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¸˜              ´
                                             FUNCOES DE UMA VARIAVEL

                                                      x2 −x
Exerc´
     ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) =
                      a                               1+3x2
                                                            .


  1. Dom´
        ınio da fun¸˜o
                   ca
     Dom f = R

  2. Intersec¸˜o com os eixos
             ca
                                          02 −0
     Para x = 0 temos f (0) =            1+3·02
                                                   = 0. Logo, o ponto (0, 0) pertence a graf f.1
                                                   x2 −x
        Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒               1+3x2
                                                               = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Logo, o ponto (1, 0) pertence a
        graf f.

  3. Derivada de primeira ordem, pontos de m´ximo e m´
                                            a        ınimo locais e regi˜es de crescimento e
                                                                        o
     decrescimento
                                d                 (x2 − x) (1 + 3x2 ) − (x2 − x)(1 + 3x2 )
                                  f (x) = f (x) =                                          =
                               dx                                (1 + 3x2 )2

                             (2x − 1)(1 + 3x2 ) − (x2 − x)6x   2x + 6x3 − 1 − 3x2 − 6x3 + 6x2
                         =                                   =
                                       (1 + 3x2 )2                       (1 + 3x2 )2
                                                      d                 3x2 + 2x − 1
                                                 ∴      f (x) = f (x) =
                                                     dx                  (1 + 3x2 )2

        Igualamos f (x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de m´ximo e m´
                                                                   a        ınimo local.

                                        3x2 + 2x − 1                                         1
                        f (x) = 0 ⇒              2 )2
                                                      = 0 ⇒ 3x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ou x =
                                         (1 + 3x                                             3
        Substituindo os valores de x encontrados acima na fun¸˜o f , achamos os pontos
                                                             ca
                                                           1                     1      1           1 −1
                          P1 = (−1, f (1)) =          1,             e    P2 =     ,f       =        ,
                                                           2                     3      3           3 6

        Como f (1) > f ( 1 ), concluimos que P1 ´ ponto de m´ximo local e P2 ´ ponto de m´
                         3                      e           a                e           ınimo local.
        Para determinar as regi˜es de crescimento e decrescimento da fun¸˜o devemos estudar o sinal da
                               o                                            ca
        fun¸˜o f (x). Esta fun¸˜o ´ racional, logo precisamos estudar o sinal das fun¸˜es do numerador
           ca                 ca e                                                     co
        e do denominador. A fun¸˜o do denominador (1 + 3x
                                  ca                           2 )2 ´ positiva para qualquer valor real de
                                                                    e
        x, portanto n˜o influenciar´ no estudo do sinal de f . Resta estudar o sinal de 3x2 + 2x − 1.
                      a             a
        O gr´fico desta ´ uma par´bola com concavidade para cima, portanto, ` esquerda do menor
             a            e         a                                                a
        zero (x = −1) ´ positiva, entre os dois zeros da fun¸˜o ela ´ negativa e ` direita do maior zero
                        e                                   ca        e            a
        (x = −1/6) ´ positiva. Resumindo e concluindo,
                    e
                                                      1                                                         1
          (a) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1)∪               3 , +∞       ∴ f (x) ´ crescente no intervalo (−∞, −1)∪
                                                                           e                                    3 , +∞   .
                                             1                                              1
         (b) f (x) < 0 ⇔ x ∈ −1,             3   ∴ f (x) ´ decrescente no intervalo −1,
                                                         e                                  3   .

  4. Derivada de segunda ordem, pontos de inflex˜o e regi˜es com concavidade para cima e para
                                               a        o
     baixo
                     d2                 (3x2 + 2x − 1) (1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)[(1 + 3x2 )2 ]
                        f (x) = f (x) =                                                           =
                    dx2                                      [(1 + 3x2 )2 ]2

                                     (6x + 2)(1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)2(1 + 3x2 )6x
                                                                                       =
                                                         (1 + 3x2 )4
  1
      graf f := {(x, f (x)) : x ∈ Dom f }.


                                                                    1
(1 + 3x2 )[(6x + 2)(1 + 3x2 ) − (3x2 + 2x − 1)12x]
                                                                                 =
                                                  (1 + 3x2 )4
                    6x + 18x3 + 2 + 6x2 − 36x3 − 24x2 + 12x   −18x3 − 18x2 + 18x + 2
                                                            =
                                   (1 + 3x2 )3                      (1 + 3x2 )3
                                       d2                    9x3 + 9x2 − 9x − 1
                                  ∴       f (x) = f (x) = −2
                                      dx2                        (1 + 3x2 )3
      Igualamos f (x) a zero para descobrir os pontos de inflex˜o 2 .
                                                              a

                                         9x3 + 9x2 − 9x − 1
                      f (x) = 0 ⇒ −2                        = 0 ⇒ 9x3 + 9x2 − 9x − 1 = 0
                                             (1 + 3x2 )3
                                ⇒ x ≈ −1, 5863 ou x ≈ −0, 1018 ou x ≈ 0, 6881
      Os pontos de inflex˜o s˜o
                        a a

                (−1, 5863, f (−1, 5863)) e      (−0, 1018, f (−0, 1018))   e   (0, 6881, f (0, 6881))

5. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
                 ca                                    ıntotas

                                                       x2 − x
                                                    lim
                                                   x→∞ 1 + 3x2

      Pela regra de L’Hospital, o limite acima ´ igual a limx→∞ 2x−1 . Como o limite continua inde-
                                               e                 6x
      terminado, aplicamos novamente a regra de L’Hospital e obtemos
                                                                 2  1
                                              lim f (x) = lim      = .
                                             x→∞             x→∞ 6  3
                                              x −x   2
      Analogamente, conclu´ımos que limx→−∞ 1+3x2 = 1 .
                                                      3
       a                 ıntota horizontal cuja equa¸˜o ´ y = 1 .
      H´ portanto uma ass´                          ca e      3

6. Gr´fico
     a




2
    Os zeros do polinˆmio foram determinados computacionalmente.
                     o


                                                         2
ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = (x2 − 1)3 .
Exerc´                a


  1. Dom´
        ınio da fun¸˜o
                   ca
     Dom f = R

  2. Intersec¸˜o com os eixos
             ca
     Para x = 0 temos f (0) = (02 − 1)3 = −1. Logo, o ponto (0, −1) pertence a graf f .
     Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ (x2 − 1)3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1. Logo, os ponto (−1, 0) e (1, 0)
     pertencem a graf f.

  3. Derivada de primeira ordem e regi˜es de crescimento e decrescimento
                                      o
                                       d
                                         f (x) = f (x) = 3(x2 − 1)2 2x = 6x(x2 − 1)2
                                      dx
        Igualando f (x) a zero

              f (x) = 0 ⇒ 6x(x2 − 1)2 = 0 ⇒ 6x = 0 ou (x2 − 1)2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = −1 ou x = 1.

        Como (x2 − 1)2 ´ positivo para qualquer valor real de x, conclu´
                       e                                               ımos que o sinal de f (x) depende
        apenas de 6x. Logo,

         (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) ∴ f´ decrescente em (−∞, 0),
                                        e
         (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, ∞) ∴ f´ crescente em (0, ∞).
                                       e

  4. Derivada de segunda ordem e regi˜es com concavidade para cima e para baixo
                                     o

                  d2
                     f (x) = f (x) = (6x) (x2 − 1)2 + 6x[(x2 − 1)2 ] = 6(x2 − 1)2 + 6x[2(x2 − 1)2x]
                 dx2
          = 6{(x2 − 1)2 + x[2(x2 − 1)2x]} = 6{(x2 − 1)2 + 4x2 (x2 − 1)} = 6{(x2 − 1)[(x2 − 1) + 4x2 ]}
                                             d2
                                        ∴       f (x) = f (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1)
                                            dx2
        Igualando f (x) a zero
                                                                                      1         1
        6(x2 −1)(5x2 −1) = 0 ⇒ (x2 −1) = 0 ou (5x2 −1) = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1 ou x = − √ ou x = √ .
                                                                                       5         5

        Estadando o sinal de f (x), por meio do estudo das fun¸˜es (x2 − 1) e (5x2 − 1), conclu´
                                                              co                               ımos que
                                        1                  1
         (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ I1 = −1, − √5 ∪              √ ,1
                                                            5
                                                                  ∴ f tem concavidade voltada para baixo em I1 ,
                                               1     1
         (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ I2 = (−∞, −1) ∪ − √5 , √5 ∪ (1, +∞) ∴ f tem concavidade voltada para
             cima em I2 .

  5. Determina¸˜o dos pontos de m´ximo e de m´
              ca                 a           ınimo
        Podemos submeter os pontos cr´  ıticos da fun¸˜o f (os pontos cuja derivada se anula) ao teste da
                                                      ca
        segunda derivada. Id est, calcularemos cr´ ıticos de f em f (x). Para x = 0,

                 f (0) = 6(02 − 1)(5 · 02 − 1) = 6 > 0 ∴ x = 0 ´ abscissa de um ponto de m´
                                                               e                          ınimo3
  3
      Se f (c) = 0 e f (c) > 0, c ´ ponto de m´
                                  e           ınimo local; Se f (c) = 0 e f (c) < 0, c ´ ponto de m´ximo local.
                                                                                       e           a




                                                            3
Para x = −1 e x = 1,

                                            a a                           a             ınimo4
       f (−1) = f (1) = 0 ∴ x = 1 e x = −1 n˜o s˜o abscissas de ponto de m´ximo nem de m´

       Substituindo x = 0 na fun¸˜o f , encontramos f (0) = −1. Portanto (0, −1) ´ ponto de m´
                                ca                                               e           ınimo
       local.

   6. Determina¸˜o dos pontos de inflex˜o As abscissas dos pontos de inflex˜o j´ foram determinadas
                ca                      a                                a a
      no item 4. Substituindo-as em f , obtemos os pontos de inflex˜o
                                                                  a

                                                        1 −64              1 −64
                                   (−1, 0) , (1, 0) , − √ ,           e    √ ,
                                                         5 125              5 125

   7. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
                    ca                                    ıntotas

                                                   lim (x2 − 1)3 = ∞
                                                  x→−∞

       e
                                                   lim (x2 − 1)3 = ∞
                                                  x→∞

       Logo, n˜o h´ ass´
              a a      ıntotas.

   8. Gr´fico
        a




   4
    Essa conclus˜o poderia ser tirada observando-se que n˜o h´ mudan¸a no sinal de f (x) no ponto x = 1 nem no ponto
                 a                                       a a          c
x = −1, logo n˜o podem ser nem ponto de m´ximo nem de m´
               a                              a               ınimo, pois estes est˜o necessariamente entre um peda¸o
                                                                                   a                               c
crescente e um decrescente de uma fun¸ao.
                                       c˜


                                                         4

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Esboço - Gráfico de Função

  • 1. ¸˜ ´ FUNCOES DE UMA VARIAVEL x2 −x Exerc´ ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = a 1+3x2 . 1. Dom´ ınio da fun¸˜o ca Dom f = R 2. Intersec¸˜o com os eixos ca 02 −0 Para x = 0 temos f (0) = 1+3·02 = 0. Logo, o ponto (0, 0) pertence a graf f.1 x2 −x Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ 1+3x2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Logo, o ponto (1, 0) pertence a graf f. 3. Derivada de primeira ordem, pontos de m´ximo e m´ a ınimo locais e regi˜es de crescimento e o decrescimento d (x2 − x) (1 + 3x2 ) − (x2 − x)(1 + 3x2 ) f (x) = f (x) = = dx (1 + 3x2 )2 (2x − 1)(1 + 3x2 ) − (x2 − x)6x 2x + 6x3 − 1 − 3x2 − 6x3 + 6x2 = = (1 + 3x2 )2 (1 + 3x2 )2 d 3x2 + 2x − 1 ∴ f (x) = f (x) = dx (1 + 3x2 )2 Igualamos f (x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de m´ximo e m´ a ınimo local. 3x2 + 2x − 1 1 f (x) = 0 ⇒ 2 )2 = 0 ⇒ 3x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ou x = (1 + 3x 3 Substituindo os valores de x encontrados acima na fun¸˜o f , achamos os pontos ca 1 1 1 1 −1 P1 = (−1, f (1)) = 1, e P2 = ,f = , 2 3 3 3 6 Como f (1) > f ( 1 ), concluimos que P1 ´ ponto de m´ximo local e P2 ´ ponto de m´ 3 e a e ınimo local. Para determinar as regi˜es de crescimento e decrescimento da fun¸˜o devemos estudar o sinal da o ca fun¸˜o f (x). Esta fun¸˜o ´ racional, logo precisamos estudar o sinal das fun¸˜es do numerador ca ca e co e do denominador. A fun¸˜o do denominador (1 + 3x ca 2 )2 ´ positiva para qualquer valor real de e x, portanto n˜o influenciar´ no estudo do sinal de f . Resta estudar o sinal de 3x2 + 2x − 1. a a O gr´fico desta ´ uma par´bola com concavidade para cima, portanto, ` esquerda do menor a e a a zero (x = −1) ´ positiva, entre os dois zeros da fun¸˜o ela ´ negativa e ` direita do maior zero e ca e a (x = −1/6) ´ positiva. Resumindo e concluindo, e 1 1 (a) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1)∪ 3 , +∞ ∴ f (x) ´ crescente no intervalo (−∞, −1)∪ e 3 , +∞ . 1 1 (b) f (x) < 0 ⇔ x ∈ −1, 3 ∴ f (x) ´ decrescente no intervalo −1, e 3 . 4. Derivada de segunda ordem, pontos de inflex˜o e regi˜es com concavidade para cima e para a o baixo d2 (3x2 + 2x − 1) (1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)[(1 + 3x2 )2 ] f (x) = f (x) = = dx2 [(1 + 3x2 )2 ]2 (6x + 2)(1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)2(1 + 3x2 )6x = (1 + 3x2 )4 1 graf f := {(x, f (x)) : x ∈ Dom f }. 1
  • 2. (1 + 3x2 )[(6x + 2)(1 + 3x2 ) − (3x2 + 2x − 1)12x] = (1 + 3x2 )4 6x + 18x3 + 2 + 6x2 − 36x3 − 24x2 + 12x −18x3 − 18x2 + 18x + 2 = (1 + 3x2 )3 (1 + 3x2 )3 d2 9x3 + 9x2 − 9x − 1 ∴ f (x) = f (x) = −2 dx2 (1 + 3x2 )3 Igualamos f (x) a zero para descobrir os pontos de inflex˜o 2 . a 9x3 + 9x2 − 9x − 1 f (x) = 0 ⇒ −2 = 0 ⇒ 9x3 + 9x2 − 9x − 1 = 0 (1 + 3x2 )3 ⇒ x ≈ −1, 5863 ou x ≈ −0, 1018 ou x ≈ 0, 6881 Os pontos de inflex˜o s˜o a a (−1, 5863, f (−1, 5863)) e (−0, 1018, f (−0, 1018)) e (0, 6881, f (0, 6881)) 5. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´ ca ıntotas x2 − x lim x→∞ 1 + 3x2 Pela regra de L’Hospital, o limite acima ´ igual a limx→∞ 2x−1 . Como o limite continua inde- e 6x terminado, aplicamos novamente a regra de L’Hospital e obtemos 2 1 lim f (x) = lim = . x→∞ x→∞ 6 3 x −x 2 Analogamente, conclu´ımos que limx→−∞ 1+3x2 = 1 . 3 a ıntota horizontal cuja equa¸˜o ´ y = 1 . H´ portanto uma ass´ ca e 3 6. Gr´fico a 2 Os zeros do polinˆmio foram determinados computacionalmente. o 2
  • 3. ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = (x2 − 1)3 . Exerc´ a 1. Dom´ ınio da fun¸˜o ca Dom f = R 2. Intersec¸˜o com os eixos ca Para x = 0 temos f (0) = (02 − 1)3 = −1. Logo, o ponto (0, −1) pertence a graf f . Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ (x2 − 1)3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1. Logo, os ponto (−1, 0) e (1, 0) pertencem a graf f. 3. Derivada de primeira ordem e regi˜es de crescimento e decrescimento o d f (x) = f (x) = 3(x2 − 1)2 2x = 6x(x2 − 1)2 dx Igualando f (x) a zero f (x) = 0 ⇒ 6x(x2 − 1)2 = 0 ⇒ 6x = 0 ou (x2 − 1)2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = −1 ou x = 1. Como (x2 − 1)2 ´ positivo para qualquer valor real de x, conclu´ e ımos que o sinal de f (x) depende apenas de 6x. Logo, (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) ∴ f´ decrescente em (−∞, 0), e (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, ∞) ∴ f´ crescente em (0, ∞). e 4. Derivada de segunda ordem e regi˜es com concavidade para cima e para baixo o d2 f (x) = f (x) = (6x) (x2 − 1)2 + 6x[(x2 − 1)2 ] = 6(x2 − 1)2 + 6x[2(x2 − 1)2x] dx2 = 6{(x2 − 1)2 + x[2(x2 − 1)2x]} = 6{(x2 − 1)2 + 4x2 (x2 − 1)} = 6{(x2 − 1)[(x2 − 1) + 4x2 ]} d2 ∴ f (x) = f (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) dx2 Igualando f (x) a zero 1 1 6(x2 −1)(5x2 −1) = 0 ⇒ (x2 −1) = 0 ou (5x2 −1) = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1 ou x = − √ ou x = √ . 5 5 Estadando o sinal de f (x), por meio do estudo das fun¸˜es (x2 − 1) e (5x2 − 1), conclu´ co ımos que 1 1 (a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ I1 = −1, − √5 ∪ √ ,1 5 ∴ f tem concavidade voltada para baixo em I1 , 1 1 (b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ I2 = (−∞, −1) ∪ − √5 , √5 ∪ (1, +∞) ∴ f tem concavidade voltada para cima em I2 . 5. Determina¸˜o dos pontos de m´ximo e de m´ ca a ınimo Podemos submeter os pontos cr´ ıticos da fun¸˜o f (os pontos cuja derivada se anula) ao teste da ca segunda derivada. Id est, calcularemos cr´ ıticos de f em f (x). Para x = 0, f (0) = 6(02 − 1)(5 · 02 − 1) = 6 > 0 ∴ x = 0 ´ abscissa de um ponto de m´ e ınimo3 3 Se f (c) = 0 e f (c) > 0, c ´ ponto de m´ e ınimo local; Se f (c) = 0 e f (c) < 0, c ´ ponto de m´ximo local. e a 3
  • 4. Para x = −1 e x = 1, a a a ınimo4 f (−1) = f (1) = 0 ∴ x = 1 e x = −1 n˜o s˜o abscissas de ponto de m´ximo nem de m´ Substituindo x = 0 na fun¸˜o f , encontramos f (0) = −1. Portanto (0, −1) ´ ponto de m´ ca e ınimo local. 6. Determina¸˜o dos pontos de inflex˜o As abscissas dos pontos de inflex˜o j´ foram determinadas ca a a a no item 4. Substituindo-as em f , obtemos os pontos de inflex˜o a 1 −64 1 −64 (−1, 0) , (1, 0) , − √ , e √ , 5 125 5 125 7. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´ ca ıntotas lim (x2 − 1)3 = ∞ x→−∞ e lim (x2 − 1)3 = ∞ x→∞ Logo, n˜o h´ ass´ a a ıntotas. 8. Gr´fico a 4 Essa conclus˜o poderia ser tirada observando-se que n˜o h´ mudan¸a no sinal de f (x) no ponto x = 1 nem no ponto a a a c x = −1, logo n˜o podem ser nem ponto de m´ximo nem de m´ a a ınimo, pois estes est˜o necessariamente entre um peda¸o a c crescente e um decrescente de uma fun¸ao. c˜ 4