Demonstração da Identidade de Euler, "a identidade mais bela de toda a Matemática" (Richard P. Feynman).

1. eiπ + 1 = 0
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
A equa¸c˜ao do t´ıtulo ´e a chamada “Identidade de Euler”, um caso particular da “F´ormula de Euler”. Essa
equa¸c˜ao ´e, certamente, uma das mais belas da matem´atica (sen˜ao a mais bela) por relacionar cinco constantes
matem´aticas essenciais:
(a) e, irracional, base do logaritmo natural;
(b) i, unidade imagin´aria, igual a raiz quadrada de −1;
(c) π, irracional, raz˜ao entre diˆametro e raio de uma circunferˆencia;
(d) 1, elemento neutro da multiplica¸c˜ao;
(e) 0, elemento neutro da soma.
A “Identidade de Euler” ´e misteriosa por conseguir relacionar n´umeros irracionais e a unidade imagin´aria com
n´umeros inteiros. Por mais intang´ıvel que seja a compreens˜ao pr´atica da igualdade, ela pode ser demonstrada
utilizando-se a expans˜ao de determinadas fun¸c˜oes por meio da S´erie de Taylor.
S´erie de Taylor
´E uma s´erie de fun¸c˜oes dada por
f(x) =
∞
n=0
an(x − a)n
onde an =
f(n)
(a)
n!
.
Todas as expans˜oes ser˜ao feitas em torno do ponto a = 0. Neste caso, a s´erie ´e tamb´em chamada de S´erie de
Maclaurin. Assim, teremos
f(x) =
∞
n=0
anxn
onde an =
f(n)
(0)
n!
.
Expans˜ao da fun¸c˜ao cos x
Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que
cos x =
∞
n=0
anxn
onde an =
(cos x)(n)
(0)
n!
.
Devemos, ent˜ao, calcular os coeficientes an.
a0 =
(cos x)(0)
0!
=
cos 0
0!
= 1
a1 =
(cos x) (0)
1!
=
(− sin x)(0)
1!
=
− sin 0
1!
= 0
a2 =
(cos x) (0)
2!
=
(− cos x)(0)
2!
=
− cos 0
2!
= −
1
2!
a3 =
(cos x) (0)
3!
=
(sin x)(0)
3!
=
sin 0
3!
= 0
a4 =
(cos x)(4)
(0)
4!
=
(cos x)(0)
4!
=
cos 0
4!
=
1
4!
a5 =
(cos x)(5)
(0)
5!
=
(− sin x)(0)
5!
=
− sin 0
5!
= 0
Dai, obtemos a s´erie
cos x = 1 + 0x −
1
2!
x2
+ 0x3
+
1
4!
x4
+ 0x5
−
1
6!
x6
+ 0x7
+
1
8!
x8
+ · · ·
1

2. cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
+ · · ·
ou, alternativamente,
cos x =
∞
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
∀x ∈ R
Expans˜ao da fun¸c˜ao sin x
Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que
sin x =
∞
n=0
anxn
onde an =
(sin x)(n)
(0)
n!
.
Analogamente a fun¸c˜ao anterior, devemos calcular os coeficientes an.
a0 =
(sin x)(0)
0!
=
sin 0
0!
=
0
0!
= 0
a1 =
(sin x) (0)
1!
=
(cos x)(0)
1!
=
cos 0
1!
=
1
1!
a2 =
(sin x) (0)
2!
=
(− sin x)(0)
2!
=
− sin 0
2!
= 0
a3 =
(sin x) (0)
3!
=
(− cos x)(0)
3!
=
− cos 0
3!
=
−1
3!
a4 =
(sin x)(4)
(0)
4!
=
(sin x)(0)
4!
=
sin 0
4!
= 0
a5 =
(sin x)(5)
(0)
5!
=
(cos x)(0)
5!
=
cos 0
5!
=
1
5!
Dai, temos a s´erie
sin x = 0 +
1
1!
x + 0x2
−
1
3!
x3
+ 0x4
+
1
5!
x5
+ 0x6
−
1
7!
x7
+ 0x8
+
1
9!
x9
+ · · ·
sin x =
x
1!
−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+
x9
9!
+ · · ·
ou, alternativamente,
sin x =
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
x2n+1
∀x ∈ R
Expans˜ao da fun¸c˜ao ex
Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que
ex
=
∞
n=0
anxn
onde an =
(ex
)(n)
(0)
n!
.
Como (ex
)(n)
= ex
para qualquer n ∈ N ∪ {0} ent˜ao (ex
)(0) = e0
= 1. Portanto, an = 1
n! . Logo,
ex
=
∞
n=0
xn
n!
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · · .
F´ormula de Euler
Nesta se¸c˜ao, vamos demonstrar a f´ormula de Euler
eix
= cos x + i sin x.
Da expans˜ao da fun¸c˜ao ex
temos que
eix
=
∞
n=0
(ix)n
n!
= 1 +
ix
1!
+
(ix)2
2!
+
(ix)3
3!
+
(ix)4
4!
+
(ix)5
5!
+
(ix)6
6!
+ +
(ix)7
7!
+ +
(ix)8
8!
+ · · ·
2

3. Sabendo que, para n, k ∈ N ∪ {0},
in
=



1 se n = 4k
i se n = 4k + 1
−1 se n = 4k + 2
−i se n = 4k + 3
obtemos
eix
=
∞
n=0
(ix)n
n!
= 1 + i
x
1!
−
x2
2!
− i
x3
3!
+
x4
4!
+ i
x5
5!
−
x6
6!
− i
x7
7!
+
x8
8!
+ · · ·
eix
=
∞
n=0
(ix)n
n!
= 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
+ · · · + i
x
1!
−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ · · ·
que pode ser reescrito como
eix
=
∞
n=0
(ix)n
n!
=
∞
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
cos x
+i
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
x2n+1
sin x
ou, conforme expans˜oes mostradas anteriormente,
eix
= cos x + i sin x .
Identidade de Euler
Finalmente, para demonstrar a Identidade de Euler, basta tomar um caso particular da f´ormula demonstrada
acima. Para x = π temos
eiπ
= cos π + i sin π
eiπ
= −1 + i · 0
eiπ
+ 1 = 0
quod erat demonstrandum.
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