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Limite de fun¸˜es de duas vari´veis reais
                                        co               a
Defini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o de duas vari´veis cujo dom´
        ca                  ca               a               ınio D cont´m pontos arbitrariamente pr´ximos de
                                                                          e                         o
(a, b). Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (a, b) ´ L e escrevemos
                                                                      e

                                                       lim       f (x) = L
                                                   (x,y)→(a,b)

se para todo    > 0 existe um n´mero correspondente δ > 0 tal que
                               u

                            se 0 <    (x − a)2 + (y + b)2 < δ ent˜o |f (x, y) − L| < .
                                                                 a
                                         3x2 y
Problema: Mostrar que lim(x,y)→(0,0)    x2 +y 2   = 0.

Pela defini¸˜o de limite, temos que mostrar que
          ca

                                     para todo       > 0 existe um δ > 0 tal que
                                                                                    3x2 y
                            se 0 <    (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ ent˜o
                                                                 a                 x2 +y 2   −0 < .

Reescrevendo:

                                     para todo       > 0 existe um δ > 0 tal que
                                                                               3x2 y
                                     se 0 <       x2 + y 2 < δ ent˜o
                                                                  a           x2 +y 2   < .

           ınio da fun¸˜o ´ Dom f = R2  (0, 0).
Obs.: O dom´          ca e

Demonstra¸˜o
         ca

                                                   3x2 y
1a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
                  ca o            e               x2 +y 2


Como y 2 ´ sempre um n´mero positivo, sabemos que
         e            u

                                                      x2 ≤ x2 + y 2 .                                         (1)

Em outras palavras, x2 somado a algum n´mero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si
                                          u
pr´prio.
  o
Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) por x2 + y 2 , encontramos:

                                                            x2
                                                                 ≤ 1.                                         (2)
                                                       x2   + y2

Note que tal divis˜o s´ pode ser feita porque temos certeza que x2 + y 2 > 0, pois (0, 0) n˜o pertence ao dom´
                  a o                                                                      a                 ınio
da fun¸˜o.
      ca
Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o (2) por 3|y|, obtemos
                                        ca

                                                      3x2 |y|
                                                              ≤ 3|y|.                                         (3)
                                                     x2 + y 2

Mas, pelas propriedades de m´dulo |y| =
                            o                 y 2 , ent˜o 3|y| = 3 y 2 . Assim,
                                                       a

                                                     3x2 |y|
                                                             ≤3        y2 .                                   (4)
                                                    x2 + y 2

Sabemos que y 2 ≤ x2 + y 2 , ent˜o
                                a    y2 ≤     x2 + y 2 . Logo, 3 y 2 ≤ 3                x2 + y 2 . Da´
                                                                                                     ı,

                                          3x2 |y|
                                                  ≤3          y2 ≤ 3     x2 + y 2 .                           (5)
                                         x2 + y 2

Pela propriedade transitiva das desigualdades (se a < b < c ent˜o a < c), conclu´
                                                               a                ımos que

                                               3x2 |y|
                                                       ≤3          x2 + y 2 .                                 (6)
                                              x2 + y 2


                                                              1
3x2 |y|         3x2 y
Como x2 e y 2 s˜o n´meros maiores ou iguais que zero,
               a u                                        x2 +y 2   =    x2 +y 2   . Ent˜o,
                                                                                        a

                                               3x2 y
                                                       ≤3       x2 + y 2 .                                                 (7)
                                              x2 + y 2



2a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
                  ca o            e            x2 + y 2

Dada a desigualdade 0 <    x2 + y 2 < δ, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos

                                              0<3    x2 + y 2 < 3δ.                                                        (8)



3a parte: conclus˜es
                 o

A partir de (7) e (8), obtemos
                                           3x2 y
                                                   ≤3         x2 + y 2 < 3δ.                                               (9)
                                          x2 + y 2

e conclu´
        ımos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que

                                                  3x2 y
                                                          < 3δ.                                                           (10)
                                                 x2 + y 2

Escolhemos, convenientemente, δ =    3.   Note que δ > 0, pois, por hip´tese,
                                                                       o                      > 0. Substituindo δ em (10),
obtemos
                                                   3x2 y
                                                           < .                                                            (11)
                                                  x2 + y 2
                                                                         3x2 y
Assim, provamos que para todo    > 0, existe um δ > 0 tal que           x2 +y 2    <   sempre que 0 <     x2 + y 2 < δ.




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  • 1. Limite de fun¸˜es de duas vari´veis reais co a Defini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o de duas vari´veis cujo dom´ ca ca a ınio D cont´m pontos arbitrariamente pr´ximos de e o (a, b). Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (a, b) ´ L e escrevemos e lim f (x) = L (x,y)→(a,b) se para todo > 0 existe um n´mero correspondente δ > 0 tal que u se 0 < (x − a)2 + (y + b)2 < δ ent˜o |f (x, y) − L| < . a 3x2 y Problema: Mostrar que lim(x,y)→(0,0) x2 +y 2 = 0. Pela defini¸˜o de limite, temos que mostrar que ca para todo > 0 existe um δ > 0 tal que 3x2 y se 0 < (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ ent˜o a x2 +y 2 −0 < . Reescrevendo: para todo > 0 existe um δ > 0 tal que 3x2 y se 0 < x2 + y 2 < δ ent˜o a x2 +y 2 < . ınio da fun¸˜o ´ Dom f = R2 (0, 0). Obs.: O dom´ ca e Demonstra¸˜o ca 3x2 y 1a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de ca o e x2 +y 2 Como y 2 ´ sempre um n´mero positivo, sabemos que e u x2 ≤ x2 + y 2 . (1) Em outras palavras, x2 somado a algum n´mero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si u pr´prio. o Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) por x2 + y 2 , encontramos: x2 ≤ 1. (2) x2 + y2 Note que tal divis˜o s´ pode ser feita porque temos certeza que x2 + y 2 > 0, pois (0, 0) n˜o pertence ao dom´ a o a ınio da fun¸˜o. ca Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o (2) por 3|y|, obtemos ca 3x2 |y| ≤ 3|y|. (3) x2 + y 2 Mas, pelas propriedades de m´dulo |y| = o y 2 , ent˜o 3|y| = 3 y 2 . Assim, a 3x2 |y| ≤3 y2 . (4) x2 + y 2 Sabemos que y 2 ≤ x2 + y 2 , ent˜o a y2 ≤ x2 + y 2 . Logo, 3 y 2 ≤ 3 x2 + y 2 . Da´ ı, 3x2 |y| ≤3 y2 ≤ 3 x2 + y 2 . (5) x2 + y 2 Pela propriedade transitiva das desigualdades (se a < b < c ent˜o a < c), conclu´ a ımos que 3x2 |y| ≤3 x2 + y 2 . (6) x2 + y 2 1
  • 2. 3x2 |y| 3x2 y Como x2 e y 2 s˜o n´meros maiores ou iguais que zero, a u x2 +y 2 = x2 +y 2 . Ent˜o, a 3x2 y ≤3 x2 + y 2 . (7) x2 + y 2 2a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de ca o e x2 + y 2 Dada a desigualdade 0 < x2 + y 2 < δ, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos 0<3 x2 + y 2 < 3δ. (8) 3a parte: conclus˜es o A partir de (7) e (8), obtemos 3x2 y ≤3 x2 + y 2 < 3δ. (9) x2 + y 2 e conclu´ ımos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que 3x2 y < 3δ. (10) x2 + y 2 Escolhemos, convenientemente, δ = 3. Note que δ > 0, pois, por hip´tese, o > 0. Substituindo δ em (10), obtemos 3x2 y < . (11) x2 + y 2 3x2 y Assim, provamos que para todo > 0, existe um δ > 0 tal que x2 +y 2 < sempre que 0 < x2 + y 2 < δ. 2