Gabarito da 7ª lista de exercícios do 3º ano

7ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 3° ANO
TERESÓPOLIS, AGOSTO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
π.62 6.6
GABARITO A 
4 2
A  9.π  18
Resposta da questão 1:
[E] A  9.( π  2) unid2

Calculando a distância entre os pontos dados, temos: Resposta da questão 4:
dAB   2  6  2
  4  2   10
2 [C]

dAC   2  2 2   4  2 2 6 x y 1
Equação da reta 30 5 1  0  x  3y  15  0
dBC   6  2 2   2  2 2 8
30 15 1
Logo, o triângulo é retângulo (6, 8 e 10), o diâmetro da 5  3.10  15
Raio da circunferência: R   5 10
circunferência é a hipotenusa.
Portanto: 12  ( 3)2
R = 5 cm e o centro é o ponto médio entre A e B, isto é:
 2  6 4  ( 2)  Equação da circunferência:
C ,   C  2,1 .
 
2
 2 2  (x  5)2  (y  10)2  5 10
A equação da circunferência será:
 x  22   y  12  25  x2  y2  4x  2y  20  0 . Fazendo x = 0, temos:

Resposta da questão 2: 25 +(y-10)2  250
[C]
(y  10)2  225  y  25 ou y  5
2 2
(x – 2) + (y – 3) = 10, pois possui centro C(2, 3) e Raio
R  10. Portanto, 25 – (- 5) = 30.

Resposta da questão 3: Resposta da questão 5:
[C] 02 + 04 + 16 = 22.

Cálculos auxiliares
O lado do Triângulo equilátero vale:
d(A,B)   0  32  5  12  5 uc.

Item (01) – Falso
L 3 5 3
htriângulo   uc  5
2 2

Item (02) – Verdadeiro
L2 3 (5)2 3 25 3
A triângulo    ua
4 4 4

 xy 6
2 2
 Dada a circunferência, (x – 3) + (y – 1) = 25, temos:
Representando o sistema  2 2
no plano Coordenadas do centro C(3,1) e Raio R=5.
 x  y  36
 Portanto, como o triângulo é equilátero, o ponto C
cartesiano temos região mostrada na figura abaixo: pertence à circunferência.

Basta fazer a área do quarto de círculo menos a área do Item (08) – Falso
triângulo retângulo e isósceles: A equação da reta suporte da altura em relação à reta
AB passa pelo ponto médio de A(0,5) e B (3,1) , isto é:
3 
D  ,3  e é perpendicular à reta AB. Logo, possui
2 
3
coeficiente angular mh  .
4

1

Portanto:
3 3 3 15
 y  3  x  2  y  4 x  8 .
4 

A reta que possui o ponto C é a reta definida no item
anterior que, em sua forma geral, é dada por 6x – 8y +
15 = 0.

[B]

Considere a figura abaixo, em que C é o centro da Assim:
circunferência e CO é o seu raio. (x  r)2  (y  r)2  r 2
(x  2 2)2  (y  2 2)2  (2 2)2  x 2  y 2  4 2x  4 2y  8  0

Mas:
4 2  2  2 2  2 2  22  2 8

Portanto, a equação
pedida é:
x2  y2  2 8x  2 8y  8  0.

Temos que Resposta da questão 8:
01 + 04 + 16 = 21.
x  y  2y  x  y  2y  0
2 2 2 2

 (x  0)2  (y  1)2  1. 01) Correto. Completando os quadrados, vem:

Logo, C  (0, 1) e CO  1. x2  y2  2x  2y  6  0  (x  1)2  1  (y  1)2  1  6  0
Como o triângulo STU é equilátero, segue que  (x  1)2  (y  1)2  (2 2)2 .
ˆ 180
OCS   60.
3
Portanto, o centro da circunferência é o ponto
Portanto, do triângulo OCS, obtemos
H  (1 1) e seu diâmetro mede 2  2 2  4 2 cm.
,
SU 2
tg60   SU  2 3.
CO 02) Incorreto. Como Q está inscrito na circunferência,
sua diagonal é igual ao diâmetro da circunferência.
Resposta da questão 7: Desse modo, se é a medida do lado de Q, então:
[B]
2  4 2   4cm.
Seja C(r, r), com r  0
o centro da
04) Correto. Como os lados de Q são paralelos aos
circunferência.
eixos coordenados, segue que os coeficientes
Como a diagonal do
quadrado de lado r vale angulares das retas que contêm as diagonais de Q
são 1 e 1. Além disso, o ponto de encontro das
r 2, segue que:
diagonais de Q é o ponto H. Desse modo, temos
4  r 2  r  2 2. que H é o ponto de interseção das retas y  x e
y  x  2, cujos coeficientes angulares são,
respectivamente, 1 e 1.

08) Incorreto. H não pertence à reta r, pois
1  5  (1)  2.

2

16) Correto. Considere a figura.
As medidas dos lados do triângulo ABC são
dAB  (3 3)2  32  6, dAC  02  62  6 e

dBC  (3 3)  3  6.
2 2

Desse modo, o triângulo ABC é equilátero e seu
baricentro coincide com seu circuncentro. Por
conseguinte, as coordenadas do circuncentro são
03 3 0 036
G ,   ( 3, 3).
 3 3 
 

O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC
mede
( 3)2  32  12  2 3.
Temos que UV AB e VW BC.
Devemos mostrar que UW AC e UW  AC. De fato, o
40
coeficiente angular da reta suporte de AC é 1 e
62
AC  (6  2)2  (4  0)2  4 2 cm.

[B]

Portanto, uma equação da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC é
(x  3)2  (y  3)2  (2 3)2  (x  3)2  (y  3)2  12.

[D]

2 2
Raízes. C1: x – 2x + y – 2y = 0 centro (1,1) e raio 2
2
x − 6x + 8 = 0 2 2
C2: x – 4x + y – 4y = 0 centro (2,2) e raio 8
x = 2 ou x = 4
Vértice. A=  82
 
. 2
2
 6
b ( 6)
xv   3
2a 2 1 Resposta da questão 12:
[D]
Δ 4
yv    1
4  a 4 1 2 2
Equação da circunferência: (x – 3) + ( y – 1 ) = 25
Intersecções com o eixo y .(x = 0 )
V(3,-1) e raio R  2
(0-3) + (y – 1) =25  y = 5 ou y = -3 (veja a figura)
2 2

Logo, a equação da circunferência O ponto P (0,a) pertence ao eixo y. Portanto, a resposta
D é a correta;

será  x  3   y –  1 
2 2 2
 2 Se a < -3 ou a > 5, P é externo à circunferência.

 x  32   y  1  2
2

[A]

3

2 2
 5 2
 x     y  4    
2

 3  3
2
 5
 x     y  4 
2 4
 3 9

y

B(1,7)

[B]

r 4-r
Com o eixo x( y = 0) C(5,4)
(x - 4) + (0 – 3) = 25  x = 8 ou x = 0 logo os pontos
2 2
r 2
são (0,0) ou (8,0) 3
3
Com o eixo y ( x = 0)
(0-4) + (y-3) = 25  y = 0 ou y = 6, logo os pontos são
2 2 A(1,1)
(0,0) e (0,6)
x

6.8
Portanto a área será A =  24 Resposta da questão 15:
2 [C]
2 2
x + y = 1, centro (0,0) e raio 1 e x – y + b = 0 é a
equação geral da reta
Utilizando a fórmula da distância de ponto à reta, temos:
Distância do centro a reta é igual à medida do raio

ax o  by o  c 1.0  1.0  b
r 1
a2  b2 12  12
 b  2 b 2

Considerando somente o b positivo temos b = 2

dA,C = dB,C = 5
[D]
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
assinalado, temos: (Falsa) - o diâmetro é 4cm
(Verdadeira) - A = .2 = 4 cm
2 2
2 2 2
(4 - r) = r + 2  8r = 12  r = 2/3
2 2 2 (Verdadeira) - (x – 0 ) +( y – 0 = 2

E o centro C(1 + r, 4) = (5/3, 4)
5.
Logo a equação da circunferência será:
[B]

Completando os quadrados, obtemos:

4

2 C   0, 3 
  2 2
y  3  9 
x  y  3 y  0  ( x  0)  
2 2 2  2 b) (x - 2) + (y - 3) = 25/2

 2 4
r  3  D3
2 Resposta da questão 30:
[A]

a) (4, 3)
b) 4x - 3y - 7 = 0

a) P (- 2, 0) e Q (0, 1)
2 2
b) (x + 1) + [y - (1/2)] = 5/4

[B]

Sabendo que o terceiro vértice pertence à circunferência
[D]
e que a altura do triângulo mede 3, segue que
PO  h  3. Logo, o terceiro vértice é o ponto P.
Queremos determinar a equação da reta suporte do
[D]
ˆ
lado MP, pois tg NMP  tg 60  3  0.
y3  3  ( x  0)  y  3  x  3. Resposta da questão 36:
[D]
6π u.a. 2 2
a) C: (x-1) + (y -2) = 1, 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ y ≤ 3
[E] b) π

[D] [D]

[B] [B]

[A] [B]

[B] FVVFF

(9/14, -2/7). [B]

[B] [E]

[B] [A]

[C] [D]

a) x - y = -1

5

Gabarito da 7ª lista de exercícios do 3º ano

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Destaque

Semelhante a Gabarito da 7ª lista de exercícios do 3º ano

Gabarito da 7ª lista de exercícios do 3º ano