O documento aborda a resolução de uma avaliação de geometria analítica, incluindo a determinação de equações de retas e planos, verificação de concorrência e paralelismo, e cálculo de distâncias entre planos e retas. Também detalha a definição da parábola como lugar geométrico, seus principais elementos e sua equação geral. O texto utiliza exemplos matemáticos para ilustrar conceitos e garantir a compreensão das condições necessárias para as operações geométricas.

1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ) onde . Sejam os
pontos ( )e ( ). Determine a equação vetorial da reta t que contém P
é concorrente com r e equidista de Q e s.
Se s e t forem paralelas:
Então o vetor diretor de t é paralelo ao vetor diretor de s. Assim: ⃗ ⃗ ( ).
( ) ( )
i) Verificando a condição: ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|
( ) ( )
| ⃗|
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )|
( )
| ⃗| |( )| |( )|
|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|
( ) ( ) ( ) ( )
| ⃗|
|( ) ( )| |( )|
( )
|( )| |( )|
Condição verificada, pois ( ) ( ).
ii) Verificando a condição: t é concorrente com r
Igualando-se as coordenadas, obtém-se o seguinte sistema:
Encontramos e . Logo, existe ponto de intersecção e as retas t e r são
concorrentes.
As condições foram verificas, portanto, se s e t forem paralelas, a equação da reta t é
( ) ( )
Se s e t forem reversas:
I pertence à r então é da forma ( )
1

2. P e I pertencem à reta t, então ⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor da reta t.
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
Equação de t: ( ) ( )
Pela condição do problema ( ) ( )
i) Cálculo de ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗|
( )
| ⃗ ⃗|
|( ) ( ) ( )| |( ) ( )| | |
( )
|( ) ( )| |( )| √
ii) Cálculo de ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗|
( )
| ⃗|
|( ) ( )| |( )| √( )
( )
|( )| |( )| √ ( )
√
√
iii) Igualando as distâncias
| | √
√ √
Elevando ao quadrado ambos os lados, encontramos:
| |
Equação da reta t:
( ) ( )
2. Determine:
(a) m de modo que os planos e sejam
perpendiculares;
e são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais forem ortogonais.
Assim, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
( ) ( )
2

3. (b) a equação do plano que contém as retas e
onde .
Reescrevendo as equações das retas na forma paramétrica:
Sendo ( ) um ponto genérico do plano, a equação deste é dada por
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗] . ⃗ é o vetor diretor de r, ⃗ o vetor diretor de s e R um ponto pertencente a
r.
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗] | |
( ) ( ) ( )
3. Calcule:
(a) a distância entre os planos e ;
( ) ( ), ( )
| | √
( ) ( )
√ √ √
(b) a distância entre as retas e .
Reescrevendo as equações na forma paramétrica:
r e s são paralelas, então:
( ) ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| √( )
( ) ( )
| ⃗| |( )| |( )|
( ) ( ) √
3

4. 4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:
[ ( ) ] [ ( ) ]
Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no
segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira
devemos subtrair 64 no primeiro colchete e subtrair 9 no segundo.
[ ( ) ] [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
Multiplicando a equação por ⁄ :
( ) ( )
A equação acima representa uma hipérbole.
Centro: ( ).
Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( )
( ) ( )
Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( )
( ) ( )
Efetuando as translações (considerando o centro como (2,-1)), temos:
( )e ( )
( )e ( )
Excentricidade:
4

5. Figura 1- Gráfico da hipérbole
5. Defina parábola como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e
indique sua equação geral.
Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dos pontos
equidistantes de F e r chama-se parábola. F é o foco, r é a diretriz, e chamaremos o
número positivo p tal que d(F,r) = 2p de parâmetro da parábola. A reta que contém o
foco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo. Se H é o ponto de intersecção da
diretriz com o eixo, o ponto V, ponto médio de HF, é chamado de vértice. Uma corda
da parábola é qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a ela.
Amplitude focal de P é o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular
ao eixo. [1]
Equação geral:
1
CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 306
5