Este documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre produto escalar e geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de ângulos entre vetores, determinação de vetores ortogonais, decomposição de vetores e projeções de vetores.
Este documento apresenta a resolução de quatro problemas de geometria analítica. O primeiro problema envolve escrever um vetor em função de outros dois vetores. O segundo problema determina valores que fazem com que o volume de um paralelepípedo seja 11 unidades. O terceiro problema envolve encontrar equações paramétricas e de interseção de uma reta com planos. O quarto problema localiza pontos equidistantes de dois outros pontos.
1) A reta u é perpendicular às retas s e t e sua equação é (x-3)/(y-2)=(y-1)/(x+1). A distância entre r e u é √5 unidades.
2) Para que a reta r seja paralela ao plano π e não contenha a reta r, m e n devem satisfazer m=√3 e n=√3. A equação da reta r é (x-1)/(y-2)=(y-3)/(x).
3) A distância entre os planos π1 e π2 é √10 unidades e a distância
Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo A.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento contém 11 exercícios sobre dependência linear e bases de vetores. Os exercícios abordam conceitos como desenhar conjuntos de vetores, verificar se vetores são linearmente dependentes ou independentes, escrever vetores como combinação linear de outros vetores e determinar coordenadas de vetores.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento apresenta a resolução de quatro problemas de geometria analítica. O primeiro problema envolve escrever um vetor em função de outros dois vetores. O segundo problema determina valores que fazem com que o volume de um paralelepípedo seja 11 unidades. O terceiro problema envolve encontrar equações paramétricas e de interseção de uma reta com planos. O quarto problema localiza pontos equidistantes de dois outros pontos.
1) A reta u é perpendicular às retas s e t e sua equação é (x-3)/(y-2)=(y-1)/(x+1). A distância entre r e u é √5 unidades.
2) Para que a reta r seja paralela ao plano π e não contenha a reta r, m e n devem satisfazer m=√3 e n=√3. A equação da reta r é (x-1)/(y-2)=(y-3)/(x).
3) A distância entre os planos π1 e π2 é √10 unidades e a distância
Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo A.
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Este documento contém 11 exercícios sobre dependência linear e bases de vetores. Os exercícios abordam conceitos como desenhar conjuntos de vetores, verificar se vetores são linearmente dependentes ou independentes, escrever vetores como combinação linear de outros vetores e determinar coordenadas de vetores.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
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Este documento resume as propriedades básicas das cônicas, especificamente parábolas. Explica que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto focal e uma reta diretriz. Detalha os elementos da parábola, como foco, diretriz e vértice, e apresenta as equações canônicas da parábola para diferentes orientações do eixo.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo A.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades.
3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.
1. A equação da hipérbole dada é (x - 2)2/4 - (y + 1)2/5 = 1. Seus focos são F1(-1,-1) e F2(5,-1). As assíntotas têm equações 2(y+1) = -2,5(x-2) e 2(y+1) = 2,5(x-2).
Este documento apresenta 25 exercícios sobre cálculo de áreas de figuras planas. Os exercícios abordam cálculos de áreas de retângulos, quadrados, losangos, trapézios, triângulos e figuras compostas. As questões progridem da simples determinação de áreas para casos mais complexos envolvendo propriedades geométricas.
O documento discute as posições relativas entre pontos, retas e planos, incluindo se um ponto pertence ou não a uma reta ou plano, e as relações entre duas retas coplanares ou reversas, que podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares.
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIOVladimir Sejas
1. A sequência didática propõe atividades para introduzir trigonometria no ensino médio utilizando modelagem matemática com referências na realidade.
2. As atividades são organizadas em blocos preparatórios, triângulos retângulos, transição para o círculo trigonométrico e aplicações no círculo e plano cartesiano.
3. A sequência visa motivar os alunos a descobrirem propriedades trigonométricas por meio de investigações guiadas e um projeto final.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a ângulos em geometria, incluindo os elementos de um ângulo, medidas de ângulos em graus, minutos e segundos, operações com medidas de ângulos, tipos de ângulos e relações entre ângulos.
Este documento apresenta conceitos básicos de geometria espacial, incluindo definições de ponto, reta, plano e espaço, bem como suas posições relativas. Detalha postulados fundamentais e conceitos como paralelismo, perpendicularidade e ângulos entre retas e planos. Por fim, aborda noções de distância no espaço entre pontos e retas ou pontos e planos.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang beberapa konsep dasar matematika seperti proyeksi garis pada bidang, jarak antara titik dan garis/bidang, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Exercícios resolvidos / rascunhos - conjuntos de dois sólidos treino axonomet...Jose H. Oliveira
O documento fornece instruções para 12 exercícios de construção de representações axonométricas ortogonais de formas tridimensionais compostas por vários sólidos geométricos. Fornece detalhes sobre os sistemas axonométricos e os dados geométricos necessários para representar cada conjunto de sólidos, incluindo pontos, medidas e posições relativas.
(1) O documento discute fatoração e produtos notáveis de binômios, incluindo quadrados e cubos de (a + b) e (a - b), diferença de quadrados e cubos, e multiplicação de binômios com um termo comum. (2) As fórmulas principais incluem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, e a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). (3) Os exemplos demonstram como aplicar ess
O documento descreve os diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva e suas relações com os sistemas de coordenadas e referenciais. Inclui planos paralelos, perpendiculares e oblíquos aos planos de projeção frontal, horizontal e de perfil, e define suas abreviações e propriedades geométricas essenciais.
O documento descreve como resolver equações biquadradas, que são equações do 4o grau com termos em x4, x2 e constante. Ele explica que deve-se substituir x4 por y2 e x2 por y para transformar a equação biquadrada em uma equação quadrática. Em seguida, resolve-se essa equação quadrática para encontrar y' e y'', cujas raízes quadradas dão as soluções reais da equação biquadrada original. Exemplos ilustram cada etapa do processo.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios de geometria plana para o 3o ano do ensino médio. Está dividido em 13 aulas que abordam conceitos como pontos notáveis de triângulos, quadriláteros notáveis, polígonos convexos, ângulos na circunferência, semelhança e relações métricas em triângulos, circunferência e círculo, inscrição e circunscrição de polígonos regulares e áreas das figuras planas.
O documento define conceitos fundamentais sobre circunferências, como: (1) circunferência é um lugar geométrico de pontos equidistantes de um ponto central chamado de centro; (2) a diferença entre círculo e circunferência; (3) propriedades como raio, diâmetro e corda; (4) como encontrar a equação reduzida e geral da circunferência a partir do centro e raio.
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
Este documento apresenta as resoluções de sete questões sobre matrizes e determinantes. A primeira questão trata da ordem de uma expressão matricial resultante de uma série de produtos de matrizes. A segunda questão pede para igualar uma matriz produto a outra dada. A terceira questão calcula o produto de elementos de uma matriz resultante da soma de outras duas. As demais questões calculam determinantes de matrizes dadas ou relacionadas a elas.
1) O documento descreve as características geométricas de um cilindro, incluindo sua composição, classificações, planificação, área e volume.
2) Um cilindro é formado por duas bases circulares paralelas conectadas por geratrizes retas paralelas ao eixo. Sua altura é a distância entre os planos das bases.
3) O documento fornece fórmulas para calcular a área total e o volume de um cilindro.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
Este documento resume as propriedades básicas das cônicas, especificamente parábolas. Explica que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto focal e uma reta diretriz. Detalha os elementos da parábola, como foco, diretriz e vértice, e apresenta as equações canônicas da parábola para diferentes orientações do eixo.
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo A.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades.
3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.
1. A equação da hipérbole dada é (x - 2)2/4 - (y + 1)2/5 = 1. Seus focos são F1(-1,-1) e F2(5,-1). As assíntotas têm equações 2(y+1) = -2,5(x-2) e 2(y+1) = 2,5(x-2).
Este documento apresenta 25 exercícios sobre cálculo de áreas de figuras planas. Os exercícios abordam cálculos de áreas de retângulos, quadrados, losangos, trapézios, triângulos e figuras compostas. As questões progridem da simples determinação de áreas para casos mais complexos envolvendo propriedades geométricas.
O documento discute as posições relativas entre pontos, retas e planos, incluindo se um ponto pertence ou não a uma reta ou plano, e as relações entre duas retas coplanares ou reversas, que podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares.
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIOVladimir Sejas
1. A sequência didática propõe atividades para introduzir trigonometria no ensino médio utilizando modelagem matemática com referências na realidade.
2. As atividades são organizadas em blocos preparatórios, triângulos retângulos, transição para o círculo trigonométrico e aplicações no círculo e plano cartesiano.
3. A sequência visa motivar os alunos a descobrirem propriedades trigonométricas por meio de investigações guiadas e um projeto final.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a ângulos em geometria, incluindo os elementos de um ângulo, medidas de ângulos em graus, minutos e segundos, operações com medidas de ângulos, tipos de ângulos e relações entre ângulos.
Este documento apresenta conceitos básicos de geometria espacial, incluindo definições de ponto, reta, plano e espaço, bem como suas posições relativas. Detalha postulados fundamentais e conceitos como paralelismo, perpendicularidade e ângulos entre retas e planos. Por fim, aborda noções de distância no espaço entre pontos e retas ou pontos e planos.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang beberapa konsep dasar matematika seperti proyeksi garis pada bidang, jarak antara titik dan garis/bidang, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Exercícios resolvidos / rascunhos - conjuntos de dois sólidos treino axonomet...Jose H. Oliveira
O documento fornece instruções para 12 exercícios de construção de representações axonométricas ortogonais de formas tridimensionais compostas por vários sólidos geométricos. Fornece detalhes sobre os sistemas axonométricos e os dados geométricos necessários para representar cada conjunto de sólidos, incluindo pontos, medidas e posições relativas.
(1) O documento discute fatoração e produtos notáveis de binômios, incluindo quadrados e cubos de (a + b) e (a - b), diferença de quadrados e cubos, e multiplicação de binômios com um termo comum. (2) As fórmulas principais incluem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, e a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). (3) Os exemplos demonstram como aplicar ess
O documento descreve os diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva e suas relações com os sistemas de coordenadas e referenciais. Inclui planos paralelos, perpendiculares e oblíquos aos planos de projeção frontal, horizontal e de perfil, e define suas abreviações e propriedades geométricas essenciais.
O documento descreve como resolver equações biquadradas, que são equações do 4o grau com termos em x4, x2 e constante. Ele explica que deve-se substituir x4 por y2 e x2 por y para transformar a equação biquadrada em uma equação quadrática. Em seguida, resolve-se essa equação quadrática para encontrar y' e y'', cujas raízes quadradas dão as soluções reais da equação biquadrada original. Exemplos ilustram cada etapa do processo.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios de geometria plana para o 3o ano do ensino médio. Está dividido em 13 aulas que abordam conceitos como pontos notáveis de triângulos, quadriláteros notáveis, polígonos convexos, ângulos na circunferência, semelhança e relações métricas em triângulos, circunferência e círculo, inscrição e circunscrição de polígonos regulares e áreas das figuras planas.
O documento define conceitos fundamentais sobre circunferências, como: (1) circunferência é um lugar geométrico de pontos equidistantes de um ponto central chamado de centro; (2) a diferença entre círculo e circunferência; (3) propriedades como raio, diâmetro e corda; (4) como encontrar a equação reduzida e geral da circunferência a partir do centro e raio.
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
Este documento apresenta as resoluções de sete questões sobre matrizes e determinantes. A primeira questão trata da ordem de uma expressão matricial resultante de uma série de produtos de matrizes. A segunda questão pede para igualar uma matriz produto a outra dada. A terceira questão calcula o produto de elementos de uma matriz resultante da soma de outras duas. As demais questões calculam determinantes de matrizes dadas ou relacionadas a elas.
1) O documento descreve as características geométricas de um cilindro, incluindo sua composição, classificações, planificação, área e volume.
2) Um cilindro é formado por duas bases circulares paralelas conectadas por geratrizes retas paralelas ao eixo. Sua altura é a distância entre os planos das bases.
3) O documento fornece fórmulas para calcular a área total e o volume de um cilindro.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
Lista 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sis...Bruno Castilho
(1) A matriz A+B é igual a 2 1, 3 5
(2) A matriz B que satisfaz AB = 0 é 1 2 0, 0 1 3
(3) Para que X + 2C = A2(B – 3C), a matriz X é 4 11/5 -12/5, -29/5 -8/5 -1
Alguns exercícios de
Geometria Analítica (vetores) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo C.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
"DISPOSITIVO MICROCONTROLADO PARA INSERIR DEFICIENTES VISUAIS AO TRÁFEGO URBANO COM CONFIANÇA".
Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado a Escola Técnica Estadual Lauro Gomes, como parte dos requisitos para obtenção do título de Técnico em Eletrônica, orientado pelos engenheiros Egmar Accetto e Paulo Celso Corrêa.
Este documento apresenta 154 exercícios de álgebra linear envolvendo vetores em 2 e 3 dimensões. Os exercícios abordam tópicos como determinação de igualdade entre vetores, expressão de vetores como combinação linear de outros vetores, divisão de segmentos vetoriais em partes iguais e cálculo de normas e versores. As respostas são fornecidas de forma sucinta para cada questão.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
O documento apresenta os exercícios resolvidos da lista de exercícios de cálculo da disciplina de Prof. Adilson Novazzi. Os exercícios envolvem derivar funções, obter a reta tangente e a reta normal em pontos específicos de funções, e determinar retas tangentes paralelas ou perpendiculares a outras retas. O documento é assinado por Rodrigo Thiago Passos Silva.
1) A expressão matemática do título é equivalente a 1. Isto é demonstrado através de propriedades de limites e de matrizes invertíveis.
2) A igualdade trigonométrica sen2ρ + cos2ρ = 1 é demonstrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por pontos de uma circunferência.
3) É mostrado que a expressão cosh x(1 - tanh2x) é igual a 1, definindo funções hiperbólicas e reduzindo a uma progressão
O documento apresenta um estudo estatístico sobre a criminalidade na cidade de São Paulo nos últimos 5 anos. Os principais resultados mostram que: (1) os homicídios dolosos tiveram uma média de 424,6 por trimestre com tendência de queda; (2) os roubos apresentaram alta variabilidade com tendência de queda; (3) as prisões efetuadas e armas apreendidas tiveram correlação positiva com os homicídios e roubos. O documento analisa vários outros crimes e atividades policiais.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
O documento apresenta os principais conceitos e técnicas de cálculo diferencial e integral de funções de uma variável, incluindo derivação, integração, regras de derivação, integração por partes e resolução de exercícios.
O documento discute os eixos de simetria e as relações entre os lados e ângulos de triângulos equiláteros, isósceles e escalenos. Explica que triângulos com lados iguais têm ângulos iguais e vice-versa, e que em triângulos escalenos o maior lado opõe-se ao maior ângulo e o menor lado opõe-se ao menor ângulo.
1) O documento aplica a segunda lei de Newton para calcular a aceleração de uma bola em movimento circular uniforme presa a um eixo por uma corda.
2) Ele deriva uma equação para a aceleração da bola em termos da velocidade angular, raio e distância da bola ao eixo.
3) O documento então resolve a equação para casos específicos de distância da bola ao eixo para encontrar a aceleração nas direções x', y' e z'.
O documento discute ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, incluindo propriedades como ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos. Ele também apresenta exemplos e atividades para praticar esses conceitos.
O documento apresenta os seguintes cálculos vetoriais para um cubo de aresta a:
1) A diagonal tem comprimento √3a
2) O ângulo entre a diagonal e um lado adjacente é de 45°
3) O ângulo entre a diagonal e uma face adjacente é de arccos(1/√3) ≈ 54.7°
4) O ângulo entre duas diagonais é de arccos(1/√3) ≈ 54.7°
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.numerosnamente
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores.
2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores.
3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
i) A velocidade do objeto em função da posição é dada por v = √2gx.
ii) A força normal é dada por N = mg/√1+(2gx/g).
iii) A aceleração tangencial é dada por at = √2g.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo o teorema de Pitágoras, definições de funções trigonométricas e relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar esses conceitos para calcular medidas desconhecidas. Exercícios propostos no final permitem ao leitor praticar.
O documento descreve o Teorema de Pitágoras, explicando que ele relaciona os lados de um triângulo retângulo e foi fundamental para o desenvolvimento da matemática, geometria e trigonometria. O texto também fornece detalhes sobre como ensinar o teorema, incluindo atividades e exemplos históricos.
O documento descreve o Teorema de Pitágoras, explicando que ele relaciona os lados de um triângulo retângulo e foi fundamental para o desenvolvimento da matemática, geometria e trigonometria. O texto também discute a importância histórica do teorema e como ele inspirou avanços em mapeamento, navegação e física.
O objeto desce uma rampa parabólica com velocidade inicial v0. Sua velocidade é dada por v = v0√(1-x/a), a força normal é N = mg√(1-x/a) e a aceleração tangencial é at = -g√(1-x/a), onde a é o comprimento da rampa.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo: (1) o sistema de coordenadas cartesianas no plano cartesiano e como ele permite representar pontos e figuras geométricas através de pares de números; (2) como calcular medidas algébricas, distâncias e razões de seção entre pontos; e (3) equações que representam retas no plano, incluindo sua forma geral, reduzida e segmentária.
O documento introduz conceitos básicos de trigonometria, incluindo arco de circunferência, ângulo central, comprimento de circunferência, ciclo trigonométrico, funções seno, cosseno e tangente. Exercícios são fornecidos para que o leitor possa aplicar os conceitos aprendidos e visualizar gráficos das funções trigonométricas.
O documento descreve o teorema de Pitágoras e suas aplicações, incluindo: a história do teorema com Pitágoras e os egípcios; classificações e relações métricas de triângulos retângulos; e a generalização do teorema para outras figuras geométricas. Exemplos e exercícios ilustram o uso do teorema.
O documento descreve o cálculo do preço faturado com a operação de recompra de energia elétrica não utilizada pelo comprador. O preço faturado é menor que o preço contratado se o preço de recompra for maior que o preço contratado, e maior que o preço contratado se o preço de recompra for menor que o preço contratado.
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais.
2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto.
3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
O documento discute as fontes não renováveis de energia, com foco nos petróleos ultra-pesados. Apresenta as seguintes informações essenciais:
1) Petróleos ultra-pesados têm densidade menor que 10°API e são encontrados em depósitos no Canadá, Venezuela, Rússia e outros países.
2) Na Venezuela, a faixa do Orinoco contém os 2o maiores depósitos de petróleo ultra-pesado do mundo, com estimativas de reservas entre 60-500 bilhões de barris.
3) A
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
- Uma usina tem água de resfriamento saindo a 35°C e entrando em uma torre de resfriamento a 100 kg/s. A água é resfriada a 22°C e o ar entra a 100 kPa e 20°C e sai saturado a 30°C.
- Fazendo balanços de massa e energia, calcula-se a vazão de ar para a torre como 82,03 m3/s e a vazão de água de reposição como 1,802 kg/s.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1. Os alunos construíram um sensor de campo magnético usando uma bobina enrolada em um tubo de PVC para medir o campo magnético de um ímã.
2. Eles passaram o ímã rapidamente através da bobina para induzir uma tensão elétrica de acordo com a lei de Faraday.
3. Usando medições do osciloscópio, eles calcularam a área sob a curva da tensão induzida para determinar o valor do campo magnético, que teve um erro de 4% em comparação com
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Apresentação para a disciplina de Tecnologia de Produção de Etanol - UFABC
Contato: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
1. Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti
Lista 3 – Produto Escalar
Resolução
1 – Calcule o cosseno do ângulo formado entre os vetores e .
‖ ‖ √ √
‖ ‖ √ √
‖ ‖‖ ‖ onde é o ângulo entre os vetores.
√ √
√ √ √
2 – Determine m para que os vetores e fiquem ortogonais.
São ortogonais se .
3 – Sejam dados ⃗ e .
a) Se ⃗⃗ ⃗ , determine para que ⃗ e ⃗⃗ sejam ortogonais.
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
b) Determine o cosseno do ângulo que ⃗ forma com .
⃗
‖⃗ ‖ √ √
‖ ‖ √ √
⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖
√ √
√ √ √ √
1
2. 4 – Sejam ⃗ e . Pede-se um vetor sabendo-se que ⃗ é
ortogonal a ⃗ , é ortogonal a , | | √ e e ⃗ formam um ângulo agudo.
Considerando .
⃗
i) ⃗ ⃗
ii)
iii) | | √ √ √
Devemos resolver o sistema formado pelas equações (I), (II) e (III). Substituindo (I) e
(II) em (III), temos:
Para , temos . Logo, .
Para , temos . Logo, ( ).
iv) ⃗
⃗
⃗ ( )
Portanto, ou ( ).
5 – Decomponha o vetor ⃗ em uma soma de vetores e ⃗ sabendo que é
paralelo ao vetor e ⃗ é ortogonal ao vetor .
⃗ ⃗ tal que,
i)
ii) ⃗ ⃗
Sendo ⃗ , temos que
2
3. e
⃗ ⃗
De onde obtemos o sistema:
(I)
(II)
(III)
Substituindo (III) em (I) e (II), encontramos e .
Portanto, ⃗ ⃗ ⃗ .
6 – Dados os vetores ⃗ e ⃗⃗ , calcule o comprimento da projeção
do vetor ⃗ ⃗⃗ sobre o eixo cuja direção é dada pelo vetor ⃗⃗ ⃗.
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗
‖ ⃗ ‖
‖⃗ ‖ √ √
7 – Dados ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
(a) Mostre que ABC é um triângulo;
ABC é um retângulo se A, B e C forem não-colineares, i.e., ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são linearmente
independentes.
Devemos mostrar que |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Facilmente observa-se que inexiste tal que as coordenadas x igualem-se. Logo, ABC é
um triângulo.
(b) Determine a projeção de ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(c) Ache o comprimento da altura relativa à hipotenusa.
3
4. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
Portanto, ⃗⃗⃗⃗⃗ é a hipotenusa.
Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ a base e ⃗⃗⃗⃗⃗ a altura, temos
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √
Escolhendo, agora, ⃗⃗⃗⃗⃗ como base e sendo h sua altura relativa, temos
‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
8 – Ache a projeção ortogonal de na direção de um eixo que forma
ângulos iguais com os vetores da base ortonormal ⃗ .
Seja ⃗ o vetor que dirige o eixo que forma ângulos iguais com os vetores da
base ortonormal ⃗ , temos: , e ; onde é o
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
ângulo entre ⃗ e , é o ângulo entre ⃗ e e é o ângulo entre ⃗ e ⃗ .
Para * + ; então
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
Logo, podemos assumir ⃗ .
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
( )
9 – Determine o ângulo formado pelos vetores não nulos ⃗ e , sabendo que | ⃗ |
| | |⃗ |.
⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖
Mas,
‖⃗ ‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗
4
5. Então,
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖
‖ ⃗ ‖‖ ‖
Se, | ⃗ | | | |⃗ | , então | ⃗ | | | |⃗ | . Logo,
10 – Supondo e ⃗ não nulos, demonstre algebricamente que: | ⃗| | | | ⃗ | se, e
somente se, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.
i) | ⃗| | | |⃗ | e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido
Como demonstrado no exercício 9,
‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Então,
√‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖)
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖
⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖
Mas, ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ , então
‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖
Logo, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.
ii) e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido | ⃗| | | |⃗ |
Se e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido, então ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖.
Sabemos que
‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Então, por hipótese,
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖
‖ ⃗‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖) ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖
11 – Lembrando que ⃗ ⃗ | ⃗ | , demonstre:
(a) | ⃗| | ⃗ | se, e somente se ⃗ .
5
6. i) | ⃗| | ⃗| ⃗
Pelos exercícios acima, sabemos que
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
Analogamente,
‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
A igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ equivale à ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ , então:
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗)
i) ⃗ | ⃗| | ⃗|
‖ ⃗‖ ‖ ⃗‖
‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖
( ⃗) ( ⃗)
Mas, ⃗ , por hipótese, então
Logo, a igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ é verificada.
(b) Interprete geometricamente o resultado acima.
Se ⃗ então e ⃗ são perpendiculares.
������ ������
⃗
������ ⃗
������
Observa-se, facilmente, que os vetores ⃗ e ⃗ tem o mesmo tamanho (norma).
6