Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
O documento explica as características de círculos e circunferências, incluindo que uma circunferência é uma linha em forma de círculo enquanto um círculo é uma superfície plana. Ele também define termos como raio, diâmetro e corda e fornece fórmulas para calcular o perímetro, área, comprimento de arcos e áreas de setores circulares. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para cálculos.
O documento é uma lista de exercícios de geometria sobre áreas e volumes para o 3o bimestre do 9o ano. Contém 17 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos geométricos.
O documento apresenta exercícios sobre circunferências para alunos do 6o ano. Os exercícios incluem definir termos como circunferência, raio, diâmetro e corda; identificar elementos de uma circunferência; traçar circunferências e arcos usando compasso; e completar medidas de raios e diâmetros de circunferências dados.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de frações que inclui multiplicações, divisões, transformações de frações mistas em impróprias e resolução de expressões fracionárias. Os exercícios vão de números 6 a 10 e abordam diferentes operações com frações.
O documento explica a ordem de operações em expressões numéricas, começando por potenciação e radiciação, seguido por multiplicação e divisão, e por último adição e subtração. Ele fornece exemplos resolvidos de expressões numéricas e uma série de exercícios para cálculo.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
O documento explica as características de círculos e circunferências, incluindo que uma circunferência é uma linha em forma de círculo enquanto um círculo é uma superfície plana. Ele também define termos como raio, diâmetro e corda e fornece fórmulas para calcular o perímetro, área, comprimento de arcos e áreas de setores circulares. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para cálculos.
O documento é uma lista de exercícios de geometria sobre áreas e volumes para o 3o bimestre do 9o ano. Contém 17 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos geométricos.
O documento apresenta exercícios sobre circunferências para alunos do 6o ano. Os exercícios incluem definir termos como circunferência, raio, diâmetro e corda; identificar elementos de uma circunferência; traçar circunferências e arcos usando compasso; e completar medidas de raios e diâmetros de circunferências dados.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de frações que inclui multiplicações, divisões, transformações de frações mistas em impróprias e resolução de expressões fracionárias. Os exercícios vão de números 6 a 10 e abordam diferentes operações com frações.
O documento explica a ordem de operações em expressões numéricas, começando por potenciação e radiciação, seguido por multiplicação e divisão, e por último adição e subtração. Ele fornece exemplos resolvidos de expressões numéricas e uma série de exercícios para cálculo.
Este documento fornece exemplos e explicações sobre operações com números decimais, incluindo multiplicação, divisão e conversão de unidades. Ele apresenta problemas para serem resolvidos passo a passo e explica como dividir números decimais corretamente.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
Este documento apresenta 20 questões sobre matemática envolvendo conceitos como geometria, álgebra e números. As questões abordam tópicos como identificação de posições em mapas, propriedades de figuras planas e sólidas, medidas de ângulos e lados de triângulos, cálculo de áreas e perímetros, operações com números inteiros e fracionários, e resolução de problemas.
O documento descreve vários sólidos geométricos incluindo seus componentes (faces, vértices e arestas), e fornece exemplos de cubo, prisma quadrangular, prisma triangular, pirâmide quadrangular, cone, cilindro, esfera. Também diferencia sólidos poliedros de não poliedros e fornece planificações de vários sólidos.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Este documento contém 33 questões sobre múltiplos, divisores e números primos. As questões abordam tópicos como identificar números divisíveis por determinados números, encontrar o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum de números, e reconhecer propriedades de números primos.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Slides produzido para o blog jfgf2011.blogspot.com, onde os visitantes e meus alunos podem encontrar matérias interessantes sobre Matemática, astronomia, Ciências, Esportes e Humor, além de projetos e trabalhos realizados nas escolas onde atuo.
O documento explica as diferenças entre as palavras "mau" e "mal" em português. "Mau" é um adjetivo usado para descrever qualidades, enquanto "mal" pode ser um advérbio, substantivo ou conjunção, dependendo do contexto. Exemplos ilustram os usos corretos de cada palavra.
Exercícios resolvidos divisão de números decimaisNivea Neves
O documento fornece instruções sobre como realizar divisões de números decimais. Explica que para dividir por potências de 10 basta deslocar a vírgula para a esquerda e fornece exemplos. Também apresenta exercícios para dividir números decimais por 10, 100 e 1000. Detalha como realizar divisões entre números decimais igualando as casas decimais, cortando a vírgula e fazendo a divisão normal, ilustrando com exemplos. Por fim, apresenta mais dois exercícios para serem resolvidos.
O documento descreve diferentes sólidos geométricos, incluindo suas características principais como número de vértices, arestas e faces. Apresenta poliedros como cubos, pirâmides e prismas, e sólidos não poliédricos como esferas, cones e cilindros. Explica a relação de Euler para poliedros e fornece exemplos de planificações de vários sólidos.
O documento apresenta os principais sólidos geométricos, descrevendo suas características como faces, vértices e arestas. É feita uma introdução sobre o que é um sólido geométrico e exemplificados casos do cubo, esfera e outros.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
O documento é uma apostila de matemática contendo 10 questões sobre radicais. As questões abordam cálculo de raiz quadrada, decomposição de radicandos em fatores primos, simplificação e transformação de radicais.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
O documento discute polígonos, sólidos geométricos e volume. Polígonos são figuras planas com lados e ângulos, enquanto sólidos geométricos têm três dimensões. O volume é a quantidade de espaço ocupada e é calculado multiplicando comprimento, largura e altura para paralelepípedos ou aresta ao cubo para cubos.
Este documento é uma lista de exercícios sobre noções de conjuntos para estudantes do 6o ano. A lista contém 8 itens de exercícios sobre conceitos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos e operações entre conjuntos.
O documento apresenta vários exercícios de fatoração de polinômios do 8o ano. Nos primeiros itens, pede para fatorar polinômios agrupando termos com fatores comuns ou por agrupamento. Nos itens seguintes, pede para fatorar trinômios que são quadrados perfeitos e expressões que podem ser escritas como diferença de quadrados.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
1) O documento apresenta exemplos de sequências numéricas e exercícios relacionados a sequências. 2) Sequências são conjuntos de números que seguem uma regra para sua formação. 3) Os termos são os números da sequência e a ordem indica a posição do termo.
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA
A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO
A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS
O documento apresenta as equações da circunferência, incluindo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2 que define o centro (a, b) e o raio r. Também mostra como determinar a equação geral a partir da reduzida e como encontrar o centro e raio a partir da geral. Por fim, explica como definir a posição de um ponto em relação à circunferência.
Este documento fornece exemplos e explicações sobre operações com números decimais, incluindo multiplicação, divisão e conversão de unidades. Ele apresenta problemas para serem resolvidos passo a passo e explica como dividir números decimais corretamente.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
Este documento apresenta 20 questões sobre matemática envolvendo conceitos como geometria, álgebra e números. As questões abordam tópicos como identificação de posições em mapas, propriedades de figuras planas e sólidas, medidas de ângulos e lados de triângulos, cálculo de áreas e perímetros, operações com números inteiros e fracionários, e resolução de problemas.
O documento descreve vários sólidos geométricos incluindo seus componentes (faces, vértices e arestas), e fornece exemplos de cubo, prisma quadrangular, prisma triangular, pirâmide quadrangular, cone, cilindro, esfera. Também diferencia sólidos poliedros de não poliedros e fornece planificações de vários sólidos.
1. A geometria se baseia nos conceitos primitivos de ponto, reta e plano, que não podem ser definidos, mas sim entendidos por exemplos.
2. Um ponto não tem dimensão e é representado por uma letra maiúscula. Uma reta é formada por pontos alinhados e é representada por uma letra minúscula.
3. Um plano tem duas dimensões e é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego.
Este documento contém 33 questões sobre múltiplos, divisores e números primos. As questões abordam tópicos como identificar números divisíveis por determinados números, encontrar o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum de números, e reconhecer propriedades de números primos.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Slides produzido para o blog jfgf2011.blogspot.com, onde os visitantes e meus alunos podem encontrar matérias interessantes sobre Matemática, astronomia, Ciências, Esportes e Humor, além de projetos e trabalhos realizados nas escolas onde atuo.
O documento explica as diferenças entre as palavras "mau" e "mal" em português. "Mau" é um adjetivo usado para descrever qualidades, enquanto "mal" pode ser um advérbio, substantivo ou conjunção, dependendo do contexto. Exemplos ilustram os usos corretos de cada palavra.
Exercícios resolvidos divisão de números decimaisNivea Neves
O documento fornece instruções sobre como realizar divisões de números decimais. Explica que para dividir por potências de 10 basta deslocar a vírgula para a esquerda e fornece exemplos. Também apresenta exercícios para dividir números decimais por 10, 100 e 1000. Detalha como realizar divisões entre números decimais igualando as casas decimais, cortando a vírgula e fazendo a divisão normal, ilustrando com exemplos. Por fim, apresenta mais dois exercícios para serem resolvidos.
O documento descreve diferentes sólidos geométricos, incluindo suas características principais como número de vértices, arestas e faces. Apresenta poliedros como cubos, pirâmides e prismas, e sólidos não poliédricos como esferas, cones e cilindros. Explica a relação de Euler para poliedros e fornece exemplos de planificações de vários sólidos.
O documento apresenta os principais sólidos geométricos, descrevendo suas características como faces, vértices e arestas. É feita uma introdução sobre o que é um sólido geométrico e exemplificados casos do cubo, esfera e outros.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
O documento é uma apostila de matemática contendo 10 questões sobre radicais. As questões abordam cálculo de raiz quadrada, decomposição de radicandos em fatores primos, simplificação e transformação de radicais.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
O documento discute polígonos, sólidos geométricos e volume. Polígonos são figuras planas com lados e ângulos, enquanto sólidos geométricos têm três dimensões. O volume é a quantidade de espaço ocupada e é calculado multiplicando comprimento, largura e altura para paralelepípedos ou aresta ao cubo para cubos.
Este documento é uma lista de exercícios sobre noções de conjuntos para estudantes do 6o ano. A lista contém 8 itens de exercícios sobre conceitos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos e operações entre conjuntos.
O documento apresenta vários exercícios de fatoração de polinômios do 8o ano. Nos primeiros itens, pede para fatorar polinômios agrupando termos com fatores comuns ou por agrupamento. Nos itens seguintes, pede para fatorar trinômios que são quadrados perfeitos e expressões que podem ser escritas como diferença de quadrados.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
1) O documento apresenta exemplos de sequências numéricas e exercícios relacionados a sequências. 2) Sequências são conjuntos de números que seguem uma regra para sua formação. 3) Os termos são os números da sequência e a ordem indica a posição do termo.
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA
A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO
A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS
O documento apresenta as equações da circunferência, incluindo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2 que define o centro (a, b) e o raio r. Também mostra como determinar a equação geral a partir da reduzida e como encontrar o centro e raio a partir da geral. Por fim, explica como definir a posição de um ponto em relação à circunferência.
O documento apresenta as equações da circunferência, incluindo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2 que define o centro (a, b) e o raio r. Também mostra como determinar a equação geral a partir da reduzida e como encontrar o centro e raio a partir da geral. Por fim, explica como definir a posição de um ponto em relação à circunferência.
1. O documento apresenta as definições e fórmulas fundamentais para geometria analítica, incluindo equações de circunferências, distâncias entre pontos e posições relativas de pontos e retas em relação a circunferências.
2. São listados 10 exercícios para a prova sobre esses conceitos, como determinar pontos de interseção de retas e circunferências e equações de circunferências tangentes a retas.
3. As respostas aos exercícios são fornecidas.
O documento discute conceitos geométricos como ponto, reta e circunferência. Apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e ponto médio, equações de retas e circunferências, e relações entre essas figuras geométricas como posições relativas, ângulos e distâncias.
O documento discute a definição de circunferência e sua equação reduzida. Apresenta as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, como secante, tangente e externa. Também explica as posições relativas entre duas circunferências, como tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Por fim, fornece exemplos para ilustrar os conceitos.
1) O documento fornece resumos sobre conceitos e fórmulas relacionadas a circunferências, incluindo definição, equações reduzida e geral, determinação de centro e raio, reconhecimento e existência.
2) São apresentados tópicos de ajuda para resolução de exercícios envolvendo posições relativas entre retas e circunferências, entre duas circunferências, e interseção entre curvas.
3) Exemplos de exercícios de revisão são fornecidos para teste dos conceitos aprendidos
1) O documento descreve as definições e propriedades básicas de circunferências, incluindo sua definição geométrica, equações reduzida e geral, e posições relativas de pontos, retas e outras circunferências.
2) Exemplos de exercícios resolvidos incluem obter equações de circunferências dados seus elementos, e determinar elementos dados equações.
3) A posição de pontos é analisada comparando a distância do centro com o raio.
O documento apresenta os conceitos de equação geral e reduzida de retas e circunferências, explicando como determiná-las a partir de pontos ou elementos geométricos dados. Também define retas secantes e tangentes em relação a circunferências.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
Slides da aula sobre Coordenadas Polares e Integrais Duplas em Coordenadas Po...Izabela Marques
O documento apresenta os conceitos de coordenadas polares e como transformar entre coordenadas polares e cartesianas. Apresenta também como calcular integrais duplas em coordenadas polares, transformando a região de integração do plano cartesiano para o plano polar. Fornece vários exemplos de cálculo de integrais duplas em coordenadas polares.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento apresenta os principais sistemas de coordenadas no plano e no espaço, incluindo:
- Coordenadas retangulares no plano e no espaço tridimensional
- Coordenadas polares no plano
- Coordenadas cilíndricas no espaço, que estendem as polares para três dimensões
- Coordenadas esféricas no espaço, representando distância, ângulo zenital e ângulo azimutal
1) O documento apresenta informações sobre um professor de matemática e biologia do ensino médio, incluindo sua formação acadêmica e sites sobre ensino de matemática. 2) Em seguida, explica conceitos geométricos como circunferência, elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações e elementos. 3) Fornece detalhes sobre como determinar a posição de pontos e retas em relação a circunferências.
Este documento apresenta os principais conceitos matemáticos necessários para o estudo do eletromagnetismo, incluindo sistemas de coordenadas, cálculo integral em Rn, e exemplos de aplicação destes conceitos.
O documento apresenta quatro questões de geometria analítica resolvidas. A primeira questão classifica uma cônica em coordenadas polares como uma parábola e a parametriza. A segunda questão analisa uma hipérbole dada em coordenadas cartesianas, encontrando seus elementos característicos. A terceira questão delineia a região delimitada por dois sistemas de desigualdades. A quarta questão verifica a simetria de pontos em relação a retas e um ponto.
1) Exercícios de matemática sobre circunferências e suas propriedades geométricas como centro, raio, diâmetro e equações.
2) Determinação de equações de circunferências dadas pontos e propriedades.
3) Cálculo de áreas de círculos a partir de raio e fórmula A=πr2.
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
Trabalho De Matematica Marcos Antonio P. Lacerda, Rafael Montelo, Genivaldoguest5976b18
1) Duas retas são paralelas se tiverem os mesmos coeficientes angulares ou não tiverem coeficientes angulares.
2) Duas retas são concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes.
3) A área de uma circunferência é calculada usando a fórmula de A = πr2, onde r é o raio.
O documento apresenta exercícios de geometria analítica resolvidos envolvendo circunferências e retas. Nos exercícios, são determinados os pontos de interseção, tangência e posição externa/interna de pontos em relação às circunferências. O documento também obtém a interseção de duas circunferências, resultando nos pontos (6,8) e (8,6).
Semelhante a Trabalho de geometria analítica - SUPERIOR (20)
1. Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental
Turma:IESAM1
Professor: José Felipe Neto
Disciplina: Álgebra linear e GeometriaAnalítica
Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8
Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3
Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1
Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1
3. Introdução
Esse trabalho tem como objetivo apresentar as
definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito
familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e
construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda
alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar
também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim
como apresentação de duas circunferências, inequações do 2°
grau e também suas determinações.
O trabalho também objetiva a apresentação de
aplicações de exemplos relacionados à área da geometria
analítica no campo da circunferência.
4. Definição:
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de
um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é
chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o
raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma
distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos
pontos de α que estão á distancia r do ponto C.
5. Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um
ponto qualquer da circunferência, a distância de C a
P é o raio dessa circunferência.
6. Equação da Circunferência
Chama-se equação da circunferência aquela que é
satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y)
pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico
P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos:
E daí vem a equação reduzida da circunferência:
(x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ
Esta expressão é denominada equação reduzida da
circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois
expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.
8. APLICANDO :
Considerando determinada situação em que a distância entre
os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que
se pode estabelecer entre x e y ?
10. Equação normal
Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode
mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas
cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do
centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio,
pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois
pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.
11. Desenvolvendo a equação reduzida, teremos:
(x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r²
Isto é,
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Equação geral de λ ou equação normal da circunferência
12. Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3
e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano.
Resolução:
Usando a equação reduzida da circunferência
(x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever:
(x- 1)² + ( y - 2)² = 3²
Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a
equação reduzida e obtemos:
x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0
Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto
de pares ordenados que a satisfazem.
14. Ponto e circunferência
Podemos relacionar a posição de um ponto com um
circunferência a medida que for possível comparar sua distância
do centro desta com a medida do raio.
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de
centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:
15.
16. APLICANDO
Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ :
• P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x+5=0
3²+2²-6.3+5=0
9+4-18+5=0
13-18+5=0
-5+5=0
0=0
Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)
17. • P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x-2y+8=0
5²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=0
25+1-30-(-2)+8=0
26-30+2+8=0
-4+2+8=0
6›0
Então : P é externo a λ
18. • P (4,3) e λ : x²+y²=36
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²=36
4²+3²=36
16+9-36=0
25-36=0
-11‹0
Então : P é interno a λ
19. Inequações do 2° grau
Uma inequação do 2 grau ou quadrática é uma expressão do
2 grau que pode ser escrita das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
A principal consequência da teoria apresentada é o método
para resolver inequações do 2 grau da forma:
F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com
coeficiente de x² positivo.
22. Posições relativas entre
circunferência e reta
• Reta externa à circunferência
A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R,
então podemos propor a seguinte situação: a distância do
centro da circunferência à reta s é maior que o raio da
circunferência.
D > R
23. • Reta tangente à circunferência
A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R,
isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência,
por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta
s possui a mesma medida.
D = R
24. • Reta secante à circunferência
A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a
reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso
constatamos que a medida do raio da circunferência é maior
que a medida da reta secante.
D < R
25. INTERSEÇÃO
A equação da circunferência é:
(x - a)² + (x - b)² = r²
Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência
e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada
na origem, a equação (1) se transforma em:
x² + y ² = r²
Graficamente temos:
26. Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas
duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que
pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por
suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis:
• Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de
equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Graficamente:
27. • Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações
admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:
28. • Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso
implica que o sistema de equações é impossível.
Graficamente:
29. Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são:
Podemos montar o seguinte sistema com as equações:
Resolução:
Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:
30. Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:
O conjunto solução é:
Graficamente temos:
31. POSIÇÕES RELATIVAS
Para determinar a posição relativa entre duas circunferências,
comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre
seus raios:
o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a
soma de seus raios
dOC > r1 + r2
o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a
diferença entre seus raios.
dOC < r1- r2
32. o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que
a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios.
dOC < r1 + r2
o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for
igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências.
dOC = 0
33. o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros
for igual à diferença entre os raios.
dOC = r1 - r2
o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros
for igual à soma de seus raios.
dOC = r1 + r2
34. Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações:
λ: x2 + y2 = 9
σ: (x – 7)2 + y2 = 16
Verifique a posição relativa entre elas.
Solução:
Para resolução do problema devemos saber as
coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das
circunferências. Através da equação de cada uma podemos
encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência
é da forma:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:
35. Conhecidos os elementos de cada uma das
circunferências, vamos calcular a distância entre os
centros, utilizando a fórmula da distância entre dois
pontos.
36. Determinações de
CircunferênciasEm Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’
uma circunferência significa obter sua equação:
(x – a)² + (y – b) ² = r²
Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o
raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano
cartesiano.
A maioria dos problemas de determinação de circunferências
apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações
independentes para ser resolvida.
37. • Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b)
e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio
P2 ∈ λ = (a-x0)2 + (b—y0)2 = r2
38. • Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de
centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é
igual ao raio.
39. • Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra
circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia
entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios.
λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2
40. Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado,
que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada .
Resolução:
Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:
41. Exemplo: Determine a equação da circunferência com C
(-3,1) e raio 3.
Resolução:
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
(X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável
(quadrado da diferença ), então será:
X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9
X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.
43. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é
de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto ,
deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus
conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já
calculou que o raio do arco de circunferência projetado
pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o
tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a
esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o
projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.
44. Como base nas informações do problema , escolha um sistema
de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro
pilastras menores.
RESOLUÇÃO:
Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a
pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o
centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a
pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas,
precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas
são respectivamente 4 e 8 .
45. A equação da circunferência é, então
x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto
A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
4²+(y+16)²=400
16+(y+16)²=400
(y+16)²=400-16
(y+16)²=384
y+16=
y+16≅19,60
y=19,60-16
Ya≅3,60 m
46. Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto
B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
8²+(y+16)²=400
(y+16)²=400-64
y+16=
y+16≅18,33
Yb≅2,33 m
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do
lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas
correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são
tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem
3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.
47. Conclusão
Nesse trabalho foi possível concluir que a circunferência pode
ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano
equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é
denominado de centro da circunferência.
Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram.
Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos
algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente.
Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões
elementares, como equação normal e equação reduzida para
expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi
concluído que existem três possíveis posições de numa reta em
relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à
circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem
ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das
duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os
pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.
48. Referências Bibliográficas
• Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de
2013.
• Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi
Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de
maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br,
em 14 de maio de 2013.