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FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Introdução:

A função exponencial é uma das mais importantes para a explicação e estudos de muitos
fenômenos naturais e também para o projeto de muitas máquinas, é ferramenta indispensável
para físicos, químicos, biólogos e também para engenheiros, que devem sabê-la muito bem para
aplicá-la em seus trabalhos tanto na pesquisas, caso dos físicos, químicos e biólogos, como
também na engenharia, caso dos engenheiros.

Para exemplificar como a função exponencial está presente no dia-a-dia dos estudos dos
cientistas, vamos analisar um pequeno exemplo de árvore genealógica. Gustavo e Karina
formam um casal que em suas famílias as pessoas vivem muito tempo. Vamos calcular quantos
avós e bisavós têm em conjunto Gustavo e Karina. para iniciarmos contamos quantos os pais de
cada um e depois somamos, depois os avós e por último os bisavós. Assim temos:

pais → 2 + 2 = 4 = 22
avôs/avós → 4 + 4 = 8 = 23
bisavôs/bisavós → 8 + 8 = 16 = 24

Observamos assim que a cada passo o número de pessoas dobra. Se continuássemos
calculando o número de pessoas na quinta geração (trisavôs / trisavós), teríamos:

16 + 16 = 32 = 25

Notamos assim que para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes em
função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de
função exponencial.

Esse pequeno exemplo expressa o número de pais, avôs e avós, bisavôs e bisavós, etc... de
Gustavo e Karina. No estudo de muitos casos que envolva as gerações de populações animais,
por exemplo, os biólogos fazem uso da função exponencial para estudar o comportamento de
tais populações, por exemplo o crescimento de uma cultura de peixes numa lagoa, a evolução
de uma população de bactérias em certo organismo, o estudo do Caos de uma população animal
é um excelente exemplo de estudo utilizando a função exponencial.

DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL:

Uma função exponencial qualquer função f de R em R dada pela lei da forma f(x) = ax, onde a é
um número real e, a > 0 e a ≠ 1. A é chamado de base da função.

GRÁFICO:

Os gráficos da função exponencial podem ser crescentes ou decrescentes, dependendo do valor
de a ou do sinal do expoente. Vejamos alguns casos:
a>1                                        a < 1, ou expoente negativo



PROPRIEDADES:

Vamos analisar algumas propriedades do gráfico da função exponencial f(x) = ax

1) se x = 0 → f(x) = 1, pois a0 = 1, todo número elevado a zero resulta em 1. Isso quer dizer que
o gráfico de qualquer função exponencial do tipo f(x) = ax corta o eixo das ordenadas no ponto
de ordenada igual a 1, par (01).

2) Se a > 1, então a função f(x) = ax é crescente.

3) Se 0 < a < 1, então a função f(x) = ax é decrescente. São decrescentes por exemplo as
funções exponenciais:

             x                     x                    x
         1                    2               3
f (x ) =   ,         f (x ) =   ,   f (x ) =  
         4                    3              5

4) Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o gráfico da função f(x) = ax está sempre
acima do eixo das abscissas.

Se a > 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.

Se 0 < a < 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume calores positivos cada vez
maiores.

5) Se tivermos no expoente o sinal de menos, f(x) = a-x, o gráfico da função será decrescente
também.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:

Equações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo
menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais:
                 x
         1
2 = 16 ,   = 81 , 4 x − 2 x = 12
  x

         8
Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos
os membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade:
a x1 = a x2 ⇒ x1 = x 2
Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente resolvida.

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS:

Inequações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo
menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais:
                   x
           1
2 > 16 ,   < 27 , 4 x − 2 x ≤ 12
  x

           3
Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos
os membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade:

a x1 < a x2 ⇒ x1 < x 2 , (se a > 1)
a x1 < a x2 ⇒ x1 > x 2 , (se 0 < a < 1)

                                      Experiência de Matemática
Material utilizado:

      •   Sensor de tensão KDS-1009 da VOLTCOM,
      •   Capacitor eletrolítico de 470 µF e 50 v,
      •   Resistor de 10 K (10000 ohms),
      •   Chave liga-desliga,
      •   Matriz de contatos Prot-on-Board
      •   Fonte de tensão de 50 v.

Procedimento experimental:

Para o experimento hora proposto devemos seguir os seguintes passos.

1) Conecte o a interface com o PC pela porta USB.

2) Conecte o sensor de movimento à interface.

3) Ligue o PC e a interface.

4) Ligue o capacitor na matriz de contatos.

5) Ligue o resistor em série com o capacitor na matriz de contatos.

6) Ligue a chave liga-desliga em série com o capacitor e com o resistor deixando-a na posição
de modo que o circuito fique aberto.

7) Ligue a fonte de tensão nos terminais do circuito montado.

8) Ligue o sensor de tensão em paralelo com o capacitor.
9) Dispare o botão de iniciar o experimento.

10) Ligue a chave liga-desliga de modo que o circuito se feche, ou seja, de modo que a fonte
faça fluir corrente pelo circuito.Nesse instante pode-se notar o processo de carga do capacitor
pelo aumento da tensão no mesmo. Esse processo pode ser visualizado no gráfico do Excel.

11) Quando a tensão atingir seu valor máximo, desligue a fonte. Nesse momento pode-se notar
o processo de descarga do capacitor mostrado no gráfico do Excel.


Resultados:

O experimento teve como resultado o gráfico da figura seguinte




Conclusões/Comentários:

Pode-se notar que, como foi utilizado o sensor de tensão, o processo de carga não obedece a
uma exponencial, mas sim se parece com uma função logarítmica, se fosse utilizado o sensor de
corrente, tal processo obedeceria a uma função exponencial decrescente, como a função
matemática anteriormente citada mostra. Quando a tensão atinge um valor próximo ao da fonte,
9 volts, perto de 7 volts, a inclinação do gráfico começa a se atenuar, pois o capacitor, nessas
condições, já está quase completamente carregado. Tal tensão no capacitor não atinge o valor
da fonte, 9 volts, pois no circuito há um resistor de 10 K que provoca uma queda de tensão em
seus terminais.A parte descendente do gráfico corresponde ao processo de descarga do
capacitor, quando a tensão começa a cair até atingir seu valor mínimo. Esta se parece muito
com uma exponencial decrescente, como se fosse utilizado o sensor de corrente.
Exercícios Resolvidos


1) Construa o gráfico da seguinte função exponencial:   f (x ) = 2 x
                                                                       x
                                                                 1
2) Construa o gráfico da seguinte função exponencial:   f (x ) =  
                                                                 2
3) Resolver as seguintes equações exponenciais:


a-)   2 x = 16
           x
    1
b-)   = 81
    3

c-)   ( 2)   x
                   = 64

4) Resolver as seguintes equações exponenciais:


a-)   (3 )
         x x +1
                   = 729

b-)   2 2 x +1 ∗ 4 3 x +1 = 8 x −1

5) Resolva a equação exponencial      4 x − 2 x = 12

6) Resolver a seguinte equação exponencial:   9 x+1 − 4 ∗ 3 x − 69 = 0
7) Para exemplificar a resolução de uma inequação exponencial vamos resolver as seguintes
inequações:

a-)   2 x > 64
               x
    1
b-)   ≤ 27
    3

c-)   ( 2)     x
                   ≥4 2

d-)   (0,56)2 x +3 > 1
8) Resolver as seguintes inequações exponenciais:
a-)   (2 )x x +1
                     ≤ 64
                 3 x +1                                   x −1
     1                         1+ 2 x − x 2     1 
b-)  x                  ∗9                    ≥ 
    3                                           27 

9) Resolver a equação exponencial                         5 2 x +1 − 5 x +3 > 5 x − 5

10) Resolver a equação exponencial                         7 x − 6 ≥ 71− x

Exercícios Propostos:
1) Construa os gráficos das seguintes funções exponenciais:

                             x
              1
a-) f ( x ) =  
              3

b-)   f (x ) = 2 − x
                          x +1

c-)   f (x ) = 3           2




d-)   f ( x ) = 21− x

2) Para que valores de m a função f ( x ) = 2 ∗ m é crescente ?
                                                                       x




                    f ( x ) = 4 ∗ (m − 2) é crescente. Determine m.
                                                      x
3) A função


                                                      f ( x ) = 0,1 ∗ (m − 1)
                                                                                x
4) Determine m para que a função                                                    seja crescente.

5) Resolva as seguintes equações exponenciais:

             x
    1
a-)   = 125
    5

b-)   ( 3)
      4
            x
                 =3 9
c-)   8 2 x +1 = 3 4 x −1
      1 7 x −1
d-)     = 49
      7
6) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a-)   2 x +1 − 2 3− x = 6

                           8
b-)   2 x +3 + 63 =
                           2x
7) Resolva as seguintes inequações exponenciais:


a-) ( 3 )
            x          1
       3
                 ≤
                       9

b-) ( 2 )
             x             1
                   >   3
                           16

c-)   4x ≥ 8
9.8) Resolva as seguintes inequações exponenciais:


a-)   (27 )x − 2 x +1
                               ( )
                           ≥ 9 x +1
                                         x −3



           3 x−2               2 x +1             x −3
    2             4                   8 
b-)              ∗                  ≤ 
    3             9                   27 

                                                             − 2 x +1       5625
                                                                        =
                                                         2
                                        x
9) Qual a soma das raízes da equação: 5
                                                                             9

                                                                               (0,8)4 x − x > (0,8)3( x+1)
                                                                                       2

10) Quais os valores de x que tornam válida a desigualdade:

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Funcoes Exponenciais

  • 1. FUNÇÕES EXPONENCIAIS Introdução: A função exponencial é uma das mais importantes para a explicação e estudos de muitos fenômenos naturais e também para o projeto de muitas máquinas, é ferramenta indispensável para físicos, químicos, biólogos e também para engenheiros, que devem sabê-la muito bem para aplicá-la em seus trabalhos tanto na pesquisas, caso dos físicos, químicos e biólogos, como também na engenharia, caso dos engenheiros. Para exemplificar como a função exponencial está presente no dia-a-dia dos estudos dos cientistas, vamos analisar um pequeno exemplo de árvore genealógica. Gustavo e Karina formam um casal que em suas famílias as pessoas vivem muito tempo. Vamos calcular quantos avós e bisavós têm em conjunto Gustavo e Karina. para iniciarmos contamos quantos os pais de cada um e depois somamos, depois os avós e por último os bisavós. Assim temos: pais → 2 + 2 = 4 = 22 avôs/avós → 4 + 4 = 8 = 23 bisavôs/bisavós → 8 + 8 = 16 = 24 Observamos assim que a cada passo o número de pessoas dobra. Se continuássemos calculando o número de pessoas na quinta geração (trisavôs / trisavós), teríamos: 16 + 16 = 32 = 25 Notamos assim que para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes em função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de função exponencial. Esse pequeno exemplo expressa o número de pais, avôs e avós, bisavôs e bisavós, etc... de Gustavo e Karina. No estudo de muitos casos que envolva as gerações de populações animais, por exemplo, os biólogos fazem uso da função exponencial para estudar o comportamento de tais populações, por exemplo o crescimento de uma cultura de peixes numa lagoa, a evolução de uma população de bactérias em certo organismo, o estudo do Caos de uma população animal é um excelente exemplo de estudo utilizando a função exponencial. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL: Uma função exponencial qualquer função f de R em R dada pela lei da forma f(x) = ax, onde a é um número real e, a > 0 e a ≠ 1. A é chamado de base da função. GRÁFICO: Os gráficos da função exponencial podem ser crescentes ou decrescentes, dependendo do valor de a ou do sinal do expoente. Vejamos alguns casos:
  • 2. a>1 a < 1, ou expoente negativo PROPRIEDADES: Vamos analisar algumas propriedades do gráfico da função exponencial f(x) = ax 1) se x = 0 → f(x) = 1, pois a0 = 1, todo número elevado a zero resulta em 1. Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial do tipo f(x) = ax corta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada igual a 1, par (01). 2) Se a > 1, então a função f(x) = ax é crescente. 3) Se 0 < a < 1, então a função f(x) = ax é decrescente. São decrescentes por exemplo as funções exponenciais: x x x 1 2  3 f (x ) =   , f (x ) =   , f (x ) =   4 3 5 4) Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o gráfico da função f(x) = ax está sempre acima do eixo das abscissas. Se a > 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores. Se 0 < a < 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume calores positivos cada vez maiores. 5) Se tivermos no expoente o sinal de menos, f(x) = a-x, o gráfico da função será decrescente também. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: Equações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais: x 1 2 = 16 ,   = 81 , 4 x − 2 x = 12 x 8 Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade:
  • 3. a x1 = a x2 ⇒ x1 = x 2 Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente resolvida. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS: Inequações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais: x 1 2 > 16 ,   < 27 , 4 x − 2 x ≤ 12 x 3 Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade: a x1 < a x2 ⇒ x1 < x 2 , (se a > 1) a x1 < a x2 ⇒ x1 > x 2 , (se 0 < a < 1) Experiência de Matemática Material utilizado: • Sensor de tensão KDS-1009 da VOLTCOM, • Capacitor eletrolítico de 470 µF e 50 v, • Resistor de 10 K (10000 ohms), • Chave liga-desliga, • Matriz de contatos Prot-on-Board • Fonte de tensão de 50 v. Procedimento experimental: Para o experimento hora proposto devemos seguir os seguintes passos. 1) Conecte o a interface com o PC pela porta USB. 2) Conecte o sensor de movimento à interface. 3) Ligue o PC e a interface. 4) Ligue o capacitor na matriz de contatos. 5) Ligue o resistor em série com o capacitor na matriz de contatos. 6) Ligue a chave liga-desliga em série com o capacitor e com o resistor deixando-a na posição de modo que o circuito fique aberto. 7) Ligue a fonte de tensão nos terminais do circuito montado. 8) Ligue o sensor de tensão em paralelo com o capacitor.
  • 4. 9) Dispare o botão de iniciar o experimento. 10) Ligue a chave liga-desliga de modo que o circuito se feche, ou seja, de modo que a fonte faça fluir corrente pelo circuito.Nesse instante pode-se notar o processo de carga do capacitor pelo aumento da tensão no mesmo. Esse processo pode ser visualizado no gráfico do Excel. 11) Quando a tensão atingir seu valor máximo, desligue a fonte. Nesse momento pode-se notar o processo de descarga do capacitor mostrado no gráfico do Excel. Resultados: O experimento teve como resultado o gráfico da figura seguinte Conclusões/Comentários: Pode-se notar que, como foi utilizado o sensor de tensão, o processo de carga não obedece a uma exponencial, mas sim se parece com uma função logarítmica, se fosse utilizado o sensor de corrente, tal processo obedeceria a uma função exponencial decrescente, como a função matemática anteriormente citada mostra. Quando a tensão atinge um valor próximo ao da fonte, 9 volts, perto de 7 volts, a inclinação do gráfico começa a se atenuar, pois o capacitor, nessas condições, já está quase completamente carregado. Tal tensão no capacitor não atinge o valor da fonte, 9 volts, pois no circuito há um resistor de 10 K que provoca uma queda de tensão em seus terminais.A parte descendente do gráfico corresponde ao processo de descarga do capacitor, quando a tensão começa a cair até atingir seu valor mínimo. Esta se parece muito com uma exponencial decrescente, como se fosse utilizado o sensor de corrente.
  • 5. Exercícios Resolvidos 1) Construa o gráfico da seguinte função exponencial: f (x ) = 2 x x 1 2) Construa o gráfico da seguinte função exponencial: f (x ) =   2 3) Resolver as seguintes equações exponenciais: a-) 2 x = 16 x 1 b-)   = 81 3 c-) ( 2) x = 64 4) Resolver as seguintes equações exponenciais: a-) (3 ) x x +1 = 729 b-) 2 2 x +1 ∗ 4 3 x +1 = 8 x −1 5) Resolva a equação exponencial 4 x − 2 x = 12 6) Resolver a seguinte equação exponencial: 9 x+1 − 4 ∗ 3 x − 69 = 0 7) Para exemplificar a resolução de uma inequação exponencial vamos resolver as seguintes inequações: a-) 2 x > 64 x 1 b-)   ≤ 27 3 c-) ( 2) x ≥4 2 d-) (0,56)2 x +3 > 1 8) Resolver as seguintes inequações exponenciais:
  • 6. a-) (2 )x x +1 ≤ 64 3 x +1 x −1  1  1+ 2 x − x 2  1  b-)  x  ∗9 ≥  3   27  9) Resolver a equação exponencial 5 2 x +1 − 5 x +3 > 5 x − 5 10) Resolver a equação exponencial 7 x − 6 ≥ 71− x Exercícios Propostos: 1) Construa os gráficos das seguintes funções exponenciais: x 1 a-) f ( x ) =   3 b-) f (x ) = 2 − x x +1 c-) f (x ) = 3 2 d-) f ( x ) = 21− x 2) Para que valores de m a função f ( x ) = 2 ∗ m é crescente ? x f ( x ) = 4 ∗ (m − 2) é crescente. Determine m. x 3) A função f ( x ) = 0,1 ∗ (m − 1) x 4) Determine m para que a função seja crescente. 5) Resolva as seguintes equações exponenciais: x 1 a-)   = 125 5 b-) ( 3) 4 x =3 9
  • 7. c-) 8 2 x +1 = 3 4 x −1 1 7 x −1 d-) = 49 7 6) Resolva as seguintes equações exponenciais: a-) 2 x +1 − 2 3− x = 6 8 b-) 2 x +3 + 63 = 2x 7) Resolva as seguintes inequações exponenciais: a-) ( 3 ) x 1 3 ≤ 9 b-) ( 2 ) x 1 > 3 16 c-) 4x ≥ 8 9.8) Resolva as seguintes inequações exponenciais: a-) (27 )x − 2 x +1 ( ) ≥ 9 x +1 x −3 3 x−2 2 x +1 x −3 2 4  8  b-)   ∗  ≤  3 9  27  − 2 x +1 5625 = 2 x 9) Qual a soma das raízes da equação: 5 9 (0,8)4 x − x > (0,8)3( x+1) 2 10) Quais os valores de x que tornam válida a desigualdade: