O documento aborda a resolução de problemas de geometria analítica, incluindo a determinação de equações de planos e suas relações com retas, além do cálculo de distâncias entre planos e retas. Também explora características de cônicas, focando em hipérboles, como seus elementos principais e a definição como lugar geométrico. O material integra conceitos fundamentais, operações com vetores normais e determinação de posicionalidade entre diversas figuras geométricas.

1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. O plano é determinado pelas retas e ( )
( ), onde . Determine equações gerais dos planos que distam 2 de .
Separando a equação da reta r em duas igualdades: e e admitindo
, encontramos as equações paramétricas:
O plano determinado por r e s é dado por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] , onde ( ) e X é um
ponto genérico do plano.
[⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
Os planos que possuem distância não nula de devem ser paralelos a ele e portanto
possuir o mesmo vetor normal. Logo, os planos paralelos são da forma
.
( ) ( ) ( )
| ( ) |
( ) | |
√ ( )
2. Sejam . Determine:
a) m de modo que os planos ( ) ( ) ( )e
sejam paralelos e distintos.
⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) é o vetor normal do plano .
̂ ̂ ̂
⃗⃗⃗⃗ | | ( )
Os planos e são paralelos se seus vetores normais são linearmente dependentes, id
est, se a razão entre suas coordenadas é constante.
não convém pois torna o vetor normal de nulo.
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2. O ponto ( ) pertence também ao plano , então, não existe plano que
seja paralelo e distinto de . Para , e são paralelos e coincidentes.
b) a posição relativa entre o plano ( ) ( ) ( ) e a reta
( ) ( ).
Se o conjunto *( )( )( )+ for LD a reta e o plano são paralelos.
Calculando o determinante:
| |
Então, a reta é transversal ao plano .
3. Calcule:
a) a distância entre os planos e ;
( ) ( ), ( )
| | √
( ) ( )
√ √ √
b) a distância entre as retas e .
Reescrevendo as equações na forma paramétrica:
r e s são paralelas, então:
( ) ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √( ) ( )
( ) ( )
| | |( )| |( )|
( ) ( ) √
4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:
( ) ( )
,( ) - ,( ) -
Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo
. Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemos
subtrair 1 no primeiro colchete e subtrair 25 no segundo.
,( ) - ,( ) -
2

3. ( ) ( )
Dividindo a equação por 225:
( ) ( )
A equação acima representa uma hipérbole.
Centro: ( ).
√
Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( )
( ) ( )
Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( √ )
( ) ( √ )
Efetuando as translações (considerando o centro como (-1,5)), temos:
( )e ( )
( √ )e ( √ )
Excentricidade:
√
Figura 1 - Gráfico da hipérbole. Em verde está representada a curva com centro na origem. Em azul está a
curva para o centro (-1,5)
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4. 5. Defina hipérbole como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e
indique sua equação geral.
Sejam e pontos distintos, 2c, sua distância, e a, um número real tal que .
O lugar geométrico H dos pontos X tais que | ( ) ( )| chama-se
hipérbole. Cada um dos pontos e é chamado foco da hipérbole, o segmento
é chamado segmento focal, seu ponto médio, centro da hipérbole, e 2c, distância
focal. A reta chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades
(distintas) pertencem a H chama-se corda da hipérbole. [1]
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CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 297
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