1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários.
3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
[1] O documento descreve os passos para encontrar a assíntota vertical e esboçar o gráfico de uma função racional. [2] Primeiro, determina-se o valor da assíntota vertical resolvendo a equação do denominador igual a zero. [3] Em seguida, calculam-se os limites laterais à esquerda e à direita desse ponto para determinar o comportamento da função nesses pontos.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários.
3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
[1] O documento descreve os passos para encontrar a assíntota vertical e esboçar o gráfico de uma função racional. [2] Primeiro, determina-se o valor da assíntota vertical resolvendo a equação do denominador igual a zero. [3] Em seguida, calculam-se os limites laterais à esquerda e à direita desse ponto para determinar o comportamento da função nesses pontos.
Este documento discute a reticulação do polímero poli(álcool vinílico) (PVA) usando bórax para produzir um hidrogel. O PVA reticulado tem aplicações potenciais em biossensores e sistemas de liberação controlada de fármacos. O estudo produziu com sucesso um hidrogel de PVA reticulado misturando cola branca com uma solução de bórax, demonstrando a transição sol-gel através da absorção e liberação controlada de água.
1) A expressão matemática do título é equivalente a 1. Isto é demonstrado através de propriedades de limites e de matrizes invertíveis.
2) A igualdade trigonométrica sen2ρ + cos2ρ = 1 é demonstrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por pontos de uma circunferência.
3) É mostrado que a expressão cosh x(1 - tanh2x) é igual a 1, definindo funções hiperbólicas e reduzindo a uma progressão
O documento apresenta um estudo estatístico sobre a criminalidade na cidade de São Paulo nos últimos 5 anos. Os principais resultados mostram que: (1) os homicídios dolosos tiveram uma média de 424,6 por trimestre com tendência de queda; (2) os roubos apresentaram alta variabilidade com tendência de queda; (3) as prisões efetuadas e armas apreendidas tiveram correlação positiva com os homicídios e roubos. O documento analisa vários outros crimes e atividades policiais.
O documento apresenta os principais conceitos e técnicas de cálculo diferencial e integral de funções de uma variável, incluindo derivação, integração, regras de derivação, integração por partes e resolução de exercícios.
Este documento analisa as estatísticas criminais de São Paulo nos últimos 5 anos. Estuda os números de homicídios, roubos, furtos de veículos, estupros e prisões, e encontra fortes correlações entre homicídios e armas apreendidas, assim como entre roubos e prisões. Faz estimativas e projeta que o número ideal de homicídios por ano será atingido no segundo trimestre de 2010.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1. Os alunos construíram um sensor de campo magnético usando uma bobina enrolada em um tubo de PVC para medir o campo magnético de um ímã.
2. Eles passaram o ímã rapidamente através da bobina para induzir uma tensão elétrica de acordo com a lei de Faraday.
3. Usando medições do osciloscópio, eles calcularam a área sob a curva da tensão induzida para determinar o valor do campo magnético, que teve um erro de 4% em comparação com
Alguns exercícios de
Geometria Analítica (vetores) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento discute as fontes não renováveis de energia, com foco nos petróleos ultra-pesados. Apresenta as seguintes informações essenciais:
1) Petróleos ultra-pesados têm densidade menor que 10°API e são encontrados em depósitos no Canadá, Venezuela, Rússia e outros países.
2) Na Venezuela, a faixa do Orinoco contém os 2o maiores depósitos de petróleo ultra-pesado do mundo, com estimativas de reservas entre 60-500 bilhões de barris.
3) A
1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais.
2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto.
3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.
- Uma usina tem água de resfriamento saindo a 35°C e entrando em uma torre de resfriamento a 100 kg/s. A água é resfriada a 22°C e o ar entra a 100 kPa e 20°C e sai saturado a 30°C.
- Fazendo balanços de massa e energia, calcula-se a vazão de ar para a torre como 82,03 m3/s e a vazão de água de reposição como 1,802 kg/s.
O documento descreve um projeto final de uma caixa de ferramentas realizado por estudantes. O projeto inclui o desenho de várias peças e ferramentas comuns utilizando o software SolidWorks, além de montagens intermediárias e a montagem final da caixa de ferramentas.
Este documento prova que o supremo de um conjunto CA é igual a c vezes o supremo de A, onde c é um escalar e A é um subconjunto dos reais. Ele também prova que o ínfimo de CA é igual a c vezes o ínfimo de A, usando a propriedade de que se w é o menor majorante de A, então cw é o menor majorante de CA.
O documento apresenta exercícios sobre limites laterais, limites de funções e continuidade. No primeiro exercício, é pedido para calcular limites laterais de funções no ponto x=1. No segundo, esboçar gráficos de funções e calcular limites no ponto x=1. No terceiro, dar um exemplo onde o limite do módulo de f existe, mas o limite de f não existe quando x vai a 0.
O documento discute funções exponenciais e equações exponenciais. 1) Funções exponenciais são definidas como f(x) = ax, onde a > 0 e a ≠ 1. Se a > 1 a função é crescente, se 0 < a < 1 é decrescente. 2) Equações exponenciais têm a incógnita no expoente, como ax1 = ax2, cuja solução é x1 = x2. Os exercícios exemplificam como encontrar valores de x em equações exponenciais.
Este documento trata de funções exponenciais e equações exponenciais. Ele define funções exponenciais, mostra seus elementos e gráficos quando a > 1 ou 0 < a < 1. Também apresenta exemplos de equações exponenciais e como resolvê-las. Por fim, contém exercícios resolvidos sobre o assunto.
O documento apresenta 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como funções, limites, geometria, álgebra linear e lógica. As questões envolvem cálculos, resolução de equações e sistemas de equações, análise de funções, provas lógicas e geometria espacial.
Este documento é uma apostila sobre cálculo I que introduz o conceito de derivada de uma função real. A derivada representa a inclinação de uma curva em um ponto e pode ser usada para encontrar a equação da reta tangente. A apostila fornece exemplos e exercícios sobre como calcular derivadas e usar suas propriedades.
1. O documento apresenta uma série de exercícios de cálculo diferencial e integral resolvidos. Inclui determinar conjuntos de diferenciabilidade, derivadas, tangentes, aplicação do teorema de Lagrange, desenvolvimento em séries de Taylor e limites.
2. As questões abordam tópicos como derivadas de funções compostas, derivadas implícitas, aplicação de regras como a de Cauchy para calcular limites, estudos de funções como extremos, assíntotas e pontos de inflexão.
3. As respostas
O documento fornece informações sobre um site que disponibiliza exames resolvidos e explicações acadêmicas gratuitamente. O site encoraja a cópia e distribuição dos materiais sob certas condições. Também solicita a contribuição de novos exames, enunciados e explicações por parte dos usuários.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
(1) O documento apresenta 3 questões de cálculo envolvendo integrais e áreas. A primeira questão calcula valores numéricos de integrais definidas. A segunda calcula a área entre duas curvas. A terceira calcula o volume de uma região delimitada por curvas.
Este documento apresenta uma série de exercícios de cálculo que envolvem derivar funções, encontrar equações de retas tangentes e aplicar a regra da cadeia. Os alunos devem calcular derivadas, derivar funções usando regras, encontrar equações de retas tangentes dadas funções e seus pontos e aplicar a regra da cadeia para encontrar derivadas compostas.
O documento descreve os conceitos básicos de funções afins, incluindo sua representação, construção de gráficos, coeficiente angular, coeficiente linear, zero da função e identificação de crescente ou decrescente. Também aborda como resolver sistemas e inequações do 1o grau usando gráficos e estudo de sinal.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo de limites, continuidade de funções e o teorema do valor intermediário.
2) Os exercícios 1-15 pedem para calcular limites de funções. Os exercícios 16-19 abordam continuidade e limites laterais.
3) Os exercícios 20-30 tratam de continuidade de funções, existência de zeros em intervalos e aplicações do teorema do valor intermediário.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) O documento descreve alguns conceitos sobre funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento da função quando x tende para o infinito.
2) Dois exemplos são dados para ilustrar esses conceitos, esboçando os gráficos das funções f(x) = 2x+1/(x-2) e y = x2 - 2x + 2/(x-1).
3) Os gráficos mostram retas assintotas verticais quando o denominador se anula
O documento descreve o cálculo do preço faturado com a operação de recompra de energia elétrica não utilizada pelo comprador. O preço faturado é menor que o preço contratado se o preço de recompra for maior que o preço contratado, e maior que o preço contratado se o preço de recompra for menor que o preço contratado.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Apresentação para a disciplina de Tecnologia de Produção de Etanol - UFABC
Contato: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
Este documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre produto escalar e geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de ângulos entre vetores, determinação de vetores ortogonais, decomposição de vetores e projeções de vetores.
1. Este documento apresenta o projeto final de um grupo de estudantes para a disciplina de Fundamentos de Desenho e Projeto da Universidade Federal do ABC.
2. O projeto consiste no desenvolvimento de uma caixa de ferramentas utilizando o software CAD SolidWorks 2008, com o objetivo de aprender conceitos de representação técnica e uso do software.
3. Várias peças da caixa de ferramentas, como chaves, bits, alicates e outros, foram desenhadas individualmente e em montagens intermediárias antes da montagem final da caixa. Estat
1. ¸˜ ´
FUNCOES DE UMA VARIAVEL
x2 −x
Exerc´
ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) =
a 1+3x2
.
1. Dom´
ınio da fun¸˜o
ca
Dom f = R
2. Intersec¸˜o com os eixos
ca
02 −0
Para x = 0 temos f (0) = 1+3·02
= 0. Logo, o ponto (0, 0) pertence a graf f.1
x2 −x
Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ 1+3x2
= 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Logo, o ponto (1, 0) pertence a
graf f.
3. Derivada de primeira ordem, pontos de m´ximo e m´
a ınimo locais e regi˜es de crescimento e
o
decrescimento
d (x2 − x) (1 + 3x2 ) − (x2 − x)(1 + 3x2 )
f (x) = f (x) = =
dx (1 + 3x2 )2
(2x − 1)(1 + 3x2 ) − (x2 − x)6x 2x + 6x3 − 1 − 3x2 − 6x3 + 6x2
= =
(1 + 3x2 )2 (1 + 3x2 )2
d 3x2 + 2x − 1
∴ f (x) = f (x) =
dx (1 + 3x2 )2
Igualamos f (x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de m´ximo e m´
a ınimo local.
3x2 + 2x − 1 1
f (x) = 0 ⇒ 2 )2
= 0 ⇒ 3x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ou x =
(1 + 3x 3
Substituindo os valores de x encontrados acima na fun¸˜o f , achamos os pontos
ca
1 1 1 1 −1
P1 = (−1, f (1)) = 1, e P2 = ,f = ,
2 3 3 3 6
Como f (1) > f ( 1 ), concluimos que P1 ´ ponto de m´ximo local e P2 ´ ponto de m´
3 e a e ınimo local.
Para determinar as regi˜es de crescimento e decrescimento da fun¸˜o devemos estudar o sinal da
o ca
fun¸˜o f (x). Esta fun¸˜o ´ racional, logo precisamos estudar o sinal das fun¸˜es do numerador
ca ca e co
e do denominador. A fun¸˜o do denominador (1 + 3x
ca 2 )2 ´ positiva para qualquer valor real de
e
x, portanto n˜o influenciar´ no estudo do sinal de f . Resta estudar o sinal de 3x2 + 2x − 1.
a a
O gr´fico desta ´ uma par´bola com concavidade para cima, portanto, ` esquerda do menor
a e a a
zero (x = −1) ´ positiva, entre os dois zeros da fun¸˜o ela ´ negativa e ` direita do maior zero
e ca e a
(x = −1/6) ´ positiva. Resumindo e concluindo,
e
1 1
(a) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1)∪ 3 , +∞ ∴ f (x) ´ crescente no intervalo (−∞, −1)∪
e 3 , +∞ .
1 1
(b) f (x) < 0 ⇔ x ∈ −1, 3 ∴ f (x) ´ decrescente no intervalo −1,
e 3 .
4. Derivada de segunda ordem, pontos de inflex˜o e regi˜es com concavidade para cima e para
a o
baixo
d2 (3x2 + 2x − 1) (1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)[(1 + 3x2 )2 ]
f (x) = f (x) = =
dx2 [(1 + 3x2 )2 ]2
(6x + 2)(1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)2(1 + 3x2 )6x
=
(1 + 3x2 )4
1
graf f := {(x, f (x)) : x ∈ Dom f }.
1
2. (1 + 3x2 )[(6x + 2)(1 + 3x2 ) − (3x2 + 2x − 1)12x]
=
(1 + 3x2 )4
6x + 18x3 + 2 + 6x2 − 36x3 − 24x2 + 12x −18x3 − 18x2 + 18x + 2
=
(1 + 3x2 )3 (1 + 3x2 )3
d2 9x3 + 9x2 − 9x − 1
∴ f (x) = f (x) = −2
dx2 (1 + 3x2 )3
Igualamos f (x) a zero para descobrir os pontos de inflex˜o 2 .
a
9x3 + 9x2 − 9x − 1
f (x) = 0 ⇒ −2 = 0 ⇒ 9x3 + 9x2 − 9x − 1 = 0
(1 + 3x2 )3
⇒ x ≈ −1, 5863 ou x ≈ −0, 1018 ou x ≈ 0, 6881
Os pontos de inflex˜o s˜o
a a
(−1, 5863, f (−1, 5863)) e (−0, 1018, f (−0, 1018)) e (0, 6881, f (0, 6881))
5. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
ca ıntotas
x2 − x
lim
x→∞ 1 + 3x2
Pela regra de L’Hospital, o limite acima ´ igual a limx→∞ 2x−1 . Como o limite continua inde-
e 6x
terminado, aplicamos novamente a regra de L’Hospital e obtemos
2 1
lim f (x) = lim = .
x→∞ x→∞ 6 3
x −x 2
Analogamente, conclu´ımos que limx→−∞ 1+3x2 = 1 .
3
a ıntota horizontal cuja equa¸˜o ´ y = 1 .
H´ portanto uma ass´ ca e 3
6. Gr´fico
a
2
Os zeros do polinˆmio foram determinados computacionalmente.
o
2
3. ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = (x2 − 1)3 .
Exerc´ a
1. Dom´
ınio da fun¸˜o
ca
Dom f = R
2. Intersec¸˜o com os eixos
ca
Para x = 0 temos f (0) = (02 − 1)3 = −1. Logo, o ponto (0, −1) pertence a graf f .
Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ (x2 − 1)3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1. Logo, os ponto (−1, 0) e (1, 0)
pertencem a graf f.
3. Derivada de primeira ordem e regi˜es de crescimento e decrescimento
o
d
f (x) = f (x) = 3(x2 − 1)2 2x = 6x(x2 − 1)2
dx
Igualando f (x) a zero
f (x) = 0 ⇒ 6x(x2 − 1)2 = 0 ⇒ 6x = 0 ou (x2 − 1)2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = −1 ou x = 1.
Como (x2 − 1)2 ´ positivo para qualquer valor real de x, conclu´
e ımos que o sinal de f (x) depende
apenas de 6x. Logo,
(a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) ∴ f´ decrescente em (−∞, 0),
e
(b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, ∞) ∴ f´ crescente em (0, ∞).
e
4. Derivada de segunda ordem e regi˜es com concavidade para cima e para baixo
o
d2
f (x) = f (x) = (6x) (x2 − 1)2 + 6x[(x2 − 1)2 ] = 6(x2 − 1)2 + 6x[2(x2 − 1)2x]
dx2
= 6{(x2 − 1)2 + x[2(x2 − 1)2x]} = 6{(x2 − 1)2 + 4x2 (x2 − 1)} = 6{(x2 − 1)[(x2 − 1) + 4x2 ]}
d2
∴ f (x) = f (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1)
dx2
Igualando f (x) a zero
1 1
6(x2 −1)(5x2 −1) = 0 ⇒ (x2 −1) = 0 ou (5x2 −1) = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1 ou x = − √ ou x = √ .
5 5
Estadando o sinal de f (x), por meio do estudo das fun¸˜es (x2 − 1) e (5x2 − 1), conclu´
co ımos que
1 1
(a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ I1 = −1, − √5 ∪ √ ,1
5
∴ f tem concavidade voltada para baixo em I1 ,
1 1
(b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ I2 = (−∞, −1) ∪ − √5 , √5 ∪ (1, +∞) ∴ f tem concavidade voltada para
cima em I2 .
5. Determina¸˜o dos pontos de m´ximo e de m´
ca a ınimo
Podemos submeter os pontos cr´ ıticos da fun¸˜o f (os pontos cuja derivada se anula) ao teste da
ca
segunda derivada. Id est, calcularemos cr´ ıticos de f em f (x). Para x = 0,
f (0) = 6(02 − 1)(5 · 02 − 1) = 6 > 0 ∴ x = 0 ´ abscissa de um ponto de m´
e ınimo3
3
Se f (c) = 0 e f (c) > 0, c ´ ponto de m´
e ınimo local; Se f (c) = 0 e f (c) < 0, c ´ ponto de m´ximo local.
e a
3
4. Para x = −1 e x = 1,
a a a ınimo4
f (−1) = f (1) = 0 ∴ x = 1 e x = −1 n˜o s˜o abscissas de ponto de m´ximo nem de m´
Substituindo x = 0 na fun¸˜o f , encontramos f (0) = −1. Portanto (0, −1) ´ ponto de m´
ca e ınimo
local.
6. Determina¸˜o dos pontos de inflex˜o As abscissas dos pontos de inflex˜o j´ foram determinadas
ca a a a
no item 4. Substituindo-as em f , obtemos os pontos de inflex˜o
a
1 −64 1 −64
(−1, 0) , (1, 0) , − √ , e √ ,
5 125 5 125
7. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
ca ıntotas
lim (x2 − 1)3 = ∞
x→−∞
e
lim (x2 − 1)3 = ∞
x→∞
Logo, n˜o h´ ass´
a a ıntotas.
8. Gr´fico
a
4
Essa conclus˜o poderia ser tirada observando-se que n˜o h´ mudan¸a no sinal de f (x) no ponto x = 1 nem no ponto
a a a c
x = −1, logo n˜o podem ser nem ponto de m´ximo nem de m´
a a ınimo, pois estes est˜o necessariamente entre um peda¸o
a c
crescente e um decrescente de uma fun¸ao.
c˜
4