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SEQUENCIA DE FIBONACCI
Aspectos matem´ticos
a
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
A seq¨ˆncia de Fibonacci ´ uma seq¨ˆncia de n´meros reais
ue
e
ue
u
dada por

1,



F (n) = Fn = 1,



Fn−1 + Fn−2

num´rica, ou seja, uma fun¸˜o F : N → R
e
ca
se n = 1
se n = 2 .
se n ≥ 3

Em outras palavras, ´ uma seq¨ˆncia cujos dois primeiros termos s˜o iguais a 1 e os demais correspondem
e
ue
a
a
` soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da seq¨ˆncia s˜o:
ue
a
F1 = 1

F2 = 1

F3 = 2

F4 = 3

F5 = 5

F6 = 8

F7 = 13

F8 = 21.

Observemos agora que
F1 = 1 = F3 − 1
F1 + F2 = 2 = F4 − 1
F1 + F2 + F3 = 4 = F5 − 1
F1 + F2 + F3 + F4 = 7 = F6 − 1
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 12 = F7 − 1.
n

Fi = Fn+2 − 1 .

Portanto, conjecturemos que
i=1

Demonstra¸˜o
ca
´ a
Utilizaremos o Princ´
ıpio da Indu¸ao Matem´tica. E f´cil observar que a propriedade conjecturada ´
c˜
a
e
1

Fi = 1 e F1+2 − 1 = F3 − 1 = 2 − 1 = 1.

v´lida para n = 1 pois
a
i=1

k

Fi = Fk+2 − 1 queremos

Supondo que a propriedade ´ v´lida para n = k, ou seja, que ´ verdade P (k) :
e a
e
i=1
k+1

Fi = Fk+3 − 1 ´ v´lida.
e a

mostrar que P (k + 1) :
i=1

Somando-se Fk+1 em ambos os lados da igualdade assumida como hip´tese temos
o
k

Fi + Fk+1 = Fk+2 + Fk+1 − 1.
i=1
k+1

O lado esquerdo equivale a

Fi e, como o termo posterior na seq¨ˆncia de Fibonacci ´ dado pela soma
ue
e
i=1
k+1

dos dois anteriores, o lado direito equivale a Fk+3 − 1. Assim, concluimos que

Fi = Fk+3 − 1 como
i=1

quer´
ıamos demonstrar.

1
Agora, observemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de ´
ue
ındice ´
ımpar
n=1
n=2
n=3

F1 = 1 = F2
F1 + F3 = 3 = F4

F1 + F3 + F5 = 8 = F6 .

n

Conjecturemos, ent˜o, que
a

F2i−1 = F2n .
i=1

Demonstra¸˜o
ca
1

A propriedade conjecturada ´ v´lida para n = 1 pois
e a

F2i−1 = F1 = 1 e F2n = 1.
i=1
k

Supomos que ela ´ v´lida tamb´m para n = k, ou seja, que
e a
e

F2i−1 = F2k ´ verdadeiro. Somando-se o
e
i=1

termo F2k+1 em ambos os lados da hip´tese indutiva obtemos
o
k

F2i−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1 .
i=1

Ultilizando-se racioc´
ınio an´logo ao da demonstra¸ao anterior conclu´
a
c˜
ımos que a igualdade acima ´ igual
e
a
k+1

F2i−1 = F2k+2 = F2(k+1) .
i=1

Da´ conclu´
ı
ımos que se a propriedade ´ v´lida para n = k ´ tamb´m v´lida para n = k + 1. Portanto, pelo
e a
e
e
a
princ´
ıpio da indu¸˜o matem´tica, ´ v´lida para todo n > 1.
ca
a
e a

Podemos observar tamb´m o comportamento da soma dos termos da seq¨ˆncia de ´
e
ue
ındice par
n=1
n=2
n=3

F2 = 1 = F3 − 1
F2 + F4 = 4 = F5 − 1

F2 + F4 + F6 = 12 = F7 − 1.

n

F2i = F2n+1 − 1 .

Logo, podemos conjecturar que
i=1

Demonstra¸˜o
ca
Tomemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o 2n-´simo termo. Temos
ue
e
e
2n

Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n = F2n+2 − 1.
i=1

Tomemos a soma dos termos ´
ımpares da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o termo de ´
ue
e
ındice 2n − 1 (i.e., os n
primeiros ´
ımpares). Temos
n

F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n .
i=1

2
Subtraindo a segunda equa¸˜o da primeira obtemos
ca
(F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n ) − (F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 ) = (F2n+2 − 1) − F2n
que ´ igual a
e

n

F2i = F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1
i=1

pois F2n+2 = F2n+1 + F2n .
Analogamente ` anterior, esta propriedade pode ser tamb´m demonstrada pelo Princ´
a
e
ıpio da Indu¸˜o
ca
Matem´tica. Deixo-a a cargo do leitor.
a

A pr´xima propriedade a ser demonstrada refere-se ` limita¸˜o superior de todos os termos da seq¨ˆncia
o
a
ca
ue
n
7
em fun¸˜o de n. A propriedade afirma que Fn <
ca
.
4
Demonstra¸˜o
ca
2
A propriedade ´ v´lida para n = 1 e n = 2 pois F1 = 1 < 7 e F2 = 1 < 7 = 49 .
e a
4
4
16
Utilizemos ent˜o o “Princ´
a
ıpio da Indu¸ao Forte”. Supomos que a propriedade ´ verdadeira para n ∈
c˜
e
7 k
e Fk−1 <
{1, 2, 3, · · · , k − 1, k}. Neste caso, utilizaremos (assumamos que ´ verdade) que Fk <
e
4
7 k−1
para concluir que
4
Fk+1 = Fk + Fk−1 <

7
4

k

+

7
4

k−1

=

Isto n˜o prova a propriedade. Mas, como
a

Fk+1 <

11
4

7
4

7
4

7
4

k−1

11
49
<
=
4
16
k−1

<

7
4

+

7
4

7
4
2

k−1

=

7
4

k−1

7
+1
4

=

11
4

7
4

k−1

.

2

ent˜o
a
7
4

k−1

=

7
4

k+1

,

como quer´
ıamos demonstrar.

Por fim, demonstremos a f´rmula geral da seq¨ˆncia de Fibonacci, conhecida por F´rmula de Binet, que
o
ue
o
´ dada por
e
√ n
√ n
1
1+ 5
1
1− 5
Fn = √
−√
.
2
2
5
5
Demonstra¸˜o
ca
Para n = 1 temos

√
√
1+ 5
1
1− 5
−√
=
2
2
5
√
√
1+ 5 1− 5
1 √
−
= √ 5 = 1 = F1 .
2
2
5

1
√
5
1
√
5

Logo a propriedade ´ verdadeira para n = 1. Supondo que a propriedade ´ tamb´m v´lida para n ∈
e
e
e
a
{1, 2, 3, · · · , k − 1, k} queremos mostrar que ´ v´lida tamb´m para n = k + 1. Sabemos que, por hip´tese,
e a
e
o
3
√

√

k

√

k

√

k−1

k−1

1
1
1
1
que Fk = √5 1+2 5 − √5 1−2 5
e Fk−1 = √5 1+2 5
− √5 1−2 5
. Sabemos tamb´m, pela
e
defini¸˜o da seq¨ˆncia de Fibonacci que Fk+1 = Fk + Fk−1 para k ≥ 2. Ent˜o,
ca
ue
a

Fk+1 = Fk + Fk−1
Fk+1

Fk+1

1
=√
5

√
1+ 5
2

1
=√
5

√
1+ 5
2
Fk+1

k

Fk+1

√
1+ 5
2

1
=√
5

k

√
1+ 5
2

Fk+1

√
1− 5
2

1
−√
5

√
1− 5
2

1
−√
5

1
=√
5

k

1
=√
5

k

k

√
1+ 5
2

1
+√
5

√
1+ 5
2

1
+√
5
k

k−1

√
1+ 5
2

−1

1
−√
5
1
−√
5

2
√
1+
1+ 5

1
−√
5

√
1− 5
2

k

√
1+ 5
2

1
−√
5

√
1− 5
2

k

1
−√
5

√
1− 5
2

√
1− 5
2
√
1− 5
2

k−1

k

√
1− 5
2

−1

k+1

k

√
1+ 5
2

k+1

1+

2
√
1− 5

√
1− 5
2

Logo, pelo “Princ´
ıpio da Indu¸ao Matem´tica Forte”, a propriedade ´ v´lida para todo n ≥ 1.
c˜
a
e a
√
1+ 5
O n´mero irracional ϕ =
u
´ conhecido como raz˜o aurea ou n´mero de ouro. Utilizando este
e
a ´
u
2
n´mero, podemos reescrever a F´rmula de Binet.
u
o
Observe que
√ −1
√
2
1− 5
1+ 5
−1
√ =
.
(−ϕ) = −
=−
2
2
1+ 5
Logo,
Fn =

ϕn − (−ϕ)−n
√
.
5

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Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos

  • 1. ¨ˆ SEQUENCIA DE FIBONACCI Aspectos matem´ticos a Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com A seq¨ˆncia de Fibonacci ´ uma seq¨ˆncia de n´meros reais ue e ue u dada por  1,    F (n) = Fn = 1,    Fn−1 + Fn−2 num´rica, ou seja, uma fun¸˜o F : N → R e ca se n = 1 se n = 2 . se n ≥ 3 Em outras palavras, ´ uma seq¨ˆncia cujos dois primeiros termos s˜o iguais a 1 e os demais correspondem e ue a a ` soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da seq¨ˆncia s˜o: ue a F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21. Observemos agora que F1 = 1 = F3 − 1 F1 + F2 = 2 = F4 − 1 F1 + F2 + F3 = 4 = F5 − 1 F1 + F2 + F3 + F4 = 7 = F6 − 1 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 12 = F7 − 1. n Fi = Fn+2 − 1 . Portanto, conjecturemos que i=1 Demonstra¸˜o ca ´ a Utilizaremos o Princ´ ıpio da Indu¸ao Matem´tica. E f´cil observar que a propriedade conjecturada ´ c˜ a e 1 Fi = 1 e F1+2 − 1 = F3 − 1 = 2 − 1 = 1. v´lida para n = 1 pois a i=1 k Fi = Fk+2 − 1 queremos Supondo que a propriedade ´ v´lida para n = k, ou seja, que ´ verdade P (k) : e a e i=1 k+1 Fi = Fk+3 − 1 ´ v´lida. e a mostrar que P (k + 1) : i=1 Somando-se Fk+1 em ambos os lados da igualdade assumida como hip´tese temos o k Fi + Fk+1 = Fk+2 + Fk+1 − 1. i=1 k+1 O lado esquerdo equivale a Fi e, como o termo posterior na seq¨ˆncia de Fibonacci ´ dado pela soma ue e i=1 k+1 dos dois anteriores, o lado direito equivale a Fk+3 − 1. Assim, concluimos que Fi = Fk+3 − 1 como i=1 quer´ ıamos demonstrar. 1
  • 2. Agora, observemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de ´ ue ındice ´ ımpar n=1 n=2 n=3 F1 = 1 = F2 F1 + F3 = 3 = F4 F1 + F3 + F5 = 8 = F6 . n Conjecturemos, ent˜o, que a F2i−1 = F2n . i=1 Demonstra¸˜o ca 1 A propriedade conjecturada ´ v´lida para n = 1 pois e a F2i−1 = F1 = 1 e F2n = 1. i=1 k Supomos que ela ´ v´lida tamb´m para n = k, ou seja, que e a e F2i−1 = F2k ´ verdadeiro. Somando-se o e i=1 termo F2k+1 em ambos os lados da hip´tese indutiva obtemos o k F2i−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1 . i=1 Ultilizando-se racioc´ ınio an´logo ao da demonstra¸ao anterior conclu´ a c˜ ımos que a igualdade acima ´ igual e a k+1 F2i−1 = F2k+2 = F2(k+1) . i=1 Da´ conclu´ ı ımos que se a propriedade ´ v´lida para n = k ´ tamb´m v´lida para n = k + 1. Portanto, pelo e a e e a princ´ ıpio da indu¸˜o matem´tica, ´ v´lida para todo n > 1. ca a e a Podemos observar tamb´m o comportamento da soma dos termos da seq¨ˆncia de ´ e ue ındice par n=1 n=2 n=3 F2 = 1 = F3 − 1 F2 + F4 = 4 = F5 − 1 F2 + F4 + F6 = 12 = F7 − 1. n F2i = F2n+1 − 1 . Logo, podemos conjecturar que i=1 Demonstra¸˜o ca Tomemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o 2n-´simo termo. Temos ue e e 2n Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n = F2n+2 − 1. i=1 Tomemos a soma dos termos ´ ımpares da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o termo de ´ ue e ındice 2n − 1 (i.e., os n primeiros ´ ımpares). Temos n F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n . i=1 2
  • 3. Subtraindo a segunda equa¸˜o da primeira obtemos ca (F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n ) − (F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 ) = (F2n+2 − 1) − F2n que ´ igual a e n F2i = F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1 i=1 pois F2n+2 = F2n+1 + F2n . Analogamente ` anterior, esta propriedade pode ser tamb´m demonstrada pelo Princ´ a e ıpio da Indu¸˜o ca Matem´tica. Deixo-a a cargo do leitor. a A pr´xima propriedade a ser demonstrada refere-se ` limita¸˜o superior de todos os termos da seq¨ˆncia o a ca ue n 7 em fun¸˜o de n. A propriedade afirma que Fn < ca . 4 Demonstra¸˜o ca 2 A propriedade ´ v´lida para n = 1 e n = 2 pois F1 = 1 < 7 e F2 = 1 < 7 = 49 . e a 4 4 16 Utilizemos ent˜o o “Princ´ a ıpio da Indu¸ao Forte”. Supomos que a propriedade ´ verdadeira para n ∈ c˜ e 7 k e Fk−1 < {1, 2, 3, · · · , k − 1, k}. Neste caso, utilizaremos (assumamos que ´ verdade) que Fk < e 4 7 k−1 para concluir que 4 Fk+1 = Fk + Fk−1 < 7 4 k + 7 4 k−1 = Isto n˜o prova a propriedade. Mas, como a Fk+1 < 11 4 7 4 7 4 7 4 k−1 11 49 < = 4 16 k−1 < 7 4 + 7 4 7 4 2 k−1 = 7 4 k−1 7 +1 4 = 11 4 7 4 k−1 . 2 ent˜o a 7 4 k−1 = 7 4 k+1 , como quer´ ıamos demonstrar. Por fim, demonstremos a f´rmula geral da seq¨ˆncia de Fibonacci, conhecida por F´rmula de Binet, que o ue o ´ dada por e √ n √ n 1 1+ 5 1 1− 5 Fn = √ −√ . 2 2 5 5 Demonstra¸˜o ca Para n = 1 temos √ √ 1+ 5 1 1− 5 −√ = 2 2 5 √ √ 1+ 5 1− 5 1 √ − = √ 5 = 1 = F1 . 2 2 5 1 √ 5 1 √ 5 Logo a propriedade ´ verdadeira para n = 1. Supondo que a propriedade ´ tamb´m v´lida para n ∈ e e e a {1, 2, 3, · · · , k − 1, k} queremos mostrar que ´ v´lida tamb´m para n = k + 1. Sabemos que, por hip´tese, e a e o 3
  • 4. √ √ k √ k √ k−1 k−1 1 1 1 1 que Fk = √5 1+2 5 − √5 1−2 5 e Fk−1 = √5 1+2 5 − √5 1−2 5 . Sabemos tamb´m, pela e defini¸˜o da seq¨ˆncia de Fibonacci que Fk+1 = Fk + Fk−1 para k ≥ 2. Ent˜o, ca ue a Fk+1 = Fk + Fk−1 Fk+1 Fk+1 1 =√ 5 √ 1+ 5 2 1 =√ 5 √ 1+ 5 2 Fk+1 k Fk+1 √ 1+ 5 2 1 =√ 5 k √ 1+ 5 2 Fk+1 √ 1− 5 2 1 −√ 5 √ 1− 5 2 1 −√ 5 1 =√ 5 k 1 =√ 5 k k √ 1+ 5 2 1 +√ 5 √ 1+ 5 2 1 +√ 5 k k−1 √ 1+ 5 2 −1 1 −√ 5 1 −√ 5 2 √ 1+ 1+ 5 1 −√ 5 √ 1− 5 2 k √ 1+ 5 2 1 −√ 5 √ 1− 5 2 k 1 −√ 5 √ 1− 5 2 √ 1− 5 2 √ 1− 5 2 k−1 k √ 1− 5 2 −1 k+1 k √ 1+ 5 2 k+1 1+ 2 √ 1− 5 √ 1− 5 2 Logo, pelo “Princ´ ıpio da Indu¸ao Matem´tica Forte”, a propriedade ´ v´lida para todo n ≥ 1. c˜ a e a √ 1+ 5 O n´mero irracional ϕ = u ´ conhecido como raz˜o aurea ou n´mero de ouro. Utilizando este e a ´ u 2 n´mero, podemos reescrever a F´rmula de Binet. u o Observe que √ −1 √ 2 1− 5 1+ 5 −1 √ = . (−ϕ) = − =− 2 2 1+ 5 Logo, Fn = ϕn − (−ϕ)−n √ . 5 4