação da reta s: y = 2
  • 10. Prof. Jorge Retas paralelas ao eixo y  A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 3–2 r s  Equação de r: x = –2 1 t  Equação de s: x = 1  Equação de t: x = 3  Geral: retas ∕∕ eixo y: x = k  k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.
  • 11. Prof. Jorge Retas paralelas ao eixo x  A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 3 –1 p u  Equação de w: y = 3 2 w  Equação de u: y = 2  Equação de p: y = –1  Geral: retas ∕∕ eixo x: y = h  h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
  • 12. Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos  A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3). x y O 3 1 r 2 3 P(x, y) ∊ AB A, B e P estão⇒ alinhados x y 1 1 2 1 3 3 1 = 0 x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0 ⇒ y – 2x + 3 = 0 A B P(x, y)
  • 13. Prof. Jorge Equação geral da reta  Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0.  A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes.  2x – y – 3 = 0  4x – 2y – 6 = 0  6x – 3y – 9 = 0 ... e assim por diante.  Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.
  • 14. Prof. Jorge Exemplos  Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral 3x + 2y – 5 = 0. x = 1 ⇒ 3.1 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1 x = 3 ⇒ 3.3 + 2y – 5 = 0 ⇒ 2y = –4 ⇒ y = –2 x y O 3 1 r –2 1
  • 15. Prof. Jorge Exemplos  Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = 0. ⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0  Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação. M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0  Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
  • 17. Prof. Jorge 40 m Inclinação de uma reta  Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m. 40 m 6 m α  O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa. 6 mInclinação = tg α = = 0,15 = 15 %
  • 18. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Vamos analisar agora duas situações extremas.  Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0). α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
  • 19. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Vamos analisar agora duas situações extremas.  O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido). α = 90o ⇓ Inclinação não se define.
  • 20. Prof. Jorge Q Inclinação de uma reta  Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy. x y O yQ yP xQxP P αM xQ – xP yQ – yP Inclinação = tg α α yQ– yP xQ– xP a = tg α = ∆x ∆y a = r
  • 21. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 30º = x y O 30ºM 3 √3
  • 22. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 45º = 1 x y O 45ºM
  • 23. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 60º = √3 x y O 60ºM
  • 24. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: x y O 120º M a = tg 120º = – tg 60º = –√3
  • 25. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 135º = – tg 45º = – 1 x y O 135º M
  • 26. Prof. Jorge Inclinação de uma reta  Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 150º = – tg 30º = x y O 150º M 3 –√3
  • 27. Prof. Jorge Exemplos  Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O α M N –2 1 3 5 xN – xM yN – yM a = tg α = 1 – (–2) 5 – 3 a = 3 2 a = a > 0 e α é agudo (α < 90º) a) M(–2, 3) e N(1, 5)
  • 28. Prof. Jorge Exemplos  Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O α M N –2 3 3 xN – xM yN – yM a = tg α = 3 – (–2) –1 – 3 a = 5 – 4 a = a < 0 e α é obtuso (90º < α < 180º) b) M(–2, 3) e N(3, –1) –1
  • 29. Prof. Jorge Exemplos  Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O M N –1 3 3 xN – xM yN – yM a = tg α = 1 – (–1) 3 – 3 a = a = 0 a = 0 ⇒ α = 0º (nulo) c) M(–1, 3) e N(2, 3)
  • 30. Prof. Jorge Exemplos  Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O M N –1 2 3 xN – xM yN – yM a = tg α = 2 – 2 3 – (–1) a = a = não é definida α = 90º (reto) d) M(2, –1) e N(2, 3) α ⇓
  • 31. Prof. Jorge Inclinação de uma reta - resumo  O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.  Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).  α = 0º ⇔ a = 0.  0º < α < 90º ⇔ a > 0.  α = 90º a inclinação⇔ a não é definida.  90º < α < 180º ⇔ a < 0.
  • 32. Prof. Jorge Exemplos  Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo. x y O 120º45º 45º r s t  ar = tg 45º = 1  as = tg 45º = 1  at = tg 120º – √3= – tg 60º =
  • 34. Prof. Jorge Equação reduzida da reta  Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.  Vamos obter a equação da reta r. x y O 135º A 2 3 M(x, y) xM – xA yM – yA a = tg 135º = –1. x – 2 y – 3 –1 =a = y – 3 = –1(x – 2) y – 3 = –1x + 2 y = –1x + 5 ⇒ y = –x + 5
  • 35. Prof. Jorge Equação reduzida da reta – Caso Geral  Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura. x y O α P xP yP M (x, y) xM – xA yM – yA x – xP y – yP a =a = y – yP = a(x – xP) ⇒ ⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP) ⇒ y = ax + b  Equação reduzida da reta
  • 36. Prof. Jorge Equação reduzida da reta  Na equação reduzida y = ax + b, temos:  Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y. x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b  O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.  O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
  • 37. Prof. Jorge Exemplos  Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy. O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4. 2x – y + 4 = 0 ⇒ –y = –2x – 4 ⇒ y = 2x + 4  a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º.  b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4). Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0. y = 0 ⇒ 2x – 0 + 4 = 0 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2 ⇒ (–2, 0)
  • 38. Prof. Jorge Exemplos  Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy. x y O r –2 4 y = 2x + 4
  • 39. Prof. Jorge Exemplos  O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta. x y O s 45º 2 y = ax + b  A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.  α = 180º – 45º = 135º a = tg 135º = –1. y = – x + 2 ⇒ x + y – 2 = 0 α
  • 40. Prof. Jorge Exemplos  Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3). xA – xB yA – yB –2 – 1 6 –(–3) a = ∆x ∆y = =  Primeiro vamos calcular a inclinação da reta. –3 9 = ⇒ a = –3  Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2) ⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x