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Funções Elementares
Carlas Ferreira
Definição - Função Exponencial
• Seja a um número positivo deferente de 1.
A função

f ( x)  a

x

é a função exponencial de base a, sendo a
uma constante.
O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).
Definição-Crescimento e Decrescimento
Exponenciais
y  f ( x)  y0 a kx é um modelo para crescimento
A função
exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial
quando k<0.
Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0
e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.
x

x

x

Figura: y = 2 , y = 3 , y = 10 .
Regras de Exponenciação
a .a  a
x

• Se a>0 e b>0, as
afirmações a seguir
são verdadeiras para
quaisquer x e y
reais.

y

x y

ax
 a x y
ay
(a x ) y  (a y ) x  a xy
a x .b x  (ab) x
a
a
 
x
b
b
x

x
y

x

a  ax , y  0
y
Definição – Função Logaritmo de
Base a
• A função logarítmica na base a, y  log a x
é a função inversa da função exponencial
y
x  a (a  0, a  1) de base a.
O domínio de y  log a x é (0,+), a imagem de

x  a (a  0, a  1).
A imagem de y  log a x é, o domínio de
y
x  a (a  0, a  1).
y
O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.
Propriedade dos Logaritmos
x
Inversas para a e log a x
Base a:

a

loga x

 x, log a a  x,
x

a  0, a  1, x  0
Base e:

e

loge x

 x, log e e  x, x  0
x

 1
e  lim 1    2,718281828459045...
n 
 n
Propriedade dos Logaritmos
Para qualquer número real x > 0 e y>0,

log a 1  0 e log a a  1
Regra do Produto:

log a xy  log a x  log a y

x
Regra do quociente: log a  log a x  log a y
y
Regra da Potencia: log a x y  y log a x
• Cada função exponencial é a potencia da
função exponencial natural.

a e
x

x ln a

• Formula para mudança de base,
sendo a,b,c>0 e a,c1.
log c x
log a x 
log c a
Função Trigonométrica e Suas
Inversas – unidade radiano
y
r
sen   , cos sec  
r
y
x
r
cos   , sec  
r
x
y
x
tan   , cot  
x
y

y

Semi-reta final
P(x,y)

r


x

y

Semi-reta
x inicial

Um ângulo  na

posição-padrão
y
r
sen(  )     sen  , cos sec(  )     cos sec 
r
y
x
r
cos(  )   cos , sec(  )   sec 
r
x

y
x
tan(  )     tan  , cot(  )     cot 
x
y
y

Semi-reta final
P(x,y)
r
x  y Semi-reta inicial
- -y x
r
P(x,-y)

Um ângulo - na posiçãopadrão
Quando r=1
1
sen   y, cos sec  
y
1
cos   x, sec  
x
y
x
tan   , cot  
x
y
Formulas para conversão
• 1 grau = /180 ~0.02 radianos
• 1 radiano = 180/  ~ 57 graus
Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo 
(Grau) -180
Radians -

Sen

0

cos

-1

tg

0

-135 -90
-3/4 -/4
2
2
2

2

-1

1

-



0

-45
-/6


0
0

30
/6

2
2
2
2

0

1
2

1

-1

0

3
2
3
3

45
/4

60
/3

2
2
2
2

3
2
1
2

1

3

90
/3
1
0
-

135 180
3/4 
2
2
2

2

-1

0
-1
0
• Período das funções Trigonométricas
• Período : tg(x + ) = tgx
cotg(x + ) = cotgx
• Período 2: sen(x + 2) = sen x
cos(x + 2) = cos x
sec(x + 2) = sec x
cossec (x + 2) = cossec x
Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c)
tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente
utilizando a medida em radianos.

  



  




  









   
  



  



   


Identidade
• cos2 + sen2 =1
• Dividindo essa identidade por cos2 e
depois por sen2 temos:
• 1 + tg2= sec2
• 1 + cotg2 = cosec2
Formula para soma dos ângulos e
ângulos duplos
•
•
•
•
•
•

cos(+)= cos() cos()- sen() sen()
sen(+)= sen() cos() +cos() sen()

cos 2 = cos2 - sen2
B(a cos ,a sen 
sen2 = 2 sen cos
y
Lei dos cossenos
c
c2= a2 + b2 – 2ab cos
a
x

a cos  C b A(b,0)
Lei dos cossenos
c2= a2 + b2 – 2ab cos
• c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2
• c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -)
• cos ( -) = -cos 
B(a cos (-),a sen(-)
• sen ( -) = sen 
y
• cos2 + sen2  = 1
c
Logo
a
• c2= a2cos2  +b2 + a2 sen2  - 2abcos
( -) * 
2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos
• c
x
a cos( -)C b A(b,0)
• c2= a2 +b2 - 2abcos
=1

Triangulo Retângulo
Inversos da função Trigonométrica
• Seja f ( x)  arccos x ,Dm(f) = [-1,1],
Im(f)=[0, ].
• Determinar x sendo que f(x) = /3.


3

 arccos x



1
x  cos 
3 2
Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x,
(c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e
(f) y = arc cotg x.
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Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas

  • 2. Definição - Função Exponencial • Seja a um número positivo deferente de 1. A função f ( x)  a x é a função exponencial de base a, sendo a uma constante. O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).
  • 3. Definição-Crescimento e Decrescimento Exponenciais y  f ( x)  y0 a kx é um modelo para crescimento A função exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial quando k<0. Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0 e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.
  • 4. x x x Figura: y = 2 , y = 3 , y = 10 .
  • 5. Regras de Exponenciação a .a  a x • Se a>0 e b>0, as afirmações a seguir são verdadeiras para quaisquer x e y reais. y x y ax  a x y ay (a x ) y  (a y ) x  a xy a x .b x  (ab) x a a   x b b x x y x a  ax , y  0 y
  • 6. Definição – Função Logaritmo de Base a • A função logarítmica na base a, y  log a x é a função inversa da função exponencial y x  a (a  0, a  1) de base a. O domínio de y  log a x é (0,+), a imagem de x  a (a  0, a  1). A imagem de y  log a x é, o domínio de y x  a (a  0, a  1). y
  • 7. O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.
  • 8. Propriedade dos Logaritmos x Inversas para a e log a x Base a: a loga x  x, log a a  x, x a  0, a  1, x  0 Base e: e loge x  x, log e e  x, x  0 x  1 e  lim 1    2,718281828459045... n   n
  • 9. Propriedade dos Logaritmos Para qualquer número real x > 0 e y>0, log a 1  0 e log a a  1 Regra do Produto: log a xy  log a x  log a y x Regra do quociente: log a  log a x  log a y y Regra da Potencia: log a x y  y log a x
  • 10. • Cada função exponencial é a potencia da função exponencial natural. a e x x ln a • Formula para mudança de base, sendo a,b,c>0 e a,c1. log c x log a x  log c a
  • 11. Função Trigonométrica e Suas Inversas – unidade radiano y r sen   , cos sec   r y x r cos   , sec   r x y x tan   , cot   x y y Semi-reta final P(x,y) r  x y Semi-reta x inicial Um ângulo  na posição-padrão
  • 12. y r sen(  )     sen  , cos sec(  )     cos sec  r y x r cos(  )   cos , sec(  )   sec  r x  y x tan(  )     tan  , cot(  )     cot  x y y Semi-reta final P(x,y) r x  y Semi-reta inicial - -y x r P(x,-y) Um ângulo - na posiçãopadrão
  • 13. Quando r=1 1 sen   y, cos sec   y 1 cos   x, sec   x y x tan   , cot   x y
  • 14. Formulas para conversão • 1 grau = /180 ~0.02 radianos • 1 radiano = 180/  ~ 57 graus Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo  (Grau) -180 Radians - Sen 0 cos -1 tg 0 -135 -90 -3/4 -/4 2 2 2  2 -1 1 -  0 -45 -/6  0 0 30 /6 2 2 2 2 0 1 2 1 -1 0 3 2 3 3 45 /4 60 /3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 90 /3 1 0 - 135 180 3/4  2 2 2  2 -1 0 -1 0
  • 15. • Período das funções Trigonométricas • Período : tg(x + ) = tgx cotg(x + ) = cotgx • Período 2: sen(x + 2) = sen x cos(x + 2) = cos x sec(x + 2) = sec x cossec (x + 2) = cossec x
  • 16. Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c) tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente utilizando a medida em radianos.        
  • 17.                         
  • 18. Identidade • cos2 + sen2 =1 • Dividindo essa identidade por cos2 e depois por sen2 temos: • 1 + tg2= sec2 • 1 + cotg2 = cosec2
  • 19. Formula para soma dos ângulos e ângulos duplos • • • • • • cos(+)= cos() cos()- sen() sen() sen(+)= sen() cos() +cos() sen()  cos 2 = cos2 - sen2 B(a cos ,a sen  sen2 = 2 sen cos y Lei dos cossenos c c2= a2 + b2 – 2ab cos a x  a cos  C b A(b,0)
  • 20. Lei dos cossenos c2= a2 + b2 – 2ab cos • c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2 • c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -) • cos ( -) = -cos  B(a cos (-),a sen(-) • sen ( -) = sen  y • cos2 + sen2  = 1 c Logo a • c2= a2cos2  +b2 + a2 sen2  - 2abcos ( -) *  2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos • c x a cos( -)C b A(b,0) • c2= a2 +b2 - 2abcos =1 Triangulo Retângulo
  • 21. Inversos da função Trigonométrica • Seja f ( x)  arccos x ,Dm(f) = [-1,1], Im(f)=[0, ]. • Determinar x sendo que f(x) = /3.  3  arccos x  1 x  cos  3 2
  • 22. Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x, (c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e (f) y = arc cotg x.