1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC. 2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC. 3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.

1. GEOMETRIA ANAL´
ITICA
−→ − →
Lista 3 - 15. Sejam A, B e C pontos n˜o-colineares, u = AB, v = AC. Prove que, se a e u
a
s˜o de mesmo sentido e o mesmo ocorre com b e v, e se |a| = |b|, ent˜o a + b ´ paralelo a bis-
a a e `
ˆ Em particular, o vetor soma dos versores de u e v ´ paralelo ` bissetriz de B AC.
setriz de B AC. e a ˆ

a e u tem mesmo sentido



b e v tem mesmo sentido =⇒ a + b ˆ
bissetriz de B AC


|a| = |b|

−→
a e u tem mesmo sentido, ent˜o a = λu = λAB
a
−→
b e v tem mesmo sentido, ent˜o b = αv = αAC
a
Os vetores a e b s˜o linearmente independentes, portanto
a
|a + b|2 = |a|2 + |b|2
Mas, |a| = |b|, ent˜o:
a
√ √
|a + b|2 = |a|2 + |a|2 = 2|a|2 ⇒ |a + b| = 2|a| = 2λ|u|
ou
√ √
|a + b|2 = |b|2 + |b|2 = 2|b|2 ⇒ |a + b| = 2|b| = 2α|v|.
Pela hip´tese a + b = λu + αv, ent˜o
o a
1
(a + b) =
|a + b|
1
= (λu + αv) =
|a + b|
1 1
= λu + αv =
|a + b| |a + b|
1 1
=√ λu + √ αv =
2λ|u| 2α|v|
1 1
=√ u+ √ v =
2|u| 2|v|
1 1 1
=√ u+ v
2 |u| |v|
√
1 1 1 1 2 1 1
⇒ (a + b) = √ u+ v ⇒ (a + b) = u+ v
|a + b| 2 |u| |v| |a + b| |u| |v|
√
2
Definimos γ := |a+b|
∈ R+ .
Ent˜o, γ(a + b) =
a 1
u + 1
v ˆ
. Portanto, o vetor a + b ´ paralelo ` bissetriz B AC.
e a
|u| |v|
1

2. Lista 7 – Ex. 6) Considere o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o vetor normal n = (a, b, c).
Mostre que se P = (x0 , y0 , z0 ) ´ um ponto localizado do lado do plano para o qual a normal
e
aponta ent˜o ax0 + by0 + cz0 + d > 0.
a
Seja I o ponto que ´ proje¸ao ortogonal do ponto P sobre o plano π, onde, em coordenadas
e c˜
arbitr´rias, I = (x1 , y1 , z1 ) ∈ π. Ent˜o,
a a
−→
IP = P − I = (x0 , y0 , z0 ) − (x1 , y1 , z1 ) = (x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 ).
−→
O vetor IP ´ paralelo ao vetor normal n do plano π, portanto
e
−→ −→ −→
IP n ⇒ λIP = n, λ ∈ R∗
+ u e IP devem ter o mesmo sentido.
Substituindo,
(a, b, c) = λ(x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 ).
Igualando as coordenadas,
 
a = λx − λx x = a+x1

 0 1  0
 λ
 
b+y1
b = λy0 − λy1 =⇒ y0 = λ

 

c = λz0 − λz1
 x0 = c+z1

λ
Substituindo as coordenadas do ponto P no plano π
a + x1 b + y1 c + z1
ax0 + by0 + cz0 + d = a +b +c +d
λ λ λ
a2 aλx1 b2 bλy1 c2 cλz1
= + + + + + +d
λ λ λ λ λ λ
a2 b 2 c 2
= + + + ax1 + by1 + cz1 + d
λ λ λ
Mas, por hip´tese, I = (x1 , y1 , z1 ) ∈ π ent˜o ax1 + by1 + cz1 + d = 0.
o a
2 2 2
Tamb´m por hip´tese sabemos que λ > 0, logo a > 0, bλ > 0 e cλ > 0.
e o λ
Temos, ent˜o
a
a2 b 2 c 2
ax0 + by0 + cz0 + d = + + > 0.
λ λ λ
Lista 8 – Ex. 2) Dadas as retas r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, 7) + λ(2, 1, −3),
obtenha uma equa¸˜o vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a u = (1, −5, −1).
ca `
Se u ´ paralelo ` reta que queremos determinar a equa¸ao, u ´ o vetor diretor da reta t.
e a c˜ e
A reta t intercepta as retas r e s, ent˜o R ∈ r e S ∈ s s˜o pontos de t. Em coordenadas
a a
gen´ricas temos,
e
R = (λ, 1, 0) S = (−1 + 2t, 2 + t, −7 − 3t)
2

3. da´
ı
−→
RS = S − R = (2t − λ − 1, t + 1, −7 − 3t).
−→
RS ´ vetor diretor da reta t, ent˜o ´ paralelo a u:
e a e `
−→ −→
RS u ⇔ RS = ku, k ∈ R∗
−→
Igualando as coordenadas de RS com as de ku,

2t − λ − 1 = k



t + 1 = −5k


−3t − 7 = −k

Resolvendo o sistema encontramos k = 4 , t = − 9 e λ = − 23 . Substituindo o valor de λ no
1
4 4
23
ponto R, encontramos um ponto pertencente ` t. R = − 4 , 1, 0 . Assim,
a
23
t : X = R + αu = − , 1, 0 + α(1, −5, −1)
4
Lista 8 – Ex. 14) Determine os valores de a e b de modo que os planos x + 2y + z = b e
3x − 5y + 3z = 1 e 2x + 7y + az = 8 se interceptem:
(a) um ponto;
(b) uma reta;
(c) trˆs retas distintas e paralelas.
e
Devemos fazer a discuss˜o do sistema formado pelas equa¸˜es dos trˆs planos em fun¸˜o dos
a co e ca
parˆmetros a e b. Temos o sistema
a

x + 2y + z = b



3x − 5y + 3z = 1


2x + 7y + az = 8

Utilizando o m´todo da elimina¸˜o de Gauss, escrevemos a matriz aumentada e fazemos
e ca
opera¸oes nela objetivando deix´-la na forma escada.
c˜ a
     
1 2 1 b 1 2 1 b 1 2 1 b
 L2 ←3L1 −L2   L3 ←2L1 −L3 
3 −5 3 1 − − − − 0 11 0 3b − 1 − − − − 0 11
− − −→ − − −→ 0 3b − 1
 
2 7 a 8 2 7 a 8 0 −3 2 − a 2b − 8
 
1 2 1 b
L ←2L2 +11L3 
−3 − − − → 0 11
−−−− 0 3b − 1

0 0 22 − 11a 2b − 8
Reescrevendo o sistema teremos

x + 2y + z = b



11y = 3b − 1


(22 − 11a)z = 31b − 91

3

4. Analisando a ultima equa¸ao:
´ c˜
(a) O sistema possui solu¸ao unica se 22 − 11a = 0, ou seja, se a = 2. Neste caso, a intersec¸ao
c˜ ´ c˜
ser´ um ponto.
a
91
(b) O sistema possui infinitas solu¸oes se 22 − 11a = 0 ⇒ a = 2 e 31b − 91 = 0 ⇒ b =
c˜ 31
. Neste
caso, a intersec¸˜o ser´ uma reta.
ca a
91
(c) O sistema n˜o possui solu¸ao real se 22 − 11a = 0 ⇒ a = 2 e 31b − 91 = 0 ⇒ b =
a c˜ 31
. Neste
caso, n˜o intersec¸ao entre os planos.
a c˜
ırculo de centro C = (1, −2) tangente a
P2-GA-Turma E – Ex. 4) Escreva a equa¸ao do c´
c˜
3
reta r : y = − 4 x + 5.
Resolu¸˜o:
ca
Temos as coordenadas do centro do c´ ırculo, logo precisamos apenas da medida do raio para
escrever sua equa¸ao. O valor do raio ´ a distˆncia do centro do c´
c˜ e a ırculo ao ponto de tangˆncia.
e
Mas, esta distˆncia ´ tamb´m a menor distˆncia entre o centro e a reta tangente, portanto, esta
a e e a
distˆncia tamb´m ´ igual ao raio.
a e e
1) Primeira forma
Temos a equa¸ao,
c˜
|ax0 + by0 + c|
d(P, r) = √ (1)
a2 + b 2
onde ax + by + c = 0 ´ a equa¸ao geral da reta e P = (x0 , y0 ).
e c˜
3
r : y = − x + 5 ⇒ 4y = −3x + 20 =⇒ r : 3x + 4y − 20 = 0 (2)
4
Utilizando a equa¸ao (1) para a equa¸˜o da reta r reescrita na forma geral em (2) e para o
c˜ ca
ponto C = (1, −2), temos
|3 · 1 + 4 · (−2) − 20| | − 25| 25
d(r, C) = √ ⇒ d(r, C) = √ = ⇒ d(r, C) = 5
32 + 42 25 5
2) Segunda forma
Podemos calcular a distˆncia entre um ponto e uma reta utilizando a equa¸˜o (3), onde A ´
a ca e
um ponto qualquer da reta e v ´ o vetor diretor de r.
e
−→
AP × v
d(P, r) = (3)
v
4

5. Escrevendo r na forma param´trica temos (com t ∈ R):
e

x = t
r:
y = 5 − 3 t
4
4
Para t = 0 encontramos o ponto A = (0, 5). E, de forma imediata, obtemos v = 1, − 3 . Para
−→
facilitar os c´lculos utilizaremos um vetor paralelo, v = (4, −3). O vetor AC ´ dado por
a e
−→
AC = C − A = (1, −2) − (0, 5) = (1, −7).
Calcula-se o produto vetorial:
i j ˆ
ˆ ˆ k
−→ ˆ ˆ ˆ
AC × v = 4 −3 0 = −28k + 3k = −25k
1 −7 0
−→ ˆ
Assim, AC × v = | − 25| k = 25. A norma de v ´ dada por v =
e 42 + (−3)2 = 5.
Substituindo na equa¸˜o 3, temos
ca
25
d(C, r) = = 5.
5
3) Equa¸ao do c´
c˜ ırculo
Forma reduzida: (x − cx )2 + (y − cy )2 = r2 , onde C = (cx , cy ) ´ o centro e r ´ o raio.
e e
Assim, a resposta do problema ´:e
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 52
Ou, desenvolvendo os quadrados, temos, na forma geral
x2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0
5