Dedução das equações de tensão e corrente dos circuitos de primeira ordem em regime transitório (RC e RL). Contato: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br

1. REDES DE PRIMEIRA ORDEM
1) Resposta natural de um circuito RL
Figura 1: Circuito RL para resposta natural
Aplicando-se a lei de Kirchoff das tens˜es obt´m-se
o e
VL + VR = 0
di di di R
L + Ri = 0 ⇒ L = −Ri ⇒ =− i
dt dt dt L
di R di R
= − dt ⇒ =− dt + k
i L i L
R R R
ln i = − t + k ⇒ i(t) = e− L t+k ⇒ i(t) = Ce− L t
L
Utilizando-se a condi¸˜o inicial i(0) = Is
ca
R
i(0) = Is = Ce− L t·0 ⇒ C = Is
Logo,
R
iL (t) = Is e− L t
A tens˜o no indutor ´ dada por
a e
di d R R R
vL = L ⇒ vL = L (Is e− L t ) ⇒ vL = −LIs e− L t
dt dt L
R
vL (t) = −Is Re− L t
2) Resposta natural de um circuito RC
Figura 2: Circuito RC para resposta natural
1

2. Aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes obt´m-se
e
dv v dv v
iC = iR ⇒ C =− ⇒ =−
dt R dt RC
dv 1 dv 1 t
=− dt ⇒ =− dt + k ⇒ ln v = − +k
v RC v RC RC
t t
v(t) = e− RC +k ⇒ v(t) = Ce− RC
Utilizando-se a condi¸˜o inicial v(0) = V0
ca
0
v(0) = V0 = Ce− RC ⇒ C = V0
t
vC (t) = V0 e− RC
A corrente no capacitor ´ dada por
e
dv d t 1 − t
iC = C ⇒ iC (t) = C (V0 e− RC ) ⇒ iC (t) = −CV0 e RC
dt dt RC
t
iC (t) = − V0 e− RC
R
3) Resposta ao degrau de um circuito RL
Figura 3: Circuito RL para resposta ao degrau
Aplicando-se a lei de Kirchoff das tens˜es obt´m-se
o e
es = VR + VL
di es − Ri di di dt
es = Ri + L ⇒ = ⇒ =
dt L dt es − Ri L
di dt
= +k
es − Ri L
Define-se u := es − Ri ent˜o di = − du
a R
1 du dt 1 t R
− = + k ⇒ − ln u = + k ⇒ u = e− L t+k
R u L R L
R es C − R t
es − Ri = Ce− L t ⇒ i(t) = − e L
R R
Utilizando-se a condi¸˜o inicial i(0) = I0
ca
es C − R ·0 es C
i(0) = I0 = − e L ⇒ I0 = − ⇒ C = es − I0 R
R R R R
2

3. es es − I0 R − R t
i(t) = − e L
R R
R
iL (t) = es
R
+ I0 − es
R
e− L t
A tens˜o no indutor ´ dada por
a e
di d es es − R t es R −Rt
vL = L ⇒ vL = L + I0 − e L = −L I0 − e L
dt dt R R R L
R
vL (t) = (es − I0 R) e− L t
4) Resposta ao degrau de um circuito RC
Figura 4: Circuito RC para resposta ao degrau
Aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes obt´m-se
e
is = iR + iC
dv v RIs − v dv dv dt
Is = C + ⇒ = ⇒ =
dt R RC dt RIs − v RC
Define-se u := RIs − v ent˜o dv = −du
a
du 1 t t t
− = dt + k ⇒ − ln u = + k ⇒ u = e− RC +k ⇒ u = Ce− RC
u RC RC
t t
RIs − v = Ce− RC ⇒ v(t) = RIs − Ce− RC
Utilizando-se a condi¸˜o inicial v(0) = V0
ca
0
v(t) = V0 = RIs − Ce− RC ⇒ V0 = RIs − C ⇒ C = RIs − V0
t
v(t) = RIs − (RIs − V0 )e− RC
t
vC (t) = (V0 − RIs )e− RC + RIs
A corrente no capacitor ´ dada por
e
dv d t 1 − t
ic = C ⇒ ic = C (V0 − RIs )e− RC + RIs = −C(V0 − RIs ) e RC
dt dt RC
t
iC (t) = Is − V0
R
e− RC
3