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Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1ª Série
Função Afim e Linear
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Nasceu em Leipzig, onde aos quinze
anos entrou na universidade e aos
dezessete obteve o grau de bacharel.
Leibniz, na verdade, foi um dos maiores
formadores de notação, inferior apenas a
Euler nesse ponto. Não é responsável pela
moderna notação para função, mas é a ele
que se deve a palavra “função”,
praticamente no mesmo sentido em que é
usada hoje (1).
A HISTÓRIA CONTA
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)
Imagem: Christoph Bernhard Francke / Portrait of
Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-
Museum, Braunschweig / Public Domain.
Para que estudar as funções?
Em nosso dia-a-dia, estamos sempre
comparando e relacionando números,
grandezas e formas.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Imagens:
(a)
Stefano
Bolognini
e
(b)
Derek
Jensen
(Tysto)
/
Public
Domain.
Exemplos
Número de questões que acertei num teste,
com a nota que vou tirar;
Velocidade média do automóvel, com o
tempo de duração de uma viagem;
Número de pães que vou comprar, com o
preço a pagar (2).
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Na padaria da Ana tem uma tabela para facilitar o trabalho do
caixa:
Nº de
pães
Preço a
pagar (R$)
1 0,20
2 0,40
3 0,60
4 0,80
5 1,00
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Para fazer esta tabela, a dona Ana faz o seguinte
cálculo:
Preço a pagar = 0,20. nº de
pães.
Dizemos que o preço a pagar
(y) é função do do número de
pães (x), pois para cada
quantidade de pães existe um
único preço y a pagar.
Y = 0,20.x
Imagem: Julie Kertesz from Paris
neighbourhood, France / Creative
Commons Attribution 2.0 Generic.
Exemplo
Que quantidade de tela é
necessário para cercar um
terreno quadrado de 5
metros de lado?
Considere x a medida do lado
do terreno. A quantidade de
tela necessária para cercá-lo é
igual ao perímetro da figura.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Imagem: Derek Harper / Creative Commons Attribution-Share
Alike 2.0 Generic.
Então:
Y = x + x + x +x
Y = 4x
Como x mede 5 metros: Y = 4.5 Y=20.
Concluímos que serão necessários 20 metros de
tela para cercar o terreno.
x
x
x
x
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Definição de função afim
Uma função f: R R chama-se função
afim, quando existem dois números reais
a e b que f(x) = ax + b. Para todo x ϵ R.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Gráfico da Função Afim
Podemos representar os pares ordenados no
plano cartesiano e fazer o gráfico da função.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
y-> eixo das ordenadas
B P (a,b) par ordenado
x-> eixo das abscissas
a
Obs.: (a, b) = (c, d) a = c
b = d
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Por que Cartesiano?
A ciência Cartesiana gozou de
grande popularidade por quase um
século, mas depois necessariamente
cedeu lugar ao raciocínio matemática de
Newton.
Ironicamente, foi em grande parte
a matemática de Descartes que mais
tarde possibilitou a denotada ciência
cartesiana.
A forma de localizar pontos no
plano foi imaginada por René Descartes,
no século XVII.
Imagem: Frans Hals / Portrait of René
Descartes, c. 1649-1700 / Louvre
Museum, Richelieu, 2nd floord, room 27
Paris / Public Domain.
Y = x + 1
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
X Y
-1 0
0 1
1 2
C
2
1 B
0
-1
2 -1 0 1
A
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Y = -2x
X Y
-1 2
0 0
4
3
2
1
0
-1
-2
-2 -1 0 1 2 3
(-1,2)
(0, 0)
Exemplo
Em uma certa cidade,
os taxistas cobram R$2,50, a
bandeirada, mais R$1,50
por quilômetro rodado.
Como é possível para um
passageiro determinar o
valor da corrida?
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Imagem: The Wordsmith / Creative Commons Attribution-
Share Alike 3.0 Unported.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Resolução:
Podemos verificar que o valor
cobrado é sempre R$ 2,50, somado
com R$1,50 e multiplicado pela
quantidade de quilômetros rodados.
Considerando x a quantidade de
quilometro e y o valor cobrado,
temos:
Y = 1,50x + 2,50
X Y
0 2,5
1 4
2 5,5
3 7
Gráfico da função
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
(0, 2.5)
(1, 4)
Explicando...
Toda função linear é afim, mas nem toda
função afim é linear.
O gráfico desta função não
passa pelo ponto (0;0), o que
sempre acontece nos gráficos
das funções lineares.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
2
1
0
-1
B
C
2 -1 0 1
Um veículo é abastecido por meio de
um dispositivo provido de dois relógios.
Um deles marca o tempo de
abastecimento em minutos e o outro, o
volume de combustível fornecido ao
tanque do veículo em litros.
Construa o gráfico cartesiano
correspondente a situação (volume em
função do tempo).
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Tempo
em
minuto
s (t)
Volume
(litros)
0 3
5 5,5
10 8
15 10,5
20 13
25 15,5
Agora é a sua vez de examinar o exemplo abaixo e
descubra: linear ou apenas afim?
Características importantes da função afim
Conjunto domínio: o domínio da função afim é o conjunto dos
números reais: D(f)=R;
Conjunto imagem: o conjunto imagem da função afim é o
conjunto dos números reais: Im(f) = R;
Coeficiente angular: a é denominado coeficiente angular;
Coeficiente linear: b é denominado coeficiente linear;
A função afim é crescente em R quando a > 0 e decrescente
em R quando a < 0.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Exemplo 1:
Para a função f(x) = 2x + 4
Coeficiente angular = 2
Coeficiente linear = 4
Como a > 0, a função é crescente em R.
Exemplo 2:
Para a função f(x) = -3x + 1
Coeficiente angular = -3
Coeficiente linear = 1
Como a < 0, a função é decrescente em R.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Raiz ou zero da função afim
O valor de x para o qual f(x)= ax + b se anula, ou seja, f(x)= 0
denomina o zero da função.
Por exemplo, o zero da função afim definida por f(x) = 2x-10
é 5, pois:
2x-10 = 0
2x = 10
X = 10/2
X = 5
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Estudo do sinal pela análise do gráfico
Vejamos agora como fazer o estudo do sinal da função
analisando o gráfico.
a > 0 – função crescente
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
x
y
X = 2
Para x > 2, temos y > 0
Para x = 2, temos y = 0
Para x < 2, temos y < 0
Dispositivo prático
+
- 2
a < 0 – função decrescente
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
x
y
X = 2
Para x > 2, temos y < 0
Para x = 2, temos y = 0
Para x < 2, temos y > 0
Dispositivo prático
-
+
2
Função Constante
Existe ainda um outro tipo de função,
cujo gráfico é uma reta e que apresenta
determinada característica pela qual é
denominada função constante.
Observe o exemplo a seguir:
Alguns trens costumam viajar com a velocidades
praticamente constante. Se um trem viajar a uma
velocidade constante de 50 km/h, o valor da
velocidade (v) será o mesmo para qualquer tempo
(t) de viagem.
Assim podemos escrever:
V=50, para qualquer valor de t.
Esse tipo de função é chamado de função constante
e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x:
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
60
40
20
0
20
-60 -40 -20 0 20 40 60
Imagem: Shinsirosimin / Creative Commons Attribution-
Share Alike 3.0 Unported.
Vamos encerrar analisando mais algumas situações
que envolvem a função afim.
Resolva cada uma delas e, se sobrarem dúvidas,
volte ao conteúdo ou pergunte ao professor.
Espero que você tenha percebido que as funções são
importantes e estão presentes em varias situações do
nosso dia-a-dia. Elas nos ajudam não só a entender o
que acontece ao nosso redor, como também a
interpretar fatos e fazer previsões sobre o
comportamento de grandezas que se relacionam por
meio de funções.
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Marta é vendedora de uma
loja de bolsas. Ela recebe R$
200,00 fixo mais uma comissão
de R$ 3,00 por bolsa vendida.
Mariana trabalha em outra loja
de bolsa e recebe R$ 5,00 de
comissão, por bolsa vendida,
sem salário fixo. Quantas
bolsas, no mínimo, Mariana
precisa vender para ganhar mais
do que Marta?
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Imagem: Dogears at en.wikipedia / GNU
Free Documentation License.
O gráfico abaixo ilustra a variação da temperatura (T), em graus
Celsius, de uma chapa de metal em função do tempo (t), em
minutos. Responda:
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
a) Quando t=0 minuto, qual a
temperatura da barra?
b) Quando t=7 minutos, qual a
temperatura da barra?
c) Ao decorrer do tempo, a barra foi
aquecida ou resfriada?
d) A temperatura da chapa esteve por
mais tempo positiva ou negativa?
e) Essas grandezas variam
linearmente?
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7
(0, 20)
(7, -8)
Atividade Prática
• Material:
Copo de plástico descartável, alfinete,relógio e água.
• Procedimento (1):
– Graduar um copo descartável em mL (mililitros);
– Encher o copo com a marca desejada;
– Fazer um furinho no fundo do copo com o alfinete, para que a água goteje pelo furo;
– Registrar o volume inicial do copo ao iniciar o gotejamento;
– Numa tabela, registrar o volume de água no copo depois de 4 minutos, 8 minutos, 12
minutos e 16 minutos de gotejamento;
– Avaliar a precisão das medidas;
– A partir da tabela, construir o gráfico cartesiano do volume de água em função do tempo
do gotejamento;
– Observar como variam essas grandezas e se é possível escrever a relação entre elas por
meio de uma sentença matemática;
– Elaborar relatório com as conclusões de cada aluno ou grupo de alunos.
Referências
História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução
Elza F. Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996.
Matemática : livro do professor / Oscar Guelli. – 1. ed. – São Paulo : Ática,
2004.
Tudo é matemática / Luiz Roberto Dante. – São Paulo : Ática 2002.
Matemática : livro do professor / Luiz Roberto Dante. – 1. ed. – São Paulo :
Ática, 2004.
Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. – 2.
ed. renov. – São Paulo : FTD, 2005. – (Coleção matemática aula por aula).
Matemática / Maria José Couto de Vasconcellos, Maria Terezinha
Scordamaglio, Suzana Laino Cândido. – 1. ed. – São Paulo : Editora do Brasil,
2004. – (Projeto escola e cidadania para todos).
MATEMÁTICA, 1º Ano
Função Afim e linear
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do
Acesso
2 Christoph Bernhard Francke / Portrait of
Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-
Museum, Braunschweig / Public Domain.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfri
ed_Wilhelm_von_Leibniz.jpg
02/04/2012
3a (a) Stefano Bolognini. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Domus
_Ortaglia_brescia_by_Stefano_Bolognini9.JPG
02/04/2012
3b (b) Derek Jensen (Tysto) / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gas-
pump-Indiana-USA.jpg
02/04/2012
5 Julie Kertesz from Paris neighbourhood, France
/ Creative Commons Attribution 2.0 Generic.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mornin
g_baguettes.jpg
02/04/2012
6 Imagem: Derek Harper / Creative
Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic.
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Home_Farm_Offices_-_geograph.org.uk_-
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02/04/2012
10 Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649-
1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord,
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Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg
02/04/2012
13 The Wordsmith / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
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xi_in_motion.jpg
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Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
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  • 1. Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1ª Série Função Afim e Linear
  • 2. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Nasceu em Leipzig, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel. Leibniz, na verdade, foi um dos maiores formadores de notação, inferior apenas a Euler nesse ponto. Não é responsável pela moderna notação para função, mas é a ele que se deve a palavra “função”, praticamente no mesmo sentido em que é usada hoje (1). A HISTÓRIA CONTA Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Imagem: Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich- Museum, Braunschweig / Public Domain.
  • 3. Para que estudar as funções? Em nosso dia-a-dia, estamos sempre comparando e relacionando números, grandezas e formas. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Imagens: (a) Stefano Bolognini e (b) Derek Jensen (Tysto) / Public Domain.
  • 4. Exemplos Número de questões que acertei num teste, com a nota que vou tirar; Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de uma viagem; Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar (2). MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 5. Na padaria da Ana tem uma tabela para facilitar o trabalho do caixa: Nº de pães Preço a pagar (R$) 1 0,20 2 0,40 3 0,60 4 0,80 5 1,00 MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Para fazer esta tabela, a dona Ana faz o seguinte cálculo: Preço a pagar = 0,20. nº de pães. Dizemos que o preço a pagar (y) é função do do número de pães (x), pois para cada quantidade de pães existe um único preço y a pagar. Y = 0,20.x Imagem: Julie Kertesz from Paris neighbourhood, France / Creative Commons Attribution 2.0 Generic.
  • 6. Exemplo Que quantidade de tela é necessário para cercar um terreno quadrado de 5 metros de lado? Considere x a medida do lado do terreno. A quantidade de tela necessária para cercá-lo é igual ao perímetro da figura. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Imagem: Derek Harper / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic.
  • 7. Então: Y = x + x + x +x Y = 4x Como x mede 5 metros: Y = 4.5 Y=20. Concluímos que serão necessários 20 metros de tela para cercar o terreno. x x x x MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 8. Definição de função afim Uma função f: R R chama-se função afim, quando existem dois números reais a e b que f(x) = ax + b. Para todo x ϵ R. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 9. Gráfico da Função Afim Podemos representar os pares ordenados no plano cartesiano e fazer o gráfico da função. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear y-> eixo das ordenadas B P (a,b) par ordenado x-> eixo das abscissas a Obs.: (a, b) = (c, d) a = c b = d
  • 10. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Por que Cartesiano? A ciência Cartesiana gozou de grande popularidade por quase um século, mas depois necessariamente cedeu lugar ao raciocínio matemática de Newton. Ironicamente, foi em grande parte a matemática de Descartes que mais tarde possibilitou a denotada ciência cartesiana. A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por René Descartes, no século XVII. Imagem: Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649-1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord, room 27 Paris / Public Domain.
  • 11. Y = x + 1 MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear X Y -1 0 0 1 1 2 C 2 1 B 0 -1 2 -1 0 1 A
  • 12. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Y = -2x X Y -1 2 0 0 4 3 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 3 (-1,2) (0, 0)
  • 13. Exemplo Em uma certa cidade, os taxistas cobram R$2,50, a bandeirada, mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é possível para um passageiro determinar o valor da corrida? MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Imagem: The Wordsmith / Creative Commons Attribution- Share Alike 3.0 Unported.
  • 14. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Resolução: Podemos verificar que o valor cobrado é sempre R$ 2,50, somado com R$1,50 e multiplicado pela quantidade de quilômetros rodados. Considerando x a quantidade de quilometro e y o valor cobrado, temos: Y = 1,50x + 2,50 X Y 0 2,5 1 4 2 5,5 3 7
  • 15. Gráfico da função MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 (0, 2.5) (1, 4)
  • 16. Explicando... Toda função linear é afim, mas nem toda função afim é linear. O gráfico desta função não passa pelo ponto (0;0), o que sempre acontece nos gráficos das funções lineares. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear 2 1 0 -1 B C 2 -1 0 1
  • 17. Um veículo é abastecido por meio de um dispositivo provido de dois relógios. Um deles marca o tempo de abastecimento em minutos e o outro, o volume de combustível fornecido ao tanque do veículo em litros. Construa o gráfico cartesiano correspondente a situação (volume em função do tempo). MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Tempo em minuto s (t) Volume (litros) 0 3 5 5,5 10 8 15 10,5 20 13 25 15,5 Agora é a sua vez de examinar o exemplo abaixo e descubra: linear ou apenas afim?
  • 18. Características importantes da função afim Conjunto domínio: o domínio da função afim é o conjunto dos números reais: D(f)=R; Conjunto imagem: o conjunto imagem da função afim é o conjunto dos números reais: Im(f) = R; Coeficiente angular: a é denominado coeficiente angular; Coeficiente linear: b é denominado coeficiente linear; A função afim é crescente em R quando a > 0 e decrescente em R quando a < 0. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 19. Exemplo 1: Para a função f(x) = 2x + 4 Coeficiente angular = 2 Coeficiente linear = 4 Como a > 0, a função é crescente em R. Exemplo 2: Para a função f(x) = -3x + 1 Coeficiente angular = -3 Coeficiente linear = 1 Como a < 0, a função é decrescente em R. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 20. Raiz ou zero da função afim O valor de x para o qual f(x)= ax + b se anula, ou seja, f(x)= 0 denomina o zero da função. Por exemplo, o zero da função afim definida por f(x) = 2x-10 é 5, pois: 2x-10 = 0 2x = 10 X = 10/2 X = 5 MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 21. Estudo do sinal pela análise do gráfico Vejamos agora como fazer o estudo do sinal da função analisando o gráfico. a > 0 – função crescente MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear x y X = 2 Para x > 2, temos y > 0 Para x = 2, temos y = 0 Para x < 2, temos y < 0 Dispositivo prático + - 2
  • 22. a < 0 – função decrescente MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear x y X = 2 Para x > 2, temos y < 0 Para x = 2, temos y = 0 Para x < 2, temos y > 0 Dispositivo prático - + 2
  • 23. Função Constante Existe ainda um outro tipo de função, cujo gráfico é uma reta e que apresenta determinada característica pela qual é denominada função constante. Observe o exemplo a seguir: Alguns trens costumam viajar com a velocidades praticamente constante. Se um trem viajar a uma velocidade constante de 50 km/h, o valor da velocidade (v) será o mesmo para qualquer tempo (t) de viagem. Assim podemos escrever: V=50, para qualquer valor de t. Esse tipo de função é chamado de função constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x: MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear 60 40 20 0 20 -60 -40 -20 0 20 40 60 Imagem: Shinsirosimin / Creative Commons Attribution- Share Alike 3.0 Unported.
  • 24. Vamos encerrar analisando mais algumas situações que envolvem a função afim. Resolva cada uma delas e, se sobrarem dúvidas, volte ao conteúdo ou pergunte ao professor. Espero que você tenha percebido que as funções são importantes e estão presentes em varias situações do nosso dia-a-dia. Elas nos ajudam não só a entender o que acontece ao nosso redor, como também a interpretar fatos e fazer previsões sobre o comportamento de grandezas que se relacionam por meio de funções. MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 25. Marta é vendedora de uma loja de bolsas. Ela recebe R$ 200,00 fixo mais uma comissão de R$ 3,00 por bolsa vendida. Mariana trabalha em outra loja de bolsa e recebe R$ 5,00 de comissão, por bolsa vendida, sem salário fixo. Quantas bolsas, no mínimo, Mariana precisa vender para ganhar mais do que Marta? MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear Imagem: Dogears at en.wikipedia / GNU Free Documentation License.
  • 26. O gráfico abaixo ilustra a variação da temperatura (T), em graus Celsius, de uma chapa de metal em função do tempo (t), em minutos. Responda: MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear a) Quando t=0 minuto, qual a temperatura da barra? b) Quando t=7 minutos, qual a temperatura da barra? c) Ao decorrer do tempo, a barra foi aquecida ou resfriada? d) A temperatura da chapa esteve por mais tempo positiva ou negativa? e) Essas grandezas variam linearmente? 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 (0, 20) (7, -8)
  • 27. Atividade Prática • Material: Copo de plástico descartável, alfinete,relógio e água. • Procedimento (1): – Graduar um copo descartável em mL (mililitros); – Encher o copo com a marca desejada; – Fazer um furinho no fundo do copo com o alfinete, para que a água goteje pelo furo; – Registrar o volume inicial do copo ao iniciar o gotejamento; – Numa tabela, registrar o volume de água no copo depois de 4 minutos, 8 minutos, 12 minutos e 16 minutos de gotejamento; – Avaliar a precisão das medidas; – A partir da tabela, construir o gráfico cartesiano do volume de água em função do tempo do gotejamento; – Observar como variam essas grandezas e se é possível escrever a relação entre elas por meio de uma sentença matemática; – Elaborar relatório com as conclusões de cada aluno ou grupo de alunos.
  • 28. Referências História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996. Matemática : livro do professor / Oscar Guelli. – 1. ed. – São Paulo : Ática, 2004. Tudo é matemática / Luiz Roberto Dante. – São Paulo : Ática 2002. Matemática : livro do professor / Luiz Roberto Dante. – 1. ed. – São Paulo : Ática, 2004. Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. – 2. ed. renov. – São Paulo : FTD, 2005. – (Coleção matemática aula por aula). Matemática / Maria José Couto de Vasconcellos, Maria Terezinha Scordamaglio, Suzana Laino Cândido. – 1. ed. – São Paulo : Editora do Brasil, 2004. – (Projeto escola e cidadania para todos). MATEMÁTICA, 1º Ano Função Afim e linear
  • 29. Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso 2 Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich- Museum, Braunschweig / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfri ed_Wilhelm_von_Leibniz.jpg 02/04/2012 3a (a) Stefano Bolognini. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Domus _Ortaglia_brescia_by_Stefano_Bolognini9.JPG 02/04/2012 3b (b) Derek Jensen (Tysto) / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gas- pump-Indiana-USA.jpg 02/04/2012 5 Julie Kertesz from Paris neighbourhood, France / Creative Commons Attribution 2.0 Generic. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mornin g_baguettes.jpg 02/04/2012 6 Imagem: Derek Harper / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fence,_ Home_Farm_Offices_-_geograph.org.uk_- _1562267.jpg 02/04/2012 10 Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649- 1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord, room 27 Paris / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frans_ Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg 02/04/2012 13 The Wordsmith / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:NYC_Ta xi_in_motion.jpg 02/04/2012 23 Imagem: Shinsirosimin / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:313_W 2_IIdaLine.JPG 03/04/2012 25 Dogears at en.wikipedia / GNU Free Documentation License. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Longch amp_upper_sales_floor.jpg 03/04/2012 Tabela de Imagens