1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par. 2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional. 3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).

1. EXERC´ ¸˜
ICIOS DE DEMONSTRACOES
(Escrito em L TEX)
A
1. Prove que ´ par o produto de um n´mero par qualquer por um n´mero ´
e u u ımpar
qualquer.
Tomando x um n´mero par e y um n´mero ´
u u ımpar, temos que:
x = 2k1 e y = 2k2 + 1
onde k1 , k2 ∈ Z.
xy = 2k1 (2k2 + 1) = 4k1 + 2k2 = 2(2k1 + k2 )
Admitindo 2(2k1 + k2 ) = k. Certamente k ∈ Z, par ou ´
ımpar.
Portanto, xy = 2k ´ um n´mero par.
e u
2. Sabendo que a soma e o produto de dois npumeros inteiros s˜o tamb´m
a e
n´meros inteiros, prove que a soma de dois n´meros racionais ´ tamb´m um n´meo
u u e e u
racional.
Hip´tese: A soma e o produto de dois n´meros inteiros s˜o tamb´m inteiros.
o u a e
p1 p2
Considerando x e y n´meros racionais e dados por x =
u q1 ey= q2 , com p1 , p2 , q1 , q2 ∈ Z.
Temos que a soma ´ dada por:
e
p1 p2 p1 q2 +p2 q1
x+y = q1 + q2 = q1 q2 ; q1 q2 = 0
Pela hip´tese apresentada, p1 q2 , p2 q1 , p1 q2 + p2 q1 e q1 q2 s˜o n´meros inteiros, portanto, x + y,
o a u
por ser um quociente de dois n´meros inteiros, ´ um n´mero racional.
u e u
3. Prove que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1).
Utilizando o Princ´
ıpio da Indu¸˜o Finita (PIF):
ca
i) Testando a propriedade para n = 1: 2 = 1(1 + 1) = 2 A propriedade ´ v´lida para n = 1.
e a
ii) Hip´tese indutiva - P (k) : 2 + 4 + 6 + · · · + 2k = k(k + 1)
o
Tese - P (k + 1) : 2 + 4 + 6 + · · · + 2k + 2k + 2 = (k + 1)(k + 2)
Assumindo a hip´tese como verdadeira devemos ter 2 + 4 + 6 + · · · + 2k +2k + 2 igual a (k +
o
k(k+1)
1)(k + 2).
Manipulando k(k + 1) + 2k + 2 temos:
k(k + 1) + 2k + 2 = k 2 + k + 2k + 2 = k 2 + 3k + 2 = (k + 1)(k + 2)
Portanto a P (k + 1) ´ verdadeira e a propriedade ´ v´lida para qualquer n ≥ 1.
e e a
1