1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais. 2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto. 3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.

1. Por que “menos com menos d´ mais”?
a
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
Quando efetuamos o c´lculo (−1) × (−1) obtemos a resposta 1 porque “menos com menos d´ mais”. Mas, por
a
a
que isso acontece? O que justifica essa propriedade?
Primeiramente, cumpre esclarecer que estamos tratando de n´meros reais. O conjunto dos n´meros reais (R)
u
u
´ um corpo, ou seja, ´ um conjunto dotado de duas opera¸˜es bin´rias + e · (soma e multiplica¸˜o, respectivae
e
co
a
ca
mente), que obedecem certos axiomas. Estes s˜o proposi¸˜es que n˜o necessitam de demonstra¸˜o, s˜o hip´teses
a
co
a
ca a
o
iniciais criadas. Os mais importantes para esta demonstra¸˜o ser˜o enumerados a seguir. Observe que muitos
ca
a
deles parecem bastante ´bvios.
o
Sejam x, y, z n´meros reais quaisquer, ´ valido:
u
e
1. (x + y) + z = x + (y + z) (propriedade associativa da soma);
2. x + y = y + x (propriedade comutativa da soma);
3. existe 0 real tal que x + 0 = x (existˆncia de elemento neutro da soma);
e
4. existe −x real tal que x + (−x) = 0 (existˆncia de elemento oposto);
e
5. x · y = y · x (propriedade comutativa da multiplica¸˜o);
ca
6. existe 1 real tal que x · 1 = x (existˆncia de elemento neutro da multiplica¸˜o);
e
ca
7. x(y + z) = xy + xz (propriedade distribuitiva da multiplica¸˜o em rela¸˜o ` soma).
ca
ca a
Vamos a demonstra¸˜o...
ca
Propriedade 1 Inicialmente, mostremos que para qualquer a real ´ verdade que a · 0 = 0. Ou seja, que
e
qualquer n´mero real multiplicado por zero resulta em zero.
u
Partamos da express˜o
a
a+a·0
que pelo axioma 6 ´ o mesmo que
e
a · 1 + a · 0.
Utilizando, agora, o axioma 7 obtemos
a(1 + 0)
que, pelo axioma 3 ´ o mesmo que
e
a·1
equivalente, pelo axioma 6, a
a.
Finalmente, pelo axioma 3 ´ o mesmo que
e
a + 0.
Em resumo,
a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a(1 + 0) = a · 1 = a = a + 0
donde conclui-se que se a + a · 0 = a + 0, ent˜o a · 0 = 0, como quer´
a
ıamos demonstrar.
1

2. Propriedade 2 Agora, mostremos que (−1)a = −a, para qualquer n´mero real. Ou seja, que a multiplica¸˜o
u
ca
de um n´mero qualquer por (−1) resulta em seu sim´trico.
u
e
Da express˜o
a
a + (−1)a
obtemos, usando o axioma 6, que
1 · a + (−1)a.
Utilizando o axioma 7, a propriedade distribuitiva, temos
a [1 + (−1)] .
Pelo axioma 4 sabemos que 1 + (−1) = 0, ent˜o,
a
a [1 + (−1)] = a · 0
que pela propriedade demonstrada anteriormente em 1 sabemos que ´ igual a 0.
e
Em resumo,
a + (−1)a = 1 · a + (−1)a = a [1 + (−1)] = a · 0 = 0.
Como a + (−1)a = 0, ent˜o a e (−1)a s˜o elementos sim´tricos, conforme axioma 4, portanto, (−1)a = −a.
a
a
e
Propriedade 3 Finalmente, vamos demonstrar que (−1) · (−1) = 1.
Do axioma 4 sabemos que
1 + (−1) = 0.
Multiplicando-se (−1) em ambos os lados da equa¸˜o obtemos
ca
(−1) [1 + (−1)] = 0(−1).
Utilizando, do lado esquerdo, o axioma 7 e do lado direito a Propriedade 1, obtemos
(−1) · 1 + (−1)(−1) = 0.
Da Propriedade 2 sabemos que (−1) · 1 = −1, ent˜o
a
−1 + (−1)(−1) = 0.
Somando-se 1 em ambos os lados da equa¸˜o temos
ca
[−1 + (−1)(−1)] + 1 = 0 + 1.
Obtemos, com os axiomas 1 e 2 do lado esquerdo e com o axioma 3 do lado direito,
(−1 + 1) + (−1)(−1) = 1.
Com o axioma 4 temos que
0 + (−1)(−1) = 1.
Finalmente, com o axioma 3, conclu´
ımos que
(−1)(−1) = 1.
Propriedade 4 A fim de generalizar o resultado obtido na Propriedade 3, vamos demonstrar que, para
quaisquer a e b reais positivos ´ verdade que (−a)(−b) = ab. Ou seja, que a multiplica¸˜o de dois n´meros
e
ca
u
negativos quaisquer resulta em um n´mero positivo.
u
Pela Propriedade 2 sabemos que −a = (−1)a e −b = (−1)b, ent˜o
a
(−a)(−b) = (−1)a · (−1)b
2

3. que pode ser reescrito, utilizando o axioma 5, como
(−1)(−1)a · b.
Pela Propriedade 3 sabemos que (−1)(−1) = 1 ent˜o
a
(−1)(−1)a · b = 1a · b
que, pelo axioma 6, equivale a
a · b.
Em resumo
(−a)(−b) = (−1)a · (−1)b = (−1)(−1)a · b = 1a · b = a · b = ab.
3