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Função Seno
f(x) =
sen(x)
π/2
0π
3π/2
x sen
-13π/2
π/2 1
0 0
π 0
2π 0
y
x0 π/2 π
3π/2 2π
1
-1
Período = 2π
Imagem = [-1, 1]
2π
Função Ímpar
Função Cosseno
f(x) =
Cos(x)π/2
0π
3π/2
x cos
03π/2
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0 1
π -1
2π 1
y
x0 π/2 π
3π/2 2π
1
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1
-1
a
-a
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
f(x) = a • sen(x)
Imagem = [- a, a]
Período = 2π
2π
Variações nas funções
K•f(x) Estica K vezes
1/k•f(x) Encolhe k vezes
Variação Vertical
Modifica a Imagem
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 2sen(x)
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
2
-2
f(x) = sen(x)
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Período = 2π
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2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
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Período = 2π
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1
-1
f(x) = sen(x)
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1
-1
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
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Imagem = [-1, 1]
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2π2π/IcI
Variações nas funções
f(k•x) DIMINUI K VEZES
O PERÍODO
f(1/k•x) AUMENTA K VEZES
O PERÍODO
Variação Horizontal
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Variação Horizontal
Modifica o Período
Variações nas funções
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
f(x) = sen(2x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π/2= π
2ππ
Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)
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4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
f(x) = sen(x + d)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
Variações nas funções
f(x-k) MOVE PARA DIREITA
K UNIDADES
f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA
K UNIDADES
Translação Horizontal
Não Modifica o Período
Variações nas funções
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
f(x) = sen(x + d)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
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Variações nas funções
Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d)Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d)
Translação Vertical
Modifica a Imagem
Variação Vertical
Modifica a Imagem
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Eixo “x”
a
b
d
c
Variação horizontal
Modifica o período
Translação horizontal
Não Modifica o Período
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(2x)
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
1
-1
2
Período = 2π/2= π
2ππ
Imagem = [0, 2]
1º) y = sen(2x)
2º) y = 1 + sen(2x)
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 07
Questões: 261, 263, 264, 269, 277, 279, 287, 292 e 299.

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  • 2. Função Seno f(x) = sen(x) π/2 0π 3π/2 x sen -13π/2 π/2 1 0 0 π 0 2π 0 y x0 π/2 π 3π/2 2π 1 -1 Período = 2π Imagem = [-1, 1] 2π Função Ímpar
  • 3. Função Cosseno f(x) = Cos(x)π/2 0π 3π/2 x cos 03π/2 π/2 0 0 1 π -1 2π 1 y x0 π/2 π 3π/2 2π 1 -1 Período = 2π Imagem = [-1, 1] 2π Função Par
  • 4. Variações nas funções 1º Caso ⇒ f(x) = a • sen(x)1º Caso ⇒ f(x) = a • sen(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 a -a f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = a • sen(x) Imagem = [- a, a] Período = 2π 2π
  • 5. Variações nas funções K•f(x) Estica K vezes 1/k•f(x) Encolhe k vezes Variação Vertical Modifica a Imagem
  • 6. Variações nas funções Exemplo ⇒ f(x) = 2sen(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 2 -2 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = 2sen(x) Imagem = [- 2, 2] Período = 2π 2π
  • 7. Variações nas funções 2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = b + sen(x) Imagem = [-1+b, 1+b] Período = 2π 1+b -1+b 2π
  • 8. Variações nas funções f(x) + k SOBE k UNIDADES f(x) - k DESCE K UNIDADES Translação Vertical Modifica a Imagem
  • 9. Variações nas funções Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = 1 + sen(x) Imagem = [0, 2] Período = 2π 0 2 2π
  • 11. Variações nas funções 3º Caso ⇒ f(x) = sen(c•x)3º Caso ⇒ f(x) = sen(c•x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = sen(c•x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π/|c| 2π2π/IcI
  • 12. Variações nas funções f(k•x) DIMINUI K VEZES O PERÍODO f(1/k•x) AUMENTA K VEZES O PERÍODO Variação Horizontal Modifica o Período Variação Horizontal Modifica o Período
  • 13. Variações nas funções                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = sen(2x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π/2= π 2ππ Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)
  • 14. Variações nas funções 4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = sen(x + d) Imagem = [-1, 1] Período = 2π 2π
  • 15. Variações nas funções f(x-k) MOVE PARA DIREITA K UNIDADES f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA K UNIDADES Translação Horizontal Não Modifica o Período
  • 16. Variações nas funções                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 f(x) = sen(x) Imagem = [-1, 1] Período = 2π f(x) = sen(x + d) Imagem = [-1, 1] Período = 2π π Exemplo ⇒ f(x) = sen(x + π) π
  • 17. Variações nas funções Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d)Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d) Translação Vertical Modifica a Imagem Variação Vertical Modifica a Imagem Eixo “y” Eixo “x” a b d c Variação horizontal Modifica o período Translação horizontal Não Modifica o Período
  • 18. Variações nas funções Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(2x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 1 -1 2 Período = 2π/2= π 2ππ Imagem = [0, 2] 1º) y = sen(2x) 2º) y = 1 + sen(2x)
  • 19. Sugestão de exercícios: CAPÍTULO 07 Questões: 261, 263, 264, 269, 277, 279, 287, 292 e 299.