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17/12/16
β αO
A
B
ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios
divergentes que têm um extremo comum que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:
Ângulos
Professor de Matemática
17/12/16
Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso
Graduado em Matemática pela UFBA
Graduado em Ciências naturais pela UFBA
Pós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superior
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.youtube.com/accbarroso
www.facebook.com/acmatematico
www.twitter.com/profbarroso
Salvador-Ba
17/12/16
α
0º < α < 180º0º < α < 180º
0º < β < 90º0º < β < 90ºβ
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA
a) ÂNGULO CONVEXO
a.1) ÂNGULO AGUDO
17/12/16
θ = 90ºθ = 90º
α
90º < α < 180º90º < α < 180º
θ
a.2) ÂNGULO RETO
a.3) ÂNGULO OBTUSO
17/12/16
α + β = 90ºα + β = 90º
θ + δ = 180ºθ + δ = 180º
δθ
α
β
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
17/12/16
α
β δ ε
φ
α α
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulosUn lado comum
17/12/16
01. Ângulos alternos internos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. Ângulos alternos externos:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m
∠8
03. Ângulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
04. Ângulos conjugados externos:
m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
05. Ângulos correspondentes:
m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
E UMA RETA SECANTE
1 2
34
5 6
78
17/12/16
α + β + θ = x + yα + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre
duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS
17/12/16
α
β
θ
δ
ε
α + β + θ + δ + ε = 180°α + β + θ + δ + ε = 180°
02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
17/12/16
α + β = 180°α + β = 180°
α β
03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
17/12/16
 Professor Antonio Carlos carneiro
Barroso
  Colégio estadual Dinah Gonçalves
 Graduado em Ciências naturais pela
UFBA
 Pós graduado em Metodologia e Didática
de ensino Superior
 Lecionando Matemática e Biologia
 http://ensinodematemtica.blogspot.com
 Salvador-Ba
17/12/16
17/12/16
O complemento da diferença entre o suplemento e o
complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro
do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do
ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:
17/12/16
A soma das medidas dos ângulos é 80° e o
complemento do primeiro ângulo é o dobro da
medida do segundo ângulo. Calcule a diferença
das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos: α e β
α + β = 80°Dado: β = 80° - α ( 1 )
( 90° - α ) = 2β ( 2 )
Substituindo (1) em (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo
17/12/16
A soma de seus complementos dos ângulos é 130°
e a diferença de seus suplementos dos mesmos
ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos: α e β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+
β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-
β - α = 10° ( 2 )
Resolvendo: (1) e (2)
β + α = 50°
β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:
17/12/16
Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC
(AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo
AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20°
respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB.
A B
O
C
M
α
α
60°
20°X
Da figura:
α = 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
α = 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
17/12/16
A diferença das medidas dos ângulos adjacentes
AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo
formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado
OB.
A
O
B
C
θ
θ
X
(θ- X)
( θ + X) (θ - X)= 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
M
Construção do gráfico segundo o
enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Logo se substitui pelo que
se observa no gráfico
17/12/16
Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD
tal que a m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule a
medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos
ângulos AOB e COD.
A
C
B
D
M
N
αα
β
β
θ
X
Da figura:
2α + θ = 90°
θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°
α + θ + β = 90°
X = α + θ + βX = α + θ + β
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado
17/12/16
Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
Problema Nº 07
17/12/16
2α + 2θ = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero
côncavo
α + θ = 55° (1)
80° = α + θ + X (2)
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
RESOLUÇÃO
17/12/16
Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
5α
4α 65°
X
m
n
Problema Nº 08
17/12/16
5α
4α 65°
X
m
n
Pela propiedad:
4α + 5α = 90°
α = 10°α = 10°
Ângulo exterior do triângulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RESOLUÇÃO
17/12/16
Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”
α
2α
x
m
n
θ
2θ
Problema Nº 09
17/12/16
3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°α + θ = 60°
Ângulos entre línhas poligonais
X = α + θ X = 60°X = 60°
RESOLUÇÃO
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ângulos conjugados
internos
17/12/16
17/12/16
PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m ∠ x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
α
α
β
β
4x
3x
L1
L2
17/12/16
m
n
30°
X
PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m ∠ x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
17/12/16
PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m ∠ α
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3α
3α
3α
α
m
n
17/12/16
PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
α
α
2x
m
n
17/12/16
PROBLEMA 05- Calcule m ∠ x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3α
6α
x
17/12/16
α
4θ
4α
θ
X
m
n
PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m ∠ x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
17/12/16
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07- Se. Calcule m ∠ x
88°
24°
x
α
α
θ
θ
m
n
17/12/16
PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m ∠ x
20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
17/12/16
PROBLEMA 09- Se m//n e θ - α = 80°. Calcule m∠x
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
θ
θ
x
α
α
m
n
17/12/16
PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m ∠ x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n
17/12/16
PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m ∠ α
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2α
α
2α
m
n
17/12/16
PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m ∠ x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
α
α
θ
θ
x
80°
m
n
17/12/16
PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m ∠ x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
α
α
β
β
m
n
x
17/12/16
REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º

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  • 1. 17/12/16 β αO A B ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentes que têm um extremo comum que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:
  • 2. Ângulos Professor de Matemática 17/12/16 Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado em Matemática pela UFBA Graduado em Ciências naturais pela UFBA Pós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superior www.ensinodematemtica.blogspot.com.br www.youtube.com/accbarroso www.facebook.com/acmatematico www.twitter.com/profbarroso Salvador-Ba
  • 3. 17/12/16 α 0º < α < 180º0º < α < 180º 0º < β < 90º0º < β < 90ºβ CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA a) ÂNGULO CONVEXO a.1) ÂNGULO AGUDO
  • 4. 17/12/16 θ = 90ºθ = 90º α 90º < α < 180º90º < α < 180º θ a.2) ÂNGULO RETO a.3) ÂNGULO OBTUSO
  • 5. 17/12/16 α + β = 90ºα + β = 90º θ + δ = 180ºθ + δ = 180º δθ α β CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
  • 6. 17/12/16 α β δ ε φ α α CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE são congruentes Pode formar mais ângulosUn lado comum
  • 7. 17/12/16 01. Ângulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6 02. Ângulos alternos externos: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠8 03. Ângulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180° 04. Ângulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180° 05. Ângulos correspondentes: m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS E UMA RETA SECANTE 1 2 34 5 6 78
  • 8. 17/12/16 α + β + θ = x + yα + β + θ = x + y α β θ x y 01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre duas retas paralelas. PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS
  • 9. 17/12/16 α β θ δ ε α + β + θ + δ + ε = 180°α + β + θ + δ + ε = 180° 02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
  • 10. 17/12/16 α + β = 180°α + β = 180° α β 03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
  • 12.  Professor Antonio Carlos carneiro Barroso   Colégio estadual Dinah Gonçalves  Graduado em Ciências naturais pela UFBA  Pós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superior  Lecionando Matemática e Biologia  http://ensinodematemtica.blogspot.com  Salvador-Ba 17/12/16
  • 13. 17/12/16 O complemento da diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”. 90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X 2X = 180° X = 90°X = 90° RESOLUÇÃO Problema Nº 01 A estrutura segundo o enunciado: Desenvolvendo se obtem: Logo se reduz a:
  • 14. 17/12/16 A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos. Sejam os ângulos: α e β α + β = 80°Dado: β = 80° - α ( 1 ) ( 90° - α ) = 2β ( 2 ) Substituindo (1) em (2): ( 90° - α ) = 2 ( 80° - α ) 90° - α = 160° -2α β = 10° α = 70° α - β = 70°-10° = 60° Problema Nº 02 RESOLUÇÃO Dado: Diferença das medidas Resolvendo
  • 15. 17/12/16 A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos. Sejam os ângulos: α e β ( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+ β + α = 50° ( 1 ) ( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°- β - α = 10° ( 2 ) Resolvendo: (1) e (2) β + α = 50° β - α = 10° (+) 2β = 60° β = 30° α = 20° Problema Nº 03 RESOLUÇÃO Do enunciado: Do enunciado:
  • 16. 17/12/16 Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB. A B O C M α α 60° 20°X Da figura: α = 60° - 20° Logo: X = 40° - 20° α = 40° X = 20°X = 20° Problema Nº 04 RESOLUÇÃO
  • 17. 17/12/16 A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado OB. A O B C θ θ X (θ- X) ( θ + X) (θ - X)= 30º 2X=30º X = 15°X = 15° Problema Nº 05 RESOLUÇÃO M Construção do gráfico segundo o enunciado Do enunciado: AOB - OBC = 30° - Logo se substitui pelo que se observa no gráfico
  • 18. 17/12/16 Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD. A C B D M N αα β β θ X Da figura: 2α + θ = 90° θ + 2β = 90° ( + ) 2α + 2θ + 2β = 180° α + θ + β = 90° X = α + θ + βX = α + θ + β X = 90°X = 90° Problema Nº 06 RESOLUÇÃO Construção do gráfico segundo o enunciado
  • 19. 17/12/16 Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X” 80° 30° α α θ θ X m n Problema Nº 07
  • 20. 17/12/16 2α + 2θ = 80° + 30° Pela propriedade Propriedade do quadrilátero côncavo α + θ = 55° (1) 80° = α + θ + X (2) Substituindo (1) em (2) 80° = 55° + X X = 25°X = 25° 80° 30° α α θ θ X m n RESOLUÇÃO
  • 21. 17/12/16 Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X” 5α 4α 65° X m n Problema Nº 08
  • 22. 17/12/16 5α 4α 65° X m n Pela propiedad: 4α + 5α = 90° α = 10°α = 10° Ângulo exterior do triângulo 40° 65° X = 40° + 65° X = 105°X = 105° RESOLUÇÃO
  • 23. 17/12/16 Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X” α 2α x m n θ 2θ Problema Nº 09
  • 24. 17/12/16 3α + 3θ = 180° α + θ = 60°α + θ = 60° Ângulos entre línhas poligonais X = α + θ X = 60°X = 60° RESOLUÇÃO α 2α x m n θ 2θ x Ângulos conjugados internos
  • 26. 17/12/16 PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m ∠ x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° x α α β β 4x 3x L1 L2
  • 27. 17/12/16 m n 30° X PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m ∠ x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
  • 28. 17/12/16 PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m ∠ α A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45° 3α 3α 3α α m n
  • 29. 17/12/16 PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 40° 95° α α 2x m n
  • 30. 17/12/16 PROBLEMA 05- Calcule m ∠ x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120° 3α 6α x
  • 31. 17/12/16 α 4θ 4α θ X m n PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m ∠ x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
  • 32. 17/12/16 A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45° PROBLEMA 07- Se. Calcule m ∠ x 88° 24° x α α θ θ m n
  • 33. 17/12/16 PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m ∠ x 20° 30° X m n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
  • 34. 17/12/16 PROBLEMA 09- Se m//n e θ - α = 80°. Calcule m∠x A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° θ θ x α α m n
  • 35. 17/12/16 PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m ∠ x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° x x x m n
  • 36. 17/12/16 PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m ∠ α A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60° 180°-2α α 2α m n
  • 37. 17/12/16 PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m ∠ x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50° α α θ θ x 80° m n
  • 38. 17/12/16 PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m ∠ x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 80° α α β β m n x
  • 39. 17/12/16 REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 1. 20º 8. 50º 2. 30º 9. 80º 3. 45º 10. 30º 4. 10º 11. 60º 5. 120º 12. 40º 6. 36º 13. 50º 7. 32º