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Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental
Turma:IESAM1
Professor: José Felipe Neto
Disciplina: Álgebra linear e GeometriaAnalítica
Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8
Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3
Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1
Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
Circunferência
Introdução
Esse trabalho tem como objetivo apresentar as
definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito
familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e
construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda
alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar
também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim
como apresentação de duas circunferências, inequações do 2°
grau e também suas determinações.
O trabalho também objetiva a apresentação de
aplicações de exemplos relacionados à área da geometria
analítica no campo da circunferência.
Definição:
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de
um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é
chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o
raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma
distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos
pontos de α que estão á distancia r do ponto C.
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um
ponto qualquer da circunferência, a distância de C a
P é o raio dessa circunferência.
Equação da Circunferência
Chama-se equação da circunferência aquela que é
satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y)
pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico
P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos:
E daí vem a equação reduzida da circunferência:
(x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ
Esta expressão é denominada equação reduzida da
circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois
expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.
(x – a)² + (y – b)² = r²
APLICANDO :
Considerando determinada situação em que a distância entre
os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que
se pode estabelecer entre x e y ?
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 5)² + (y – 3)² = 2²
Aplicando o quadrado da diferença
X²-2.x.5+5² + y²-2.y.3+3²=4
X²-10x+25+y²-6y+9=4
X²+y²-10x-6y+25+9-4=0
X²+y²-10x-6y+30=0
EQUAÇÃO DESSA CIRCUNFERÊNCIA
Equação normal
Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode
mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas
cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do
centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio,
pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois
pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.
Desenvolvendo a equação reduzida, teremos:
(x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r²
Isto é,
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Equação geral de λ ou equação normal da circunferência
Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3
e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano.
Resolução:
Usando a equação reduzida da circunferência
(x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever:
(x- 1)² + ( y - 2)² = 3²
Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a
equação reduzida e obtemos:
x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0
Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto
de pares ordenados que a satisfazem.
Circunferência x² + y² -2 x -4 y -4 =0 de centro A(1,2) e raio 3.
Ponto e circunferência
Podemos relacionar a posição de um ponto com um
circunferência a medida que for possível comparar sua distância
do centro desta com a medida do raio.
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de
centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:
APLICANDO
Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ :
• P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x+5=0
3²+2²-6.3+5=0
9+4-18+5=0
13-18+5=0
-5+5=0
0=0
Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)
• P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²-6x-2y+8=0
5²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=0
25+1-30-(-2)+8=0
26-30+2+8=0
-4+2+8=0
6›0
Então : P é externo a λ
• P (4,3) e λ : x²+y²=36
Resolução:
Substituindo ,
x²+y²=36
4²+3²=36
16+9-36=0
25-36=0
-11‹0
Então : P é interno a λ
Inequações do 2° grau
Uma inequação do 2 grau ou quadrática é uma expressão do
2 grau que pode ser escrita das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
A principal consequência da teoria apresentada é o método
para resolver inequações do 2 grau da forma:
F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com
coeficiente de x² positivo.
Exemplo: Para resolver a inequação x²+y²≤16
Resolução:
x²+y²-16 ≤0
R=4
Exemplo: Resolver a inequação x²+y²≥9
Resolução:
x²+y²-9 ≥0
R=3
Posições relativas entre
circunferência e reta
• Reta externa à circunferência
A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R,
então podemos propor a seguinte situação: a distância do
centro da circunferência à reta s é maior que o raio da
circunferência.
D > R
• Reta tangente à circunferência
A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R,
isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência,
por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta
s possui a mesma medida.
D = R
• Reta secante à circunferência
A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a
reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso
constatamos que a medida do raio da circunferência é maior
que a medida da reta secante.
D < R
INTERSEÇÃO
A equação da circunferência é:
(x - a)² + (x - b)² = r²
Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência
e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada
na origem, a equação (1) se transforma em:
x² + y ² = r²
Graficamente temos:
Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas
duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que
pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por
suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis:
• Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de
equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Graficamente:
• Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações
admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:
• Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso
implica que o sistema de equações é impossível.
Graficamente:
Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são:
Podemos montar o seguinte sistema com as equações:
Resolução:
Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:
Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:
O conjunto solução é:
Graficamente temos:
POSIÇÕES RELATIVAS
Para determinar a posição relativa entre duas circunferências,
comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre
seus raios:
o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a
soma de seus raios
dOC > r1 + r2
o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a
diferença entre seus raios.
dOC < r1- r2
o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que
a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios.
dOC < r1 + r2
o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for
igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências.
dOC = 0
o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros
for igual à diferença entre os raios.
dOC = r1 - r2
o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros
for igual à soma de seus raios.
dOC = r1 + r2
Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações:
λ: x2 + y2 = 9
σ: (x – 7)2 + y2 = 16
Verifique a posição relativa entre elas.
Solução:
Para resolução do problema devemos saber as
coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das
circunferências. Através da equação de cada uma podemos
encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência
é da forma:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:
Conhecidos os elementos de cada uma das
circunferências, vamos calcular a distância entre os
centros, utilizando a fórmula da distância entre dois
pontos.
Determinações de
CircunferênciasEm Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’
uma circunferência significa obter sua equação:
(x – a)² + (y – b) ² = r²
Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o
raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano
cartesiano.
A maioria dos problemas de determinação de circunferências
apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações
independentes para ser resolvida.
• Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b)
e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio
P2 ∈ λ = (a-x0)2 + (b—y0)2 = r2
• Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de
centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é
igual ao raio.
• Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra
circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia
entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios.
λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2
Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado,
que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada .
Resolução:
Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:
Exemplo: Determine a equação da circunferência com C
(-3,1) e raio 3.
Resolução:
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
(X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável
(quadrado da diferença ), então será:
X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9
X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.
APLICAÇÕES NO
COTIDIANO
Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma
de arco de circunferência, semelhante a que aparece na foto
abaixo :
O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é
de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto ,
deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus
conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já
calculou que o raio do arco de circunferência projetado
pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o
tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a
esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o
projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.
Como base nas informações do problema , escolha um sistema
de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro
pilastras menores.
RESOLUÇÃO:
Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a
pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o
centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a
pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas,
precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas
são respectivamente 4 e 8 .
A equação da circunferência é, então
x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto
A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
4²+(y+16)²=400
16+(y+16)²=400
(y+16)²=400-16
(y+16)²=384
y+16=
y+16≅19,60
y=19,60-16
Ya≅3,60 m
Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto
B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da
circunferência:
x²+(y+16)²=400
8²+(y+16)²=400
(y+16)²=400-64
y+16=
y+16≅18,33
Yb≅2,33 m
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do
lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas
correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são
tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem
3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.
Conclusão
Nesse trabalho foi possível concluir que a circunferência pode
ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano
equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é
denominado de centro da circunferência.
Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram.
Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos
algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente.
Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões
elementares, como equação normal e equação reduzida para
expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi
concluído que existem três possíveis posições de numa reta em
relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à
circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem
ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das
duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os
pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.
Referências Bibliográficas
• Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de
2013.
• Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi
Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de
maio de 2013.
• Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br,
em 14 de maio de 2013.

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Trabalho De Matematica Marcos Antonio P. Lacerda, Rafael Montelo, Genivaldo
Trabalho De Matematica Marcos Antonio P. Lacerda, Rafael Montelo, GenivaldoTrabalho De Matematica Marcos Antonio P. Lacerda, Rafael Montelo, Genivaldo
Trabalho De Matematica Marcos Antonio P. Lacerda, Rafael Montelo, Genivaldo
 
Circunferência - posições relativas
Circunferência - posições relativasCircunferência - posições relativas
Circunferência - posições relativas
 

Trabalho de geometria analítica - SUPERIOR

  • 1. Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental Turma:IESAM1 Professor: José Felipe Neto Disciplina: Álgebra linear e GeometriaAnalítica Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8 Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3 Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1 Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1
  • 2. Álgebra Linear e Geometria Analítica Circunferência
  • 3. Introdução Esse trabalho tem como objetivo apresentar as definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim como apresentação de duas circunferências, inequações do 2° grau e também suas determinações. O trabalho também objetiva a apresentação de aplicações de exemplos relacionados à área da geometria analítica no campo da circunferência.
  • 4. Definição: Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos pontos de α que estão á distancia r do ponto C.
  • 5. Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência.
  • 6. Equação da Circunferência Chama-se equação da circunferência aquela que é satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y) pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos: E daí vem a equação reduzida da circunferência: (x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ Esta expressão é denominada equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.
  • 7. (x – a)² + (y – b)² = r²
  • 8. APLICANDO : Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que se pode estabelecer entre x e y ?
  • 9. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 5)² + (y – 3)² = 2² Aplicando o quadrado da diferença X²-2.x.5+5² + y²-2.y.3+3²=4 X²-10x+25+y²-6y+9=4 X²+y²-10x-6y+25+9-4=0 X²+y²-10x-6y+30=0 EQUAÇÃO DESSA CIRCUNFERÊNCIA
  • 10. Equação normal Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio, pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.
  • 11. Desenvolvendo a equação reduzida, teremos: (x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r² Isto é, x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 Equação geral de λ ou equação normal da circunferência
  • 12. Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano. Resolução: Usando a equação reduzida da circunferência (x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever: (x- 1)² + ( y - 2)² = 3² Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a equação reduzida e obtemos: x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0 Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto de pares ordenados que a satisfazem.
  • 13. Circunferência x² + y² -2 x -4 y -4 =0 de centro A(1,2) e raio 3.
  • 14. Ponto e circunferência Podemos relacionar a posição de um ponto com um circunferência a medida que for possível comparar sua distância do centro desta com a medida do raio. Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:
  • 15.
  • 16. APLICANDO Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ : • P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0 Resolução: Substituindo , x²+y²-6x+5=0 3²+2²-6.3+5=0 9+4-18+5=0 13-18+5=0 -5+5=0 0=0 Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)
  • 17. • P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0 Resolução: Substituindo , x²+y²-6x-2y+8=0 5²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=0 25+1-30-(-2)+8=0 26-30+2+8=0 -4+2+8=0 6›0 Então : P é externo a λ
  • 18. • P (4,3) e λ : x²+y²=36 Resolução: Substituindo , x²+y²=36 4²+3²=36 16+9-36=0 25-36=0 -11‹0 Então : P é interno a λ
  • 19. Inequações do 2° grau Uma inequação do 2 grau ou quadrática é uma expressão do 2 grau que pode ser escrita das seguintes formas: ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c ≤ 0 A principal consequência da teoria apresentada é o método para resolver inequações do 2 grau da forma: F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com coeficiente de x² positivo.
  • 20. Exemplo: Para resolver a inequação x²+y²≤16 Resolução: x²+y²-16 ≤0 R=4
  • 21. Exemplo: Resolver a inequação x²+y²≥9 Resolução: x²+y²-9 ≥0 R=3
  • 22. Posições relativas entre circunferência e reta • Reta externa à circunferência A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. D > R
  • 23. • Reta tangente à circunferência A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. D = R
  • 24. • Reta secante à circunferência A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante. D < R
  • 25. INTERSEÇÃO A equação da circunferência é: (x - a)² + (x - b)² = r² Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada na origem, a equação (1) se transforma em: x² + y ² = r² Graficamente temos:
  • 26. Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis: • Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Graficamente:
  • 27. • Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:
  • 28. • Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso implica que o sistema de equações é impossível. Graficamente:
  • 29. Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são: Podemos montar o seguinte sistema com as equações: Resolução: Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:
  • 30. Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos: O conjunto solução é: Graficamente temos:
  • 31. POSIÇÕES RELATIVAS Para determinar a posição relativa entre duas circunferências, comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre seus raios: o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a soma de seus raios dOC > r1 + r2 o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a diferença entre seus raios. dOC < r1- r2
  • 32. o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios. dOC < r1 + r2 o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências. dOC = 0
  • 33. o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros for igual à diferença entre os raios. dOC = r1 - r2 o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros for igual à soma de seus raios. dOC = r1 + r2
  • 34. Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16 Verifique a posição relativa entre elas. Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma podemos encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:
  • 35. Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.
  • 36. Determinações de CircunferênciasEm Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’ uma circunferência significa obter sua equação: (x – a)² + (y – b) ² = r² Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano cartesiano. A maioria dos problemas de determinação de circunferências apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações independentes para ser resolvida.
  • 37. • Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio P2 ∈ λ = (a-x0)2 + (b—y0)2 = r2
  • 38. • Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é igual ao raio.
  • 39. • Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios. λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2
  • 40. Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado, que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada . Resolução: Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:
  • 41. Exemplo: Determine a equação da circunferência com C (-3,1) e raio 3. Resolução: (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 (X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável (quadrado da diferença ), então será: X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9 X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.
  • 42. APLICAÇÕES NO COTIDIANO Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, semelhante a que aparece na foto abaixo :
  • 43. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto , deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já calculou que o raio do arco de circunferência projetado pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.
  • 44. Como base nas informações do problema , escolha um sistema de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro pilastras menores. RESOLUÇÃO: Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas são respectivamente 4 e 8 .
  • 45. A equação da circunferência é, então x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da circunferência: x²+(y+16)²=400 4²+(y+16)²=400 16+(y+16)²=400 (y+16)²=400-16 (y+16)²=384 y+16= y+16≅19,60 y=19,60-16 Ya≅3,60 m
  • 46. Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da circunferência: x²+(y+16)²=400 8²+(y+16)²=400 (y+16)²=400-64 y+16= y+16≅18,33 Yb≅2,33 m Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem 3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.
  • 47. Conclusão Nesse trabalho foi possível concluir que a circunferência pode ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é denominado de centro da circunferência. Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram. Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente. Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões elementares, como equação normal e equação reduzida para expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi concluído que existem três possíveis posições de numa reta em relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.
  • 48. Referências Bibliográficas • Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br, em 14 de maio de 2013.