Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Vetores: Definição, Representação, Sistemas de Coordenadas, Representação Gráfica, Representação Simbólica, Vetores em R2, R3, Operações, Lei do Paralelogramo, Soma Algébrica, Diferença, Produto de Vetor por uma Escalar, Produto Escalar, Comprimento ou Norma de um Vetor, Ângulo entre 2 Vetores, Ortogonalidade, Versor ou Vetor Unitário, Produto Vetorial.
Vetores: Definição, Representação, Sistemas de Coordenadas, Representação Gráfica, Representação Simbólica, Vetores em R2, R3, Operações, Lei do Paralelogramo, Soma Algébrica, Diferença, Produto de Vetor por uma Escalar, Produto Escalar, Comprimento ou Norma de um Vetor, Ângulo entre 2 Vetores, Ortogonalidade, Versor ou Vetor Unitário, Produto Vetorial.
Radiciação, simplificação de radicais, operações com radicais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) , racionalização de radicais. Relação de exercícios. Conteúdo completo sobre radicais para o 9 ano e ensino médio.
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EXPRESSÕES NUMÉRICAS - Gabarito das expressões numéricasOtávio Sales
Escola Nova Criança - Monte Santo de Minas - Maio de 2015. Resolução de várias expressões, o arquivo é excelente.
Há centenas de expressões numéricas bem resolvidas.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo B.
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Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
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Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo A.
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Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo B.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
- Conceitos primitivos sobre: ponto, reta e plano;
- Sistema cartesiano ortogonal;
- Distância entre dois pontos;
- Ponto médio;
- Condição de alinhamento entre pontos;
- Área do triângulo e baricentro;
- Equação geral e reduzida da reta;
- Inclinação e coeficiente angular de uma reta;
- Cálculo do coeficiente angular;
- Equação da reta que passa por um ponto;
- Posição relativa entre duas retas;
- Atividades.
Demonstração de como se calcula o valor devido de Imposto de Renda por meio da Tabela Progressiva disponibilizada pela Receita Federal.
O documento também tem como objetivo demonstrar que o cálculo utilizando a tabela com seu respectivo valor de dedução ao final é equivalente ao cálculo progressivo, no qual cada alíquota incide somente sobre o montante remanescente da faixa anterior.
Por que "menos com menos dá mais"? Por que a multiplicação de um número negativo por outro número negativo resulta em um positivo? Este artigo pretende responder essa pergunta utilizando-se da álgebra dos axiomas de corpo dos números reais.
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
Resumo de Álgebra Linear
- Transformações Lineares
- Determinantes
- Produto Interno
Resumo feito com base no livro "Álgebra Linear e Aplicações", de autoria de Callioli, Domingues e Costa. Ed. Atual. 6ª ed. rev.
1. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de
intersecção.
(a) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗ ( ) o vetor diretor da reta e ⃗ ( ) o vetor diretor da reta ,
verificaremos se ⃗ e são L.D. ou L.I..
⃗ não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, não
paralelos.
Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas.
(I)
(II)
(III)
Isolando de (III) e substituindo em (II):
( )
Substituindo em (III):
Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros:
Logo, e é a solução do sistema.
Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ).
(b)
O vetor diretor de r é ( )e⃗ ( ) o vetor diretor de s.
Observa-se que ⃗ , então ⃗ e são paralelos e r e s são paralelas.
(c)
(I)
(II)
(III)
O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ⃗ ( ). Como não é possível
escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.
Substituindo na reta s, temos:
Substituindo em (I) e (II):
1
2. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Foi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por
, e . Portanto, ( ).
(d)
O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. Como não é
possível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas.
Pela equação da reta r, temos que:
Pela equação da reta s, temos que:
Substituindo a coordenada z:
Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos:
Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecção
entre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas.
2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas
respectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo
( ), determine A e B.
s
B
R M C
A
r
2
3. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
i) Parte 1: para encontrar o ponto B
Igualando as coordenadas de r e s:
Substituindo na primeira equação:
( )
Então:
Então ( )
ii) Parte 2: para encontrar o ponto A
( )
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Então ⃗⃗⃗⃗⃗ . /
Logo:
̅̅̅̅
̅̅̅̅; igualando-se as coordenadas tem-se:
Resolvendo o sistema encontra-se
Substituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M.
( )
Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintes
relações:
Das equações acima: , e , portanto ( ).
3
4. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
3. Estude a posição relativa das retas r e s:
(a) ( ) ( )
������
Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica:
Substituindo na segunda equação:
Admitindo que :
������
Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( )
( ).
Verificaremos se ( ) são L.D.:
, logo são L.D. e as retas s e r são paralelas.
– Substituindo ( ) em s:
Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas.
(b)
������ ������
Escrevendo r na forma paramétrica:
Da segunda equação temos , substituindo na primeira:
Admitindo ,
������
Escrevendo s na forma paramétrica:
Da segunda equação temos , substituindo na primeira:
( )
Se então ( )
Admitindo ,
4
5. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
������
Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( )
( ) ( ).
não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas.
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗
[⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Então r e s são concorrentes.
(c)
( ) ( )
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
(d)
������
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
Substituindo na segunda
Substituindo em
( )
Admitindo
������
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
5
6. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( )
– Substituindo as coordenadas de S na equação de r
A igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes.
(e)
( ) ( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são concorrentes.
(f)
Informações:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são concorrentes.
(g)
������
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:
Da segunda equação obtemos:
6
7. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo na primeira
Substituindo em
( )
Admitindo
������
Informações:
( )
( )
( )
. / ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
(h)
( ) ( )
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗
Logo, r e s são reversas.
7
8. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
4. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ). Estude, segundo
valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação
geral do plano determinado por elas.
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
* +
Logo, r e s nunca serão paralelas.
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
Logo, se
e se
Com temos ( ) ( ).
Seja (
) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( ) ( ) ( )
5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de .
(a)
Informações:
( ) . / ( ) ( ) ( )
8
9. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( )
Então r e s formam um plano.
Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( )
(b)
Informações:
( ) ( )
( ) ( )
( )
– Substituindo as coordenadas de S na equação de r
Igualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas.
Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano será
determinado por ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do
mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] .
[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
( ) ( ) ( ) ( )
6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenha
o ponto de intersecção P.
(a)
9
10. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
( ) ( )
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de r em π:
( )
Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção:
( ) ( ) ( )
(b)
( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:
(I)
(II)
(III)
Das equações (II) e (III), e .
Substituindo em (I): (sentença matemática falsa)
Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em .
(c)
������ ( ) ( ) ( )
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
10
11. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo na segunda
Substituindo em
Admitindo
������
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:
(I)
(II)
(III)
Substituindo (I) e (III) em (II):
Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π.
(d)
������
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:
Da primeira equação obtemos:
Substituindo na primeira
( )
Substituindo em
Admitindo
11
12. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
������
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:
A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.
(e)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Igualando as coordenadas de r às de π:
(I)
(II)
(III)
Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistema
Somando as duas equações obtém-se
Substituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto de
intersecção P
( )
12
13. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(f)
Informações:
( )
( )
⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π
⃗ ⃗
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:
( ) ( ) ( )
A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.
7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
Informações:
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )
Para que r seja paralela ao plano π, os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ devem ser coplanares, ou seja,
linearmente dependentes.
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso a
informação dada, obtenha condições sobre m e n.
Informações:
( ) ⃗ ( )
( )
(a) r e π são paralelos;
Para que r e π sejam paralelos, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja
⃗
13
14. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
e R não deve pertencer ao plano π, ou seja,
√
Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √
(b) r e π são transversais;
Para que r seja transversal a π, basta que e ⃗ não sejam ortogonais, portanto,
(c) r está contida em π;
Para que r esteja contida em π, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja
⃗
e R deve pertencer ao plano π, ou seja,
√
Logo, r está contida em π se, e somente se, √ .
9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2.
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.
Verificaremos se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita no
conjunto *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +.
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
Então, π1 e π2 são paralelos.
( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de .
(I)
(II)
(III)
Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se .
Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e os
planos π1 e π2 são iguais.
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2.
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
14
15. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Então, π1 e π2 são transversais.
(c)
⃗⃗⃗⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal a π2. Observamos
que um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são também
paralelos.
Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente ao
plano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 e
π1 e π2 são paralelos e distintos.
(d) ( ) ( ) ( )
⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ( )e⃗ ( ) são vetores diretores
de π2.
Se o vetor simultaneamente ortogonal a e⃗ ( ⃗ ) for paralelo à ⃗ , então os planos
são paralelos.
⃗
⃗ | | ( )
⃗ e ⃗ são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais.
10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( )
sejam paralelos e distintos, nos casos:
e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD.
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Obtemos o sistema
(I)
(II)
Isolando de (I) e substituindo em (II),.
A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor ⃗ nulo, que não define plano
algum.
Portanto, e são paralelos se .
15
16. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(a)
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto
e não existe tal que e sejam paralelos e distintos.
(b)
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto
e e são paralelos e distintos quando .
11. Estude a posição relativa dos planos e ( )
( ) ( ).
e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD.
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Obtemos o sistema
(I)
(II)
(III)
Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos,
respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente às
três equações.
Então, os planos e são sempre transversais.
12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo ao
plano de equação .
O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetor
normal é ⃗ ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( )
pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação.
A equação do plano é .
13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( )
( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de .
Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas.
[os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por e
para serem diferentes de ]
16
17. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(I)
(II)
(III)
Da eq. (II):
Substituindo em (I):
Substituindo e em (III): ( ) ( )
Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinte
equação paramétrica:
Na forma vetorial: ( ) ( )
14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π e
perpendicular à reta AB. São dados: , ( ),
( ), ( ) ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ( )
Equação da reta ( ) ( )
Vetor normal do plano π: ⃗ ( )
Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ).
P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à , vetor diretor de r, portanto
( ) ( )
( )
⃗ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
( )
Mas, , então:
17
18. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
Substituindo e em ( ):
Cálculo do vetor diretor:
( )
( ) ( ) ( )
Cálculo do ponto :
( ) ( )
( )
Logo, . / ( ).
15. Verifique se os planos e são perpendiculares.
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de .
e são perpendiculares se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + for LI, ou seja ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +
Os planos e não são perpendiculares.
(b)
Sendo ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao
plano
e são perpendiculares se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ou seja, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Logo, e são perpendiculares.
16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular
aos planos e .
Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, ⃗ , vetor normal
de é simultaneamente ortogonal à ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de , e ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de .
18
19. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗ ⃗
⃗ ( ) ( )
Mas, ( ) , então:
Logo, .
17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s:
(a)
Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica:
������
Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) em
todas as partes da igualdade, temos:
Encontramos então um sistema de equações planares:
(I)
(II)
Subtraindo (II) de (I)
Substituindo em (II)
( )
Admitindo , um parâmetro real
������
A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então
, onde é vetor diretor da reta.
⃗
| | ⃗ ⃗ ( )
Incompleta
19
20. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
(b)
( ) ( )
Rescrevendo a equação de s
Informações:
( )
( ) ( )
( )
( )
Cálculo do vetor diretor da reta
⃗
| | ⃗ ⃗ ( )
A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar.
Igualando as coordenadas:
Resolvendo o sistema encontra-se e .
Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ).
Então
( ) ( )
18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ),
obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ⃗
( )
A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que:
⃗
⃗
| |
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20
21. Geometria Analítica
Lista 5
Posições relativas entre reta e plano
A equação da reta t na forma planar é
������
21