O documento aborda conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo gráficos, intersecções, máximos e mínimos locais, além de crescimento e decrescimento. Também discute sequências, sua limitação e utilização do teorema do confronto para determinar limites. Por fim, analisa a continuidade de uma função em um ponto específico.

1. BASES MATEMÁTICAS
Funções, Sequências e Limites
1. Esboce o gráfico de ( ) ( ) e indique as intersecções com o eixo x
e eixo y, pontos de máximo e mínimo locais, se houver e em quais regiões a função é
crescente, decrescente, positiva e negativa.
i) Esboço do gráfico
Tomando como “função base” ( ) , temos seu gráfico (em azul) mostrado
abaixo.
Figura 1 – Gráfico de
Realizando uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade obtemos (
) ( ) (em azul). Com uma translação vertical em 4 unidades para baixo
obtemos ( ) ( ) (em verde).
Figura 2 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) , em verde
Refletindo, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico em que a coordenada y seja
menor que zero obtemos ( ) ( ) (em azul). Finalmente,
refletindo, em relação ao eixo x, todo o conjunto dos pontos do gráfico, obtemos
( ) ( ) (em verde).

2. Figura 3 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) ( ) , em verde
ii) Intersecções com os eixos
O gráfico intercepta o eixo y se, e somente se, .
( ) ( )
Então ( ).
O gráfico intercepta o eixo x se, e somente se, .
( ) ( )
( ) ( )
√ √
Então (√ )e ( √ ).
iii) Máximos e mínimos locais
Os pontos de máximo locais são e .
O ponto de mínimo local possui como abscissa a média entre as abscissas dos pontos de
intersecção com o eixo x. Então:
√ ( √ )
A ordenada é igual a ( ) ( ) ( ) .
Então: ( ).
iv) Crescimento e Decrescimento
A função é crescente quando ( √ ) ( √ ).
A função é decrescente quando ( √ ) (√ ).
v) Positiva e negativa
A função é negativa .

3. 2. Esboce o gráfico de ( ) e dê a equação da assíntota.
Figura 4 – Gráfico de ⁄ , em azul; ⁄( ), em verde e , em violáceo
Primeiramente desenha-se o gráfico azul ( ) . Por meio de uma transformação –
translação horizontal de 3 unidades à esquerda – obtém-se ( ) ( ) (em
verde).
A função f possui uma assíntota vertical de equação (ponto de descontinuidade)
e uma assíntota horizontal de equação (eixo x).
3. Mostre que a sequência é crescente.
A sequência é crescente se, e somente se, para todo .
( ) ( )
Como , claramente, a proposição é verdadeira.
4. Prove que a sequência é limitada.
A sequência é limitada se existir um M tal que , para todo .
Supondo que , devemos provar que | | para todo .
| |
Como necessariamente , pela definição do domínio de sequência, conclui-se que
para todo n natural a seqüencia é menor que 2. Ou seja, existe um M tal que
, quod erat demonstrandum.

4. 5. Prove, utilizando o teorema do confronto, que
( )
Para qualquer sabemos que ( ) [ ].
Então
( )
Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, certamente é um valor
positivo), temos
( )
Considerando que , concluímos pelo teorema do
confronto que
( )
6. Mostre, utilizando o teorema do confronto, que
Para qualquer sabemos que ( ) [ ].
Então
Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, por ser função
exponencial não assume valores negativos)
A sequência , ou, equivalentemente, , tende a zero para valores muito
grandes de n. Simbolicamente .
Pelo teorema do Confronto, conclui-se então que ( ) .
7. Calcule os limites abaixo:
a)
( ) ( )
( ) ( )
( )

5. b)
(√ )(√ )
(√ )
(√ ) (√ )
(√ )
(√ ( ) ) (√ √( ) )
√( ) ( √( ) ) (√( ) )
√
√
c)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
d)
( )( )
( )
Nota: Polinômios, ou seja, expressões do tipo ( )
podem ser reescritas como ( ) ( )( ) ( )( ), onde
são zeros do polinômio.
8. Sabendo que uma função f é contínua no ponto p quando ( ) ( ).
Determine se a função ( ) é contínua em .
Devemos testar a condição
( )
Calculando o limite
( )
Portanto, a função f é contínua no ponto ( ).