O documento aborda a resolução de uma avaliação de geometria analítica envolvendo um paralelogramo e as relações entre vetores. Discute a linearidade, coplanaridade e o produto vetorial entre os vetores, bem como determina equações paramétricas e condições para a equidistância de pontos. Por fim, conclui que não existe ponto na reta que equidiste de dois pontos dados.

1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Seja um paralelogramo ABCD. Seja E um ponto colinear à B e C tal que C esteja
entre B e E, e tal que a distância de B à C é duas vezes a distância de C à E. Seja F a
intersecção de DC com AE. Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Escreva ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ em função de
e ⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
Observe que os triângulos ADF e CEF são semelhantes. Logo, a seguinte relação é
válida.
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Como |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | e ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então |⃗⃗⃗⃗⃗ | . Logo,
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
2. Temos ⃗ ⃗ e ⃗ . Os vetores ⃗ e ⃗ são LI ou LD?
Justifique suas afirmações.
⃗ pode ser escrito como combinação linear de e ⃗ , então { ⃗ ⃗ } é LD e ⃗ ⃗ são
coplanares. Com raciocínio análogo, concluímos que { ⃗ } é LD e ⃗ são
coplanares. Então ⃗ e são também coplanares.
O resultado do produto vetorial de dois vetores é um vetor simultaneamente ortogonal a
ambos. Como ⃗ e estão no mesmo plano, seu produto vetorial será um vetor ortogonal

2. ao plano. e ⃗ também estão no mesmo plano de ⃗ e , então, seu produto vetorial será
um vetor ortogonal ao mesmo plano.
Assim, ⃗ e ⃗ são paralelos, e, portanto, LD.
3. Determine as equações paramétricas, simétricas e reduzida em x da reta que passa
pela origem e é perpendicular ao plano determinado pelos pontos ,
e .
Os vetores diretores do plano são ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗
.
O vetor diretor da reta r é normal ao plano, então é simultaneamente ortogonal a ⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗
| | ⃗
A origem pertence à reta, então as equações paramétricas são:
Equação simétrica:
Multiplicando-se todos os termos por -13:
4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde
, e .
Escrevendo r na forma paramétrica, temos:
Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma ( ⁄ ), pois P
pertence à reta.
Pela condição do problema, devemos ter .
|⃗⃗⃗⃗⃗ | √ ( )

3. |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( )| √ ( )
√ ( ) √ ( )
Não existe ponto pertencente a r que equidiste de A e B.