O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
2. Definição - Função Exponencial
• Seja a um número positivo deferente de 1.
A função
f ( x) a
x
é a função exponencial de base a, sendo a
uma constante.
O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).
3. Definição-Crescimento e Decrescimento
Exponenciais
y f ( x) y0 a kx é um modelo para crescimento
A função
exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial
quando k<0.
Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0
e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.
5. Regras de Exponenciação
a .a a
x
• Se a>0 e b>0, as
afirmações a seguir
são verdadeiras para
quaisquer x e y
reais.
y
x y
ax
a x y
ay
(a x ) y (a y ) x a xy
a x .b x (ab) x
a
a
x
b
b
x
x
y
x
a ax , y 0
y
6. Definição – Função Logaritmo de
Base a
• A função logarítmica na base a, y log a x
é a função inversa da função exponencial
y
x a (a 0, a 1) de base a.
O domínio de y log a x é (0,+), a imagem de
x a (a 0, a 1).
A imagem de y log a x é, o domínio de
y
x a (a 0, a 1).
y
8. Propriedade dos Logaritmos
x
Inversas para a e log a x
Base a:
a
loga x
x, log a a x,
x
a 0, a 1, x 0
Base e:
e
loge x
x, log e e x, x 0
x
1
e lim 1 2,718281828459045...
n
n
9. Propriedade dos Logaritmos
Para qualquer número real x > 0 e y>0,
log a 1 0 e log a a 1
Regra do Produto:
log a xy log a x log a y
x
Regra do quociente: log a log a x log a y
y
Regra da Potencia: log a x y y log a x
10. • Cada função exponencial é a potencia da
função exponencial natural.
a e
x
x ln a
• Formula para mudança de base,
sendo a,b,c>0 e a,c1.
log c x
log a x
log c a
11. Função Trigonométrica e Suas
Inversas – unidade radiano
y
r
sen , cos sec
r
y
x
r
cos , sec
r
x
y
x
tan , cot
x
y
y
Semi-reta final
P(x,y)
r
x
y
Semi-reta
x inicial
Um ângulo na
posição-padrão
12. y
r
sen( ) sen , cos sec( ) cos sec
r
y
x
r
cos( ) cos , sec( ) sec
r
x
y
x
tan( ) tan , cot( ) cot
x
y
y
Semi-reta final
P(x,y)
r
x y Semi-reta inicial
- -y x
r
P(x,-y)
Um ângulo - na posiçãopadrão
13. Quando r=1
1
sen y, cos sec
y
1
cos x, sec
x
y
x
tan , cot
x
y
15. • Período das funções Trigonométricas
• Período : tg(x + ) = tgx
cotg(x + ) = cotgx
• Período 2: sen(x + 2) = sen x
cos(x + 2) = cos x
sec(x + 2) = sec x
cossec (x + 2) = cossec x
16. Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c)
tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente
utilizando a medida em radianos.
18. Identidade
• cos2 + sen2 =1
• Dividindo essa identidade por cos2 e
depois por sen2 temos:
• 1 + tg2= sec2
• 1 + cotg2 = cosec2
19. Formula para soma dos ângulos e
ângulos duplos
•
•
•
•
•
•
cos(+)= cos() cos()- sen() sen()
sen(+)= sen() cos() +cos() sen()
cos 2 = cos2 - sen2
B(a cos ,a sen
sen2 = 2 sen cos
y
Lei dos cossenos
c
c2= a2 + b2 – 2ab cos
a
x
a cos C b A(b,0)
20. Lei dos cossenos
c2= a2 + b2 – 2ab cos
• c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2
• c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -)
• cos ( -) = -cos
B(a cos (-),a sen(-)
• sen ( -) = sen
y
• cos2 + sen2 = 1
c
Logo
a
• c2= a2cos2 +b2 + a2 sen2 - 2abcos
( -) *
2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos
• c
x
a cos( -)C b A(b,0)
• c2= a2 +b2 - 2abcos
=1
Triangulo Retângulo
21. Inversos da função Trigonométrica
• Seja f ( x) arccos x ,Dm(f) = [-1,1],
Im(f)=[0, ].
• Determinar x sendo que f(x) = /3.
3
arccos x
1
x cos
3 2
22. Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x,
(c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e
(f) y = arc cotg x.