1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1. 2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet. 3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.

1. ¨ˆ
SEQUENCIA DE FIBONACCI
Aspectos matem´ticos
a
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
A seq¨ˆncia de Fibonacci ´ uma seq¨ˆncia de n´meros reais
ue
e
ue
u
dada por

1,



F (n) = Fn = 1,



Fn−1 + Fn−2
num´rica, ou seja, uma fun¸˜o F : N → R
e
ca
se n = 1
se n = 2 .
se n ≥ 3
Em outras palavras, ´ uma seq¨ˆncia cujos dois primeiros termos s˜o iguais a 1 e os demais correspondem
e
ue
a
a
` soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da seq¨ˆncia s˜o:
ue
a
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21.
Observemos agora que
F1 = 1 = F3 − 1
F1 + F2 = 2 = F4 − 1
F1 + F2 + F3 = 4 = F5 − 1
F1 + F2 + F3 + F4 = 7 = F6 − 1
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 12 = F7 − 1.
n
Fi = Fn+2 − 1 .
Portanto, conjecturemos que
i=1
Demonstra¸˜o
ca
´ a
Utilizaremos o Princ´
ıpio da Indu¸ao Matem´tica. E f´cil observar que a propriedade conjecturada ´
c˜
a
e
1
Fi = 1 e F1+2 − 1 = F3 − 1 = 2 − 1 = 1.
v´lida para n = 1 pois
a
i=1
k
Fi = Fk+2 − 1 queremos
Supondo que a propriedade ´ v´lida para n = k, ou seja, que ´ verdade P (k) :
e a
e
i=1
k+1
Fi = Fk+3 − 1 ´ v´lida.
e a
mostrar que P (k + 1) :
i=1
Somando-se Fk+1 em ambos os lados da igualdade assumida como hip´tese temos
o
k
Fi + Fk+1 = Fk+2 + Fk+1 − 1.
i=1
k+1
O lado esquerdo equivale a
Fi e, como o termo posterior na seq¨ˆncia de Fibonacci ´ dado pela soma
ue
e
i=1
k+1
dos dois anteriores, o lado direito equivale a Fk+3 − 1. Assim, concluimos que
Fi = Fk+3 − 1 como
i=1
quer´
ıamos demonstrar.
1

2. Agora, observemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de ´
ue
ındice ´
ımpar
n=1
n=2
n=3
F1 = 1 = F2
F1 + F3 = 3 = F4
F1 + F3 + F5 = 8 = F6 .
n
Conjecturemos, ent˜o, que
a
F2i−1 = F2n .
i=1
Demonstra¸˜o
ca
1
A propriedade conjecturada ´ v´lida para n = 1 pois
e a
F2i−1 = F1 = 1 e F2n = 1.
i=1
k
Supomos que ela ´ v´lida tamb´m para n = k, ou seja, que
e a
e
F2i−1 = F2k ´ verdadeiro. Somando-se o
e
i=1
termo F2k+1 em ambos os lados da hip´tese indutiva obtemos
o
k
F2i−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1 .
i=1
Ultilizando-se racioc´
ınio an´logo ao da demonstra¸ao anterior conclu´
a
c˜
ımos que a igualdade acima ´ igual
e
a
k+1
F2i−1 = F2k+2 = F2(k+1) .
i=1
Da´ conclu´
ı
ımos que se a propriedade ´ v´lida para n = k ´ tamb´m v´lida para n = k + 1. Portanto, pelo
e a
e
e
a
princ´
ıpio da indu¸˜o matem´tica, ´ v´lida para todo n > 1.
ca
a
e a
Podemos observar tamb´m o comportamento da soma dos termos da seq¨ˆncia de ´
e
ue
ındice par
n=1
n=2
n=3
F2 = 1 = F3 − 1
F2 + F4 = 4 = F5 − 1
F2 + F4 + F6 = 12 = F7 − 1.
n
F2i = F2n+1 − 1 .
Logo, podemos conjecturar que
i=1
Demonstra¸˜o
ca
Tomemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o 2n-´simo termo. Temos
ue
e
e
2n
Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n = F2n+2 − 1.
i=1
Tomemos a soma dos termos ´
ımpares da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o termo de ´
ue
e
ındice 2n − 1 (i.e., os n
primeiros ´
ımpares). Temos
n
F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n .
i=1
2

3. Subtraindo a segunda equa¸˜o da primeira obtemos
ca
(F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n ) − (F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 ) = (F2n+2 − 1) − F2n
que ´ igual a
e
n
F2i = F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1
i=1
pois F2n+2 = F2n+1 + F2n .
Analogamente ` anterior, esta propriedade pode ser tamb´m demonstrada pelo Princ´
a
e
ıpio da Indu¸˜o
ca
Matem´tica. Deixo-a a cargo do leitor.
a
A pr´xima propriedade a ser demonstrada refere-se ` limita¸˜o superior de todos os termos da seq¨ˆncia
o
a
ca
ue
n
7
em fun¸˜o de n. A propriedade afirma que Fn <
ca
.
4
Demonstra¸˜o
ca
2
A propriedade ´ v´lida para n = 1 e n = 2 pois F1 = 1 < 7 e F2 = 1 < 7 = 49 .
e a
4
4
16
Utilizemos ent˜o o “Princ´
a
ıpio da Indu¸ao Forte”. Supomos que a propriedade ´ verdadeira para n ∈
c˜
e
7 k
e Fk−1 <
{1, 2, 3, · · · , k − 1, k}. Neste caso, utilizaremos (assumamos que ´ verdade) que Fk <
e
4
7 k−1
para concluir que
4
Fk+1 = Fk + Fk−1 <
7
4
k
+
7
4
k−1
=
Isto n˜o prova a propriedade. Mas, como
a
Fk+1 <
11
4
7
4
7
4
7
4
k−1
11
49
<
=
4
16
k−1
<
7
4
+
7
4
7
4
2
k−1
=
7
4
k−1
7
+1
4
=
11
4
7
4
k−1
.
2
ent˜o
a
7
4
k−1
=
7
4
k+1
,
como quer´
ıamos demonstrar.
Por fim, demonstremos a f´rmula geral da seq¨ˆncia de Fibonacci, conhecida por F´rmula de Binet, que
o
ue
o
´ dada por
e
√ n
√ n
1
1+ 5
1
1− 5
Fn = √
−√
.
2
2
5
5
Demonstra¸˜o
ca
Para n = 1 temos
√
√
1+ 5
1
1− 5
−√
=
2
2
5
√
√
1+ 5 1− 5
1 √
−
= √ 5 = 1 = F1 .
2
2
5
1
√
5
1
√
5
Logo a propriedade ´ verdadeira para n = 1. Supondo que a propriedade ´ tamb´m v´lida para n ∈
e
e
e
a
{1, 2, 3, · · · , k − 1, k} queremos mostrar que ´ v´lida tamb´m para n = k + 1. Sabemos que, por hip´tese,
e a
e
o
3

4. √
√
k
√
k
√
k−1
k−1
1
1
1
1
que Fk = √5 1+2 5 − √5 1−2 5
e Fk−1 = √5 1+2 5
− √5 1−2 5
. Sabemos tamb´m, pela
e
defini¸˜o da seq¨ˆncia de Fibonacci que Fk+1 = Fk + Fk−1 para k ≥ 2. Ent˜o,
ca
ue
a
Fk+1 = Fk + Fk−1
Fk+1
Fk+1
1
=√
5
√
1+ 5
2
1
=√
5
√
1+ 5
2
Fk+1
k
Fk+1
√
1+ 5
2
1
=√
5
k
√
1+ 5
2
Fk+1
√
1− 5
2
1
−√
5
√
1− 5
2
1
−√
5
1
=√
5
k
1
=√
5
k
k
√
1+ 5
2
1
+√
5
√
1+ 5
2
1
+√
5
k
k−1
√
1+ 5
2
−1
1
−√
5
1
−√
5
2
√
1+
1+ 5
1
−√
5
√
1− 5
2
k
√
1+ 5
2
1
−√
5
√
1− 5
2
k
1
−√
5
√
1− 5
2
√
1− 5
2
√
1− 5
2
k−1
k
√
1− 5
2
−1
k+1
k
√
1+ 5
2
k+1
1+
2
√
1− 5
√
1− 5
2
Logo, pelo “Princ´
ıpio da Indu¸ao Matem´tica Forte”, a propriedade ´ v´lida para todo n ≥ 1.
c˜
a
e a
√
1+ 5
O n´mero irracional ϕ =
u
´ conhecido como raz˜o aurea ou n´mero de ouro. Utilizando este
e
a ´
u
2
n´mero, podemos reescrever a F´rmula de Binet.
u
o
Observe que
√ −1
√
2
1− 5
1+ 5
−1
√ =
.
(−ϕ) = −
=−
2
2
1+ 5
Logo,
Fn =
ϕn − (−ϕ)−n
√
.
5
4