O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revoluçãoDiego Oliveira
O documento fornece exemplos resolvidos de como calcular o volume de sólidos de rotação. Explica as fórmulas para rotação em torno dos eixos x e y e como determinar o raio de rotação. Também discute casos onde o sólido é maciço ou oco e como calcular cada um.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento fornece exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas usando integrais. O autor explica como calcular a área entre duas funções nos casos de integração em x e integração em y, ilustrando com quatro exemplos numéricos.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
1) O documento discute limites de funções reais, incluindo a definição formal de limite, limites infinitos e propriedades dos limites.
2) Limites infinitos ocorrem quando uma função tende a valores infinitamente grandes ou pequenos ao se aproximar de um ponto, representados por limx→a f(x)=±∞.
3) As propriedades dos limites estabelecem como calcular limites de funções somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas e elevadas a potências usando os limites das funções individuais.
Funções de duas variáveis reais e curvas de nívelFran Cristina
O documento discute funções de duas variáveis reais, definindo-as como funções que associam um único número real a cada par de números reais no seu domínio. Explica o gráfico de tais funções como uma superfície no espaço tridimensional e introduz o conceito de curvas de nível como conjuntos de pontos no domínio que mapeiam para um valor constante da função.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
O documento descreve o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de vetores que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem é o conjunto de vetores alvo. O documento fornece exemplos de cálculo do núcleo e da imagem para transformações lineares entre espaços vetoriais.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, determinação de valores de incógnitas, e valores de expressões logarítmicas.
2. São fornecidas as definições e propriedades básicas de logaritmos necessárias para resolver os exercícios.
3. Os exercícios abordam vários tipos de problemas envolvendo logaritmos, como cálculo de logaritmos, determinação de bases e argumentos, e operações com logaritmos.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
1) As aulas tratam de funções exponenciais, inequações exponenciais e propriedades de logaritmos.
2) Funções exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes dependendo se a base é maior ou menor que 1.
3) Inequações exponenciais podem ser resolvidas multiplicando ambos os lados por logaritmos com a mesma base.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revoluçãoDiego Oliveira
O documento fornece exemplos resolvidos de como calcular o volume de sólidos de rotação. Explica as fórmulas para rotação em torno dos eixos x e y e como determinar o raio de rotação. Também discute casos onde o sólido é maciço ou oco e como calcular cada um.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
Este documento fornece exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas usando integrais. O autor explica como calcular a área entre duas funções nos casos de integração em x e integração em y, ilustrando com quatro exemplos numéricos.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
1) O documento discute limites de funções reais, incluindo a definição formal de limite, limites infinitos e propriedades dos limites.
2) Limites infinitos ocorrem quando uma função tende a valores infinitamente grandes ou pequenos ao se aproximar de um ponto, representados por limx→a f(x)=±∞.
3) As propriedades dos limites estabelecem como calcular limites de funções somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas e elevadas a potências usando os limites das funções individuais.
Funções de duas variáveis reais e curvas de nívelFran Cristina
O documento discute funções de duas variáveis reais, definindo-as como funções que associam um único número real a cada par de números reais no seu domínio. Explica o gráfico de tais funções como uma superfície no espaço tridimensional e introduz o conceito de curvas de nível como conjuntos de pontos no domínio que mapeiam para um valor constante da função.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
O documento descreve o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de vetores que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem é o conjunto de vetores alvo. O documento fornece exemplos de cálculo do núcleo e da imagem para transformações lineares entre espaços vetoriais.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
O documento explica como construir gráficos de funções geometricamente no plano cartesiano, definindo pares ordenados, domínio, contradomínio e imagem. Ele fornece exemplos de como plotar gráficos de funções a partir de tabelas numéricas.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, determinação de valores de incógnitas, e valores de expressões logarítmicas.
2. São fornecidas as definições e propriedades básicas de logaritmos necessárias para resolver os exercícios.
3. Os exercícios abordam vários tipos de problemas envolvendo logaritmos, como cálculo de logaritmos, determinação de bases e argumentos, e operações com logaritmos.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
1) As aulas tratam de funções exponenciais, inequações exponenciais e propriedades de logaritmos.
2) Funções exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes dependendo se a base é maior ou menor que 1.
3) Inequações exponenciais podem ser resolvidas multiplicando ambos os lados por logaritmos com a mesma base.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
As informações essenciais do documento são:
1) O documento apresenta operações algébricas como expressões algébricas, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios.
2) Apresenta também produtos notáveis, fatoração de expressões algébricas e equações do 1o e 2o grau.
3) Fornece exemplos resolvidos de vários tipos de exercícios envolvendo estas operações e equações.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
Este documento contém 10 questões sobre cálculo e funções matemáticas. As questões incluem determinar soluções de equações trigonométricas, sistemas de equações, áreas de regiões delimitadas por funções e valores de variáveis que satisfaçam equações envolvendo funções compostas. Há também uma questão sobre interpretar medidas em uma planta de residência.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações, incluindo o quadrado e cubo da soma e diferença de termos, e técnicas de fatoração de expressões algébricas.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações diferenciais. Os exercícios incluem mostrar que determinadas funções são soluções de equações diferenciais, classificar equações diferenciais, verificar se funções são soluções, resolver equações diferenciais e problemas de valor inicial.
1) O documento discute como resolver equações de 2o grau para alunos do 8o ano usando o Teorema de Bhaskara.
2) Explica como reduzir a equação de 2o grau para a forma de um produto notável e depois desenvolver a expressão algébrica.
3) Apresenta os passos para chegar às soluções da equação de 2o grau x1 e x2 usando o Teorema de Bhaskara.
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
O documento discute a dualidade entre problemas de programação linear primal e dual. Explica como o problema dual é formado a partir do problema primal, com as restrições do primal se tornando a função objetivo do dual e vice-versa. Também mostra como a solução ótima do problema primal está relacionada à solução ótima do problema dual através do princípio da dualidade forte e fraca.
1) A aula trata da derivada em cadeia e derivada implícita.
2) A regra da cadeia permite calcular a derivada de funções compostas, como f(g(x)), sabendo-se as derivadas de f e g.
3) É possível obter a derivada dy/dx de funções dadas implicitamente por equações F(x,y)=c, derivando ambos os lados da equação.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
(1) O documento apresenta 3 questões de cálculo envolvendo integrais e áreas. A primeira questão calcula valores numéricos de integrais definidas. A segunda calcula a área entre duas curvas. A terceira calcula o volume de uma região delimitada por curvas.
O documento discute os conceitos de monômios, polinômios e fatoração. Apresenta exemplos de como somar, subtrair, multiplicar e dividir monômios, além de produtos notáveis e fatoração de polinômios como diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito.
1. O documento pede para completar um quadro com monômios e seus respectivos coeficientes e graus, e realizar operações algébricas como soma, subtração, multiplicação e divisão de monômios.
2. Também pede para resolver equações algébricas de 1o e 2o grau e igualdades notáveis.
3. Fornece casos notáveis de fatoração para simplificar expressões algébricas.
1) O documento apresenta a resolução de seis exercícios de cálculo que envolvem o cálculo de integrais duplas e triplas em diferentes regiões. 2) No primeiro exercício, é calculada uma integral dupla sobre uma região limitada por curvas, obtendo-se uma expressão analítica para o valor da integral. 3) Nos demais exercícios, são calculados valores numéricos de integrais ou expressas integrais em diferentes coordenadas.
Semelhante a Limite de função de duas variáveis (20)
O documento descreve o cálculo do preço faturado com a operação de recompra de energia elétrica não utilizada pelo comprador. O preço faturado é menor que o preço contratado se o preço de recompra for maior que o preço contratado, e maior que o preço contratado se o preço de recompra for menor que o preço contratado.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais.
2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto.
3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
O documento discute as fontes não renováveis de energia, com foco nos petróleos ultra-pesados. Apresenta as seguintes informações essenciais:
1) Petróleos ultra-pesados têm densidade menor que 10°API e são encontrados em depósitos no Canadá, Venezuela, Rússia e outros países.
2) Na Venezuela, a faixa do Orinoco contém os 2o maiores depósitos de petróleo ultra-pesado do mundo, com estimativas de reservas entre 60-500 bilhões de barris.
3) A
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
- Uma usina tem água de resfriamento saindo a 35°C e entrando em uma torre de resfriamento a 100 kg/s. A água é resfriada a 22°C e o ar entra a 100 kPa e 20°C e sai saturado a 30°C.
- Fazendo balanços de massa e energia, calcula-se a vazão de ar para a torre como 82,03 m3/s e a vazão de água de reposição como 1,802 kg/s.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1. Os alunos construíram um sensor de campo magnético usando uma bobina enrolada em um tubo de PVC para medir o campo magnético de um ímã.
2. Eles passaram o ímã rapidamente através da bobina para induzir uma tensão elétrica de acordo com a lei de Faraday.
3. Usando medições do osciloscópio, eles calcularam a área sob a curva da tensão induzida para determinar o valor do campo magnético, que teve um erro de 4% em comparação com
1. Limite de fun¸˜es de duas vari´veis reais
co a
Defini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o de duas vari´veis cujo dom´
ca ca a ınio D cont´m pontos arbitrariamente pr´ximos de
e o
(a, b). Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (a, b) ´ L e escrevemos
e
lim f (x) = L
(x,y)→(a,b)
se para todo > 0 existe um n´mero correspondente δ > 0 tal que
u
se 0 < (x − a)2 + (y + b)2 < δ ent˜o |f (x, y) − L| < .
a
3x2 y
Problema: Mostrar que lim(x,y)→(0,0) x2 +y 2 = 0.
Pela defini¸˜o de limite, temos que mostrar que
ca
para todo > 0 existe um δ > 0 tal que
3x2 y
se 0 < (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ ent˜o
a x2 +y 2 −0 < .
Reescrevendo:
para todo > 0 existe um δ > 0 tal que
3x2 y
se 0 < x2 + y 2 < δ ent˜o
a x2 +y 2 < .
ınio da fun¸˜o ´ Dom f = R2 (0, 0).
Obs.: O dom´ ca e
Demonstra¸˜o
ca
3x2 y
1a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
ca o e x2 +y 2
Como y 2 ´ sempre um n´mero positivo, sabemos que
e u
x2 ≤ x2 + y 2 . (1)
Em outras palavras, x2 somado a algum n´mero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si
u
pr´prio.
o
Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) por x2 + y 2 , encontramos:
x2
≤ 1. (2)
x2 + y2
Note que tal divis˜o s´ pode ser feita porque temos certeza que x2 + y 2 > 0, pois (0, 0) n˜o pertence ao dom´
a o a ınio
da fun¸˜o.
ca
Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o (2) por 3|y|, obtemos
ca
3x2 |y|
≤ 3|y|. (3)
x2 + y 2
Mas, pelas propriedades de m´dulo |y| =
o y 2 , ent˜o 3|y| = 3 y 2 . Assim,
a
3x2 |y|
≤3 y2 . (4)
x2 + y 2
Sabemos que y 2 ≤ x2 + y 2 , ent˜o
a y2 ≤ x2 + y 2 . Logo, 3 y 2 ≤ 3 x2 + y 2 . Da´
ı,
3x2 |y|
≤3 y2 ≤ 3 x2 + y 2 . (5)
x2 + y 2
Pela propriedade transitiva das desigualdades (se a < b < c ent˜o a < c), conclu´
a ımos que
3x2 |y|
≤3 x2 + y 2 . (6)
x2 + y 2
1
2. 3x2 |y| 3x2 y
Como x2 e y 2 s˜o n´meros maiores ou iguais que zero,
a u x2 +y 2 = x2 +y 2 . Ent˜o,
a
3x2 y
≤3 x2 + y 2 . (7)
x2 + y 2
2a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
ca o e x2 + y 2
Dada a desigualdade 0 < x2 + y 2 < δ, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos
0<3 x2 + y 2 < 3δ. (8)
3a parte: conclus˜es
o
A partir de (7) e (8), obtemos
3x2 y
≤3 x2 + y 2 < 3δ. (9)
x2 + y 2
e conclu´
ımos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que
3x2 y
< 3δ. (10)
x2 + y 2
Escolhemos, convenientemente, δ = 3. Note que δ > 0, pois, por hip´tese,
o > 0. Substituindo δ em (10),
obtemos
3x2 y
< . (11)
x2 + y 2
3x2 y
Assim, provamos que para todo > 0, existe um δ > 0 tal que x2 +y 2 < sempre que 0 < x2 + y 2 < δ.
2