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TENSÃO MÉDIA E TENSÃO EFICAZ

       O valor médio de uma tensão elétrica é definido como

                                                                            ∫           ( )


       O valor eficaz de uma tensão elétrica corresponde ao valor que deveria ter uma
tensão contínua pra produzir numa determinada resistência a mesma taxa de dissipação
de energia (potência) que produz a tensão alternada. Matematicamente, corresponde a
média quadrática da tensão, dada por

                                                                          ∫ [ ( )]


1) Valor médio de uma tensão cossenoidal
Seja ( )         (      ).

                                                                 ∫        ( )                  ∫           ( )


          ∫          (                   )                           ∫          (              )                          [   (   )]

                 [       (                       )               ( )]               [      (                 )            ( )]

                                 [           (           )                               (         )             ( )]

                                                             [                      ( )]


2) Valor eficaz de uma tensão contínua
Seja ( )       .

                                                             √             ∫ [ ( )]


                             √                       ∫                     √                       (             )




3) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal
Seja a a tensão elétrica em função do tempo ( )                                                        (             ).

                 √ ∫ [                               (               )]             √          ∫                 (            )

Calculando ∫     (                   )           .

                                                                                                                                       1
Definimos,                    , então devemos calcular                               ∫                            .
Da identidade                                   (       ) obtemos que

         ∫                    ∫(                        (        ))                          ∫                         ∫             (    )
                                                                     (               )                   ( (                 ))
                                    (           )
Calculando a integral definida entre os extremos                                 e :
                                                                 (               )                   ( (                    ))
                 ∫        (                 )            [                                                                       ]

             (        )             ( (                      ))          (                           )                ( (                     ))


                  (                 )               (        )                                           (                           )         (   )


                                                         (                   )               (           )

                                (       )           (        )           (           )           (           )          (        )

                                                            (        )           (           )

Então,

                                                         √
                                                                                         √

4) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal com componente contínua
Seja a função ( )                 (       ).



                                    √ ∫ [                                            (                       )]


                 √ ∫ [                                           (               )                                (                  )]


         √ ∫                   ∫                                 (               )                       ∫                       (             )

Como demonstrado em 2) e 3),

                                            ∫
                                            (tensão eficaz da componente DC)
e


                                                                                                                                                       2
∫                   (                       )
                                          (tensão eficaz da componente AC)
Calculamos, então, a integral do meio

              ∫                       (                   )                                    ∫           (               )

                                                          [       (                        )               ]

                                  [       (           )                                            (       )               ]

                                  [       (       )                                            (       )               ]

                                                              [                                ]
Então,

                                      √                                           √


5) Tensão média obtida de retificador meia onda com entrada senoidal e diodo
ideal

Seja o sinal retificado

                                                                  (           )                    [           ]
                              ( )
                                                                                                   (           ]



                                              (∫                          (       )            ∫               )


              ∫           (   )                       [               (           )]                   (           (       )   )

                     (        ( )             )                       (                )




                                                                                                                                   3
6) Tensão média obtida de retificador de onda completa com entrada senoidal e
diodo ideal

Seja o sinal retificado ( )          (     ). A integração será entre               e       , pois
o período dessa forma de onda é metade do período da senóide.



                          (∫         (     )     )          ( ∫       (   )     )


                                            ( )
                                    (integral calculada em (5))




Observações

1) Os intervalos de tempo     e      podem, conveniente, na maioria dos casos, ser
escolhidos como, respectivamente, 0 e T. Este é o período da (cos)senóide, o inverso da
frequência.


2)                é a frequência angular. Daí, tiramos que                    . Esta igualdade foi
bastante utilizada para simplificar as equações algébricas.

3) Foram utilizadas as seguintes identidades trigonométricas
                            (      )
                            (      )

                                                            (     )
Esta última identidade é obtida por meio da substituição da relação fundamental da
trigonometria (                     ) na igualdade    ( )                   .

4) Para cálculos de sinais elétricos em regime permanente é indiferente a escolha da
função seno e cosseno. Ambas as funções estão relacionadas por uma defasagem de
rad, que pode estar inclusa na defasagem genérica nas funções utilizadas. Em outras
palavras, o formato da onda é mesmo, muda apenas o “ponto de inicio” da mesma.




                                                                                                4

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Tensão média e tensão eficaz

  • 1. TENSÃO MÉDIA E TENSÃO EFICAZ O valor médio de uma tensão elétrica é definido como ∫ ( ) O valor eficaz de uma tensão elétrica corresponde ao valor que deveria ter uma tensão contínua pra produzir numa determinada resistência a mesma taxa de dissipação de energia (potência) que produz a tensão alternada. Matematicamente, corresponde a média quadrática da tensão, dada por ∫ [ ( )] 1) Valor médio de uma tensão cossenoidal Seja ( ) ( ). ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] [ ( )] 2) Valor eficaz de uma tensão contínua Seja ( ) . √ ∫ [ ( )] √ ∫ √ ( ) 3) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal Seja a a tensão elétrica em função do tempo ( ) ( ). √ ∫ [ ( )] √ ∫ ( ) Calculando ∫ ( ) . 1
  • 2. Definimos, , então devemos calcular ∫ . Da identidade ( ) obtemos que ∫ ∫( ( )) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ( )) ( ) Calculando a integral definida entre os extremos e : ( ) ( ( )) ∫ ( ) [ ] ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Então, √ √ 4) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal com componente contínua Seja a função ( ) ( ). √ ∫ [ ( )] √ ∫ [ ( ) ( )] √ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) Como demonstrado em 2) e 3), ∫ (tensão eficaz da componente DC) e 2
  • 3. ( ) (tensão eficaz da componente AC) Calculamos, então, a integral do meio ∫ ( ) ∫ ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ] Então, √ √ 5) Tensão média obtida de retificador meia onda com entrada senoidal e diodo ideal Seja o sinal retificado ( ) [ ] ( ) ( ] (∫ ( ) ∫ ) ∫ ( ) [ ( )] ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 3
  • 4. 6) Tensão média obtida de retificador de onda completa com entrada senoidal e diodo ideal Seja o sinal retificado ( ) ( ). A integração será entre e , pois o período dessa forma de onda é metade do período da senóide. (∫ ( ) ) ( ∫ ( ) ) ( ) (integral calculada em (5)) Observações 1) Os intervalos de tempo e podem, conveniente, na maioria dos casos, ser escolhidos como, respectivamente, 0 e T. Este é o período da (cos)senóide, o inverso da frequência. 2) é a frequência angular. Daí, tiramos que . Esta igualdade foi bastante utilizada para simplificar as equações algébricas. 3) Foram utilizadas as seguintes identidades trigonométricas ( ) ( ) ( ) Esta última identidade é obtida por meio da substituição da relação fundamental da trigonometria ( ) na igualdade ( ) . 4) Para cálculos de sinais elétricos em regime permanente é indiferente a escolha da função seno e cosseno. Ambas as funções estão relacionadas por uma defasagem de rad, que pode estar inclusa na defasagem genérica nas funções utilizadas. Em outras palavras, o formato da onda é mesmo, muda apenas o “ponto de inicio” da mesma. 4