Este documento contém 11 exercícios sobre dependência linear e bases de vetores. Os exercícios abordam conceitos como desenhar conjuntos de vetores, verificar se vetores são linearmente dependentes ou independentes, escrever vetores como combinação linear de outros vetores e determinar coordenadas de vetores.

1. Universidade Federal do ABC
Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti
Lista 2 – Dependência Linear e Bases
1 Se possível, desenhe. Se impossível, explique por quê.
(a) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ )
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
(b) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ )
Considerando que as duas primeiras condições são verdadeiras e que dois vetores são
sempre coplanares, ⃗ e ⃗⃗ estão no mesmo plano, portanto o conjunto dos três vetores
não pode ser linearmente independente.
(c) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ )
Admitindo as duas primeiras condições como verdadeiras, a terceira é impossível, pois
os vetores ⃗ e ⃗⃗ são paralelos.
(d) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ )
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
2 Verdadeiro ou falso. Explique.
(a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ implica que A, B e C são colineares.
Falso, conforme contraexemplo abaixo.
A
C
B
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

2. (b) Se os 4 pontos A, B, C e D são não coplanares, então os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ também
são não coplanares.
Verdadeiro, conforme ilustração abaixo.
θ
D
D
B λ
α C
A
γ
Nota-se que ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são não-coplanares.
3 Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , prove que ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são ld para qualquer O.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
O vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ pôde ser escrito como combinação linear de ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ , portanto
{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ } é linearmente dependente para qualquer ponto O.
4 Dados os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , prove
que os vetores , ⃗ e são ld.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Logo, { ⃗ } é ld.
5 Sejam ⃗ , ⃗ e ⃗ três vetores quaisquer, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ . Prove
que ⃗ , ⃗ e ⃗⃗⃗ são ld.
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

3. Sendo , ⃗ e vetores ld, são também coplanares, portanto os vetores resultantes ⃗ , ,
⃗⃗ são também coplanares e ld.
Sendo , ⃗ e vetores li, podem formar a base ( ⃗ ). Logo,
⃗ ( )
( )
⃗⃗ ( )
| | *⃗ ⃗⃗ +
6 Sejam O, A, B e C quatro pontos tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ . Sendo os vetores e ⃗ li, determine m para que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ sejam ld.
Ilustre o problema com um desenho.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos se, e somente se, existir tal que
( )⃗ [ ( )⃗ ] ( )⃗ ( )⃗
A igualdade é verdadeira se
( ) ( )
Substituindo a primeira igualdade na segunda:
( )
A
⃗
O B
C
7 No ΔABC temos ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Determine para que
⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo ao vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
C
P
Q
A B
i) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
ii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

4. iii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Mas,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Logo,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ⃗) ( )⃗ ( )
iv) ⃗⃗⃗⃗⃗ deve ser paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ( )⃗ . / deve ser
paralelo à ⃗ , então deve existir tal que:
( )⃗ ( ) [⃗ ]
Resolvendo a igualdade, obtém-se o sistema de equações:
( )
÷
( )
Para que ⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , .
8 Dados os vetores ( ), ⃗ ( ) e ( ), escreva o vetor
( ) como combinação linear de , ⃗ e .
⃗
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
Logo, e .
Portanto:
⃗
9 É possível escrever (0,0,1) como combinação linear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1)? Se
quatro vetores de V³ são sempre ld, como interpretar a resposta anterior?
( ) ( ) ( ) ( )
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

5. ( ) ( )
O sistema é impossível, portanto não é possível escrever (0,0,1) como combinação
linear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1).
Para que os quatro vetores sejam ld, a igualdade
( ) ( ) ( ) ( ) ⃗
deve ser verificada, de forma que os coeficientes reais a, b ,c e g não sejam
simultaneamente nulos.
Como o primeiro vetor não é combinação linear dos demais e é sabido que quatro
vetores são sempre ld, então o coeficiente g é nulo. Com g = 0, a igualdade verificar-se-
á.
10 Os vetores ⃗ ( )e ( ) são paralelos. Determine as
coordenadas de ⃗ .
Se ⃗ e são paralelos a razão entre suas coordenadas e igual, portanto são válidas as
igualdades
Resolvendo a primeira igualdade, temos:
Tomando a = 4 e resolvendo a segunda desigualdade:
( )
Tomando a = 1 e resolvendo a segunda desigualdade:
⁄
Para e ⁄ ,⃗ . /e ( ).
Logo,
⃗ ( )
11 ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Determine y e z sabendo que
C pertence à reta AB.
B
O ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
C
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) (
)
A
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

6. ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto a razão entre suas coordenadas é constante. Logo,
Primeira igualdade:
Segunda igualdade:
12 Sejam ⃗ ( ), ( ) e ⃗⃗ ( ) Mostre que
(⃗ ⃗⃗ ) é uma base de V³, independentemente do valor de m.
| | ( ) ( )
(⃗ ⃗⃗ ) é uma base em V³ se, e somente se, .
não possui zeros, portanto, , então ( ⃗ ⃗⃗ ) é sempre um
conjunto de vetores linearmente independentes.
13 Seja (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) uma base. Sejam ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ .
(a) Mostre que (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) também é uma base.
| |
Portanto, (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) é li e F uma base.
(b) Resolva ( ) ( ) .
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Logo, ( ) ( ) .
(c) Determine na base F as coordenadas de ( )
, - ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

7. (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(I)
(II)
(III)
(I) em (II):
(IV)
(I) e (IV) em (III)
Resposta: ( ) . /
14 Seja (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) uma base de V³.
(a) Demonstre que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), com ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , é uma base em V³.
| |
Portanto, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) é li e C uma base.
(b) Se ( ) , quais são as coordenadas de na base C?
Do enunciado de (a), temos:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Então, a matriz de mudança de base de B para C é:
( )
Para calcular o vetor na base C será necessário calcular antes a matriz
( ) . O cálculo será realizado em etapas:
i) | |
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

8. ii) ( )
iii) ( ) ( )
iv) ( ) ( )
( )
Tendo calculado a matriz inversa é possível encontrar o vetor na base C.
, - , -
⁄
( ) ( ) ⁄
( ⁄ )
( ) ( )
Resposta:
( )
(c) Se ⃗ ( ) , quais as coordenadas de ⃗ na base B?
[⃗ ] [⃗ ]
[⃗ ] ( ) ( ) ( ) ( )
Reposta:
( )
15 Dadas as bases E = ((-1,1,0)B,(1,1,2)B, (-1,0 1)B) e F = ((0,1,1)E, (1,2,-1)E, (2,-1,0)E),
determine na base B as coordenadas de ( ) ( ) .
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
Resolvido por:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia

9. i) Escrevendo o vetor ( ) na base B:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
ii) Escrevendo o vetor ( ) na base E:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
iii) Escrevendo o vetor ( ) na base B:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
Resposta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
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Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia