Trabalho de geometria analítica - SUPERIOR

Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental
Turma:IESAM1
Professor: José Felipe Neto
Disciplina: Álgebra linear e GeometriaAnalítica
Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8
Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3
Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1
Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1

Álgebra Linear e
Geometria Analítica
Circunferência

Introdução
Esse trabalho tem como objetivo apresentar as
definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito
familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e
construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda
alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar
também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim
como apresentação de duas circunferências, inequações do 2°
grau e também suas determinações.
O trabalho também objetiva a apresentação de
aplicações de exemplos relacionados à área da geometria
analítica no campo da circunferência.

Definição:
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de
um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é
chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o
raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma
distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos
pontos de α que estão á distancia r do ponto C.

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um
ponto qualquer da circunferência, a distância de C a
P é o raio dessa circunferência.

Equação da Circunferência
Chama-se equação da circunferência aquela que é
satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y)
pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico
P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos:
E daí vem a equação reduzida da circunferência:
(x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ
Esta expressão é denominada equação reduzida da
circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois
expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.

(x – a)² + (y – b)² = r²

APLICANDO :
Considerando determinada situação em que a distância entre
os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que
se pode estabelecer entre x e y ?

(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 5)² + (y – 3)² = 2²
Aplicando o quadrado da diferença
X²-2.x.5+5² + y²-2.y.3+3²=4
X²-10x+25+y²-6y+9=4
X²+y²-10x-6y+25+9-4=0
X²+y²-10x-6y+30=0
EQUAÇÃO DESSA CIRCUNFERÊNCIA

Equação normal
Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode
mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas
cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do
centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio,
pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois
pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.

Desenvolvendo a equação reduzida, teremos:
(x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r²
Isto é,
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Equação geral de λ ou equação normal da circunferência

Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3
e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano.
Resolução:
Usando a equação reduzida da circunferência
(x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever:
(x- 1)² + ( y - 2)² = 3²
Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a
equação reduzida e obtemos:
x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0
Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto
de pares ordenados que a satisfazem.

Circunferência x² + y² -2 x -4 y -4 =0 de centro A(1,2) e raio 3.

Ponto e circunferência
Podemos relacionar a posição de um ponto com um
circunferência a medida que for possível comparar sua distância
do centro desta com a medida do raio.
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de
centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:

APLICANDO
Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ :
• P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x+5=0
3²+2²-6.3+5=0
9+4-18+5=0
13-18+5=0
-5+5=0
0=0
Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)

• P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x-2y+8=0
5²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=0
25+1-30-(-2)+8=0
26-30+2+8=0
-4+2+8=0
6›0
Então : P é externo a λ

• P (4,3) e λ : x²+y²=36
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²=36
4²+3²=36
16+9-36=0
25-36=0
-11‹0
Então : P é interno a λ

Inequações do 2° grau
Uma inequação do 2 grau ou quadrática é uma expressão do
2 grau que pode ser escrita das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
A principal consequência da teoria apresentada é o método
para resolver inequações do 2 grau da forma:
F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com
coeficiente de x² positivo.

Exemplo: Para resolver a inequação x²+y²≤16
Resolução:
x²+y²-16 ≤0
R=4

Exemplo: Resolver a inequação x²+y²≥9
Resolução:
x²+y²-9 ≥0
R=3

Posições relativas entre
circunferência e reta
• Reta externa à circunferência
A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R,
então podemos propor a seguinte situação: a distância do
centro da circunferência à reta s é maior que o raio da
circunferência.
D > R

• Reta tangente à circunferência
A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R,
isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência,
por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta
s possui a mesma medida.
D = R

• Reta secante à circunferência
A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a
reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso
constatamos que a medida do raio da circunferência é maior
que a medida da reta secante.
D < R

INTERSEÇÃO
A equação da circunferência é:
(x - a)² + (x - b)² = r²
Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência
e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada
na origem, a equação (1) se transforma em:
x² + y ² = r²
Graficamente temos:

Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas
duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que
pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por
suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis:
• Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de
equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Graficamente:

• Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações
admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:

• Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso
implica que o sistema de equações é impossível.
Graficamente:

Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são:
Podemos montar o seguinte sistema com as equações:
Resolução:
Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:

Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:
O conjunto solução é:
Graficamente temos:

POSIÇÕES RELATIVAS
Para determinar a posição relativa entre duas circunferências,
comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre
seus raios:
o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a
soma de seus raios
dOC > r1 + r2
o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a
diferença entre seus raios.
dOC < r1- r2

o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que
a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios.
dOC < r1 + r2
o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for
igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências.
dOC = 0

o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros
for igual à diferença entre os raios.
dOC = r1 - r2
o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros
for igual à soma de seus raios.
dOC = r1 + r2

Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações:
λ: x2 + y2 = 9
σ: (x – 7)2 + y2 = 16
Verifique a posição relativa entre elas.
Solução:
Para resolução do problema devemos saber as
coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das
circunferências. Através da equação de cada uma podemos
encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência
é da forma:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:

Conhecidos os elementos de cada uma das
circunferências, vamos calcular a distância entre os
centros, utilizando a fórmula da distância entre dois
pontos.

Determinações de
CircunferênciasEm Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’
uma circunferência significa obter sua equação:
(x – a)² + (y – b) ² = r²
Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o
raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano
cartesiano.
A maioria dos problemas de determinação de circunferências
apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações
independentes para ser resolvida.

• Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b)
e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio
P2 ∈ λ = (a-x0)2 + (b—y0)2 = r2

• Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de
centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é
igual ao raio.

• Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra
circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia
entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios.
λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2

Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado,
que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada .
Resolução:
Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:

Exemplo: Determine a equação da circunferência com C
(-3,1) e raio 3.
Resolução:
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
(X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável
(quadrado da diferença ), então será:
X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9
X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.

APLICAÇÕES NO
COTIDIANO
Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma
de arco de circunferência, semelhante a que aparece na foto
abaixo :

O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é
de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto ,
deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus
conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já
calculou que o raio do arco de circunferência projetado
pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o
tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a
esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o
projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.

Como base nas informações do problema , escolha um sistema
de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro
pilastras menores.
RESOLUÇÃO:
Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a
pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o
centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a
pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas,
precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas
são respectivamente 4 e 8 .

A equação da circunferência é, então
x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto
A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
4²+(y+16)²=400
16+(y+16)²=400
(y+16)²=400-16
(y+16)²=384
y+16=
y+16≅19,60
y=19,60-16
Ya≅3,60 m

Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto
B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
8²+(y+16)²=400
(y+16)²=400-64
y+16=
y+16≅18,33
Yb≅2,33 m
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do
lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas
correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são
tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem
3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.

Conclusão
Nesse trabalho foi possível concluir que a circunferência pode
ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano
equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é
denominado de centro da circunferência.
Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram.
Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos
algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente.
Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões
elementares, como equação normal e equação reduzida para
expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi
concluído que existem três possíveis posições de numa reta em
relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à
circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem
ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das
duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os
pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.

Referências Bibliográficas
• Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de
2013.
• Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi
Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de
maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br,
em 14 de maio de 2013.

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