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Equa¸c˜ao de Bhaskara
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
Este artigo objetiva demonstrar algebrica e geometricamente a Equa¸c˜ao de Bhaskara, utilizada para resolu¸c˜ao
de equa¸c˜oes do segundo grau.
Defini¸c˜ao de equa¸c˜ao do segundo grau: Sejam a, b, c ∈ R, com a = 0, chamamos de equa¸c˜ao do segundo grau
uma equa¸c˜ao da forma
ax2
+ bx + c = 0. (1)
Demonstra¸c˜ao alg´ebrica
A demonstra¸c˜ao utilizar´a o m´etodo de “completar quadrados”, que consiste em reescrever uma equa¸c˜ao do
segundo grau, apresentada na forma da equa¸c˜ao (1), no formato (x + r)2
= q, onde r, q ∈ R.
Para isso, relembremos uma importante identidade alg´ebrica, um produto not´avel:
(x + r)2
= x2
+ 2xr + r2
. (2)
Em outras palavras, sendo x o primeiro termo e r o segundo, dizemos que (x + r)2
´e igual ao quadrado do
primeiro termo, somado ao dobro do produto do primeiro e do segundo termo, somado ao quadrado do segundo
termo.
Assim, partindo da equa¸c˜ao ax2
+ bx + c = 0, dividamos ambos os lados da igualdade por a
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0. (3)
Agora, isolemos o termo c
a do lado direito da equa¸c˜ao
x2
+
b
a
x = −
c
a
. (4)
Queremos escrever o lado esquerdo da equa¸c˜ao na forma (x + r)2
. Para isso, precisamos determinar o valor de
r. Sabemos que em x2
+ b
a x o termo que tem x como fator ´e dado pelo dobro do produto do primeiro e do
segundo termo. O primeiro termo, sabemos que ´e x. Assim, sendo r o segundo termo temos
2 · x · r =
b
a
x ⇒ r =
b
2a
. (5)
Assim, temos o seguinte produto not´avel (e sua correspondˆencia, utilizando a identidade da equa¸c˜ao (2))
x +
b
2a
2
= x2
+ 2 · x ·
b
2a
+
b
2a
2
= x2
+
b
a
x +
b2
4a2
. (6)
Retornando a equa¸c˜ao (4) podemos somar e subtrair do lado esquerdo o n´umero b2
4a2 (observe que essa opera¸c˜ao
n˜ao modifica a equa¸c˜ao)
x2
+
b
a
x +
b2
4a2
(x+ b
2a )
2
−
b2
4a2
= −
c
a
. (7)
Portanto, a partir de manipula¸c˜oes alg´ebricas na equa¸c˜ao (1) obtemos a equa¸c˜ao (4), a qual, ap´os se “completar
quadrado” torna-se
x +
b
2a
2
−
b2
4a2
= −
c
a
x +
b
2a
2
=
b2
4a2
−
c
a
x +
b
2a
2
=
b2
− 4ac
4a2
. (8)
1
Agora, basta manipular a equa¸c˜ao (8) para isolar a inc´ognita x e, finalmente, obter a equa¸c˜ao de Bhaskara.
Calculemos a raiz quadrado em ambos os lados da igualdade. Dai,
x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
x +
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
2a
x = −
b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
Finalmente, obt´em-se a equa¸c˜ao de Bhaskara
x =
−b ±
√
∆
2a
, onde ∆ = b2
− 4ac. (9)
Demonstra¸c˜ao geom´etrica
Olhando para o lado esquerdo da equa¸c˜ao (4) podemos observar que a primeira parcela ´e o c´alculo da ´area de
um quadrado de lado x (figura 1).
Figura 1: Quadrado de lado x e ´area x2
A segunda parcela corresponde ao c´alculo da ´area de um retˆangulo de lados x e b
a , ou ent˜ao, quatro retˆangulos
de lados x e b
4a (figura 2).
Figura 2: Retˆangulo de lados x e b
a e ´area x b
a e retˆangulos de lado x e b
4a com a mesma ´area total
Assim, a ´area da figura 3, formada pelo quadrado da figura 1 e os quatro retˆangulos da figura 2 ´e x2
+ b
a x,
somada a ´area dos quadrados laterais (4Aq).
Figura 3: Quadrado e retˆangulos das figuras 1 e 2
2
Observando a figura 3 podemos escrever a ´area do maior quadrado de duas maneiras:
(i) elevando ao quadrado o valor do lado, que ´e dado por x + b
4a + b
4a = x + b
2a
A = x +
b
2a
2
(10)
(ii) somando-se os valores das ´areas dos quadril´ateros que o comp˜oe (o quadrado central, os quatro retˆangulos
e os quadrados das pontas). Assim,
A = x2
+ 4 ·
b
4a
x + 4Aq
A = x2
+
b
a
x + 4
b
4a
2
A = x2
+
b
a
x
− c
a
+
b2
4a2
Mas, da equa¸c˜ao (4) obtemos (ou seja, sabemos que a ´area do quadrado central e dos quatro retˆangulos tem
que ser igual a − c
a )
A = −
c
a
+
b2
4a2
=
b2
− 4ac
4a2
(11)
Igualando-se as equa¸c˜oes (10) e (11) obtemos
x +
b
2a
2
=
b2
− 4ac
4a2
(12)
donde o desenvolvimento alg´ebrico segue idˆentico ao efetuado a partir da equa¸c˜ao (8), resultando em
x =
−b ±
√
∆
2a
, onde ∆ = b2
− 4ac. (13)
3
Apˆendice: sinal de mais ou menos na equa¸c˜ao de Bhaskara
Calcular a raiz quadrada em ambos os lados de uma equa¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao v´alida, pois equivale a elevar
ambos os lados da igualdade a 1
2 e esta opera¸c˜ao ´e permitida pois a implica¸c˜ao
v = w ⇐⇒ v
1
2 = w
1
2
´e verdadeira para v > 0 e w > 0 pois f(x) = x
1
2 ´e uma fun¸c˜ao bijetora definida em f : R+ → R+.
Temos a seguinte equa¸c˜ao
x +
b
2a
2
v
=
b2
− 4ac
4a2
w
.
Podemos elevar ambos os lados a 1
2 se v e w forem maiores ou iguais a zero. Obviamente v ´e maior ou igual a
zero, pois ´e o quadrado de um n´umero. Por outro lado, w ´e positivo pois sabemos que 4a2
> 0 e que b2
−4ac ≥ 0,
pois sen˜ao a equa¸c˜ao n˜ao teria solu¸c˜oes reais.
Sabemos tamb´em uma importante propriedade de m´odulo
√
u2 = |u| para u ∈ R.
Assim, a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como
x +
b
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
que implica em
x +
b
2a
=
b2 − 4ac
4a2
.
Da defini¸c˜ao de m´odulo, temos que
x +
b
2a
=
x + b
2a se x + b
2a ≥ 0 ⇒ x ≥ − b
2a
− x + b
2a se x + b
2a < 0 ⇒ x < − b
2a
Assim, para x ≥ − b
2a temos
x +
b
2a
=
b2 − 4ac
4a2
⇒ x = −
b
2a
+
b2 − 4ac
4a2
.
Observe, que, neste caso, x ´e sempre maior ou igual a − b
2a , satisfazendo integralmente a condi¸c˜ao dada pelo
m´odulo.
E, para x < − b
2a temos
− x +
b
2a
=
b2 − 4ac
4a2
⇒ x = −
b
2a
−
b2 − 4ac
4a2
.
Novamente, a condi¸c˜ao dada pelo m´odulo ´e integralmente satisfeita pela equa¸c˜ao.
Portanto, para qualquer valor real de x as solu¸c˜oes s˜ao dadas por
x = −
b
2a
+
b2 − 4ac
4a2
e
x = −
b
2a
−
b2 − 4ac
4a2
.
Ou, ainda, escrevendo de forma compacta
x = −
b
2a
±
b2 − 4ac
4a2
que equivale a
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
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Demonstração da equação de Bhaskara

  • 1. Equa¸c˜ao de Bhaskara Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com Este artigo objetiva demonstrar algebrica e geometricamente a Equa¸c˜ao de Bhaskara, utilizada para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do segundo grau. Defini¸c˜ao de equa¸c˜ao do segundo grau: Sejam a, b, c ∈ R, com a = 0, chamamos de equa¸c˜ao do segundo grau uma equa¸c˜ao da forma ax2 + bx + c = 0. (1) Demonstra¸c˜ao alg´ebrica A demonstra¸c˜ao utilizar´a o m´etodo de “completar quadrados”, que consiste em reescrever uma equa¸c˜ao do segundo grau, apresentada na forma da equa¸c˜ao (1), no formato (x + r)2 = q, onde r, q ∈ R. Para isso, relembremos uma importante identidade alg´ebrica, um produto not´avel: (x + r)2 = x2 + 2xr + r2 . (2) Em outras palavras, sendo x o primeiro termo e r o segundo, dizemos que (x + r)2 ´e igual ao quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do produto do primeiro e do segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo. Assim, partindo da equa¸c˜ao ax2 + bx + c = 0, dividamos ambos os lados da igualdade por a x2 + b a x + c a = 0. (3) Agora, isolemos o termo c a do lado direito da equa¸c˜ao x2 + b a x = − c a . (4) Queremos escrever o lado esquerdo da equa¸c˜ao na forma (x + r)2 . Para isso, precisamos determinar o valor de r. Sabemos que em x2 + b a x o termo que tem x como fator ´e dado pelo dobro do produto do primeiro e do segundo termo. O primeiro termo, sabemos que ´e x. Assim, sendo r o segundo termo temos 2 · x · r = b a x ⇒ r = b 2a . (5) Assim, temos o seguinte produto not´avel (e sua correspondˆencia, utilizando a identidade da equa¸c˜ao (2)) x + b 2a 2 = x2 + 2 · x · b 2a + b 2a 2 = x2 + b a x + b2 4a2 . (6) Retornando a equa¸c˜ao (4) podemos somar e subtrair do lado esquerdo o n´umero b2 4a2 (observe que essa opera¸c˜ao n˜ao modifica a equa¸c˜ao) x2 + b a x + b2 4a2 (x+ b 2a ) 2 − b2 4a2 = − c a . (7) Portanto, a partir de manipula¸c˜oes alg´ebricas na equa¸c˜ao (1) obtemos a equa¸c˜ao (4), a qual, ap´os se “completar quadrado” torna-se x + b 2a 2 − b2 4a2 = − c a x + b 2a 2 = b2 4a2 − c a x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 . (8) 1
  • 2. Agora, basta manipular a equa¸c˜ao (8) para isolar a inc´ognita x e, finalmente, obter a equa¸c˜ao de Bhaskara. Calculemos a raiz quadrado em ambos os lados da igualdade. Dai, x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 x + b 2a = ± √ b2 − 4ac 2a x = − b 2a ± √ b2 − 4ac 2a Finalmente, obt´em-se a equa¸c˜ao de Bhaskara x = −b ± √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac. (9) Demonstra¸c˜ao geom´etrica Olhando para o lado esquerdo da equa¸c˜ao (4) podemos observar que a primeira parcela ´e o c´alculo da ´area de um quadrado de lado x (figura 1). Figura 1: Quadrado de lado x e ´area x2 A segunda parcela corresponde ao c´alculo da ´area de um retˆangulo de lados x e b a , ou ent˜ao, quatro retˆangulos de lados x e b 4a (figura 2). Figura 2: Retˆangulo de lados x e b a e ´area x b a e retˆangulos de lado x e b 4a com a mesma ´area total Assim, a ´area da figura 3, formada pelo quadrado da figura 1 e os quatro retˆangulos da figura 2 ´e x2 + b a x, somada a ´area dos quadrados laterais (4Aq). Figura 3: Quadrado e retˆangulos das figuras 1 e 2 2
  • 3. Observando a figura 3 podemos escrever a ´area do maior quadrado de duas maneiras: (i) elevando ao quadrado o valor do lado, que ´e dado por x + b 4a + b 4a = x + b 2a A = x + b 2a 2 (10) (ii) somando-se os valores das ´areas dos quadril´ateros que o comp˜oe (o quadrado central, os quatro retˆangulos e os quadrados das pontas). Assim, A = x2 + 4 · b 4a x + 4Aq A = x2 + b a x + 4 b 4a 2 A = x2 + b a x − c a + b2 4a2 Mas, da equa¸c˜ao (4) obtemos (ou seja, sabemos que a ´area do quadrado central e dos quatro retˆangulos tem que ser igual a − c a ) A = − c a + b2 4a2 = b2 − 4ac 4a2 (11) Igualando-se as equa¸c˜oes (10) e (11) obtemos x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 (12) donde o desenvolvimento alg´ebrico segue idˆentico ao efetuado a partir da equa¸c˜ao (8), resultando em x = −b ± √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac. (13) 3
  • 4. Apˆendice: sinal de mais ou menos na equa¸c˜ao de Bhaskara Calcular a raiz quadrada em ambos os lados de uma equa¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao v´alida, pois equivale a elevar ambos os lados da igualdade a 1 2 e esta opera¸c˜ao ´e permitida pois a implica¸c˜ao v = w ⇐⇒ v 1 2 = w 1 2 ´e verdadeira para v > 0 e w > 0 pois f(x) = x 1 2 ´e uma fun¸c˜ao bijetora definida em f : R+ → R+. Temos a seguinte equa¸c˜ao x + b 2a 2 v = b2 − 4ac 4a2 w . Podemos elevar ambos os lados a 1 2 se v e w forem maiores ou iguais a zero. Obviamente v ´e maior ou igual a zero, pois ´e o quadrado de um n´umero. Por outro lado, w ´e positivo pois sabemos que 4a2 > 0 e que b2 −4ac ≥ 0, pois sen˜ao a equa¸c˜ao n˜ao teria solu¸c˜oes reais. Sabemos tamb´em uma importante propriedade de m´odulo √ u2 = |u| para u ∈ R. Assim, a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 que implica em x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 . Da defini¸c˜ao de m´odulo, temos que x + b 2a = x + b 2a se x + b 2a ≥ 0 ⇒ x ≥ − b 2a − x + b 2a se x + b 2a < 0 ⇒ x < − b 2a Assim, para x ≥ − b 2a temos x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 ⇒ x = − b 2a + b2 − 4ac 4a2 . Observe, que, neste caso, x ´e sempre maior ou igual a − b 2a , satisfazendo integralmente a condi¸c˜ao dada pelo m´odulo. E, para x < − b 2a temos − x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 ⇒ x = − b 2a − b2 − 4ac 4a2 . Novamente, a condi¸c˜ao dada pelo m´odulo ´e integralmente satisfeita pela equa¸c˜ao. Portanto, para qualquer valor real de x as solu¸c˜oes s˜ao dadas por x = − b 2a + b2 − 4ac 4a2 e x = − b 2a − b2 − 4ac 4a2 . Ou, ainda, escrevendo de forma compacta x = − b 2a ± b2 − 4ac 4a2 que equivale a x = −b ± √ b2 − 4ac 2a . 4