O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.

1. ´
ALGEBRA LINEAR
´
Baseado no livro Algebra Linear e Aplica¸˜es1
co
1 Transforma¸˜es Lineares
co
Defini¸˜o 1.0.1 (Transforma¸oes Lineares) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R. Uma
ca c˜ c
aplica¸˜o T : U → V ´ chamada transforma¸˜o linear se, e somente se,
ca e ca
• T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ); ∀u1 , u2 ∈ U e
• T (αu) = αT (u), ∀u ∈ R e ∀u ∈ U .
1.1 Propriedades
1. T (0) = 0
2. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U
3. T (u1 − u2 ) = T (u1 ) − T (u2 ), ∀u1 , u2 ∈ U
4. Se W ´ um sub-espa¸o de U , ent˜o a imagem de W por T ´ um sub-espa¸o de V .
e c a e c
5. Sendo T : U → V linear ent˜o
a
n n
T ai u i = ai T (ui )
i=1 i=1
1.2 Injetividade e Sobrejetividade
Defini¸˜o 1.2.1 (Injetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ injetora se, e somente se,
ca ca e
∀u1 , u2 ∈ U, u1 = u2 =⇒ T (u1 ) = T (u2 )
ou, equivalementemente, a contra-positiva
∀u1 , u2 ∈ U, T (u1 ) = T (u2 ) =⇒ u1 = u2 .
Defini¸˜o 1.2.2 (Sobrejetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ sobrejetora se, e somente
ca ca e
se, Im(T ) = V , i.e.,
∀v ∈ V, ∃u ∈ U tal que T (u) = v.
Defini¸˜o 1.2.3 (Bijetividade) Uma aplica¸˜o T : U → V ´ bijetora se, e somente se, T ´
ca ca e e
injetora e sobrejetora.
1 ´
CALLIOLI, C. DOMINGUES, H. COSTA, R. Algebra Linear e Aplica¸˜es. 6 ed. rev. S˜o Paulo:
co a
Atual, 1990. ISBN 978-85-7056-297-5.
1

2. 1.3 N´ cleo e Imagem
u
Defini¸˜o 1.3.1 (N´ cleo) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-
ca u c
forma¸˜o linear. Indica-se por Ker(T ) e denomina-se n´cleo de T o seguinte subconjunto de
ca u
U:
Ker(T ) = {u ∈ U |T (u) = 0}
Defini¸˜o 1.3.2 (Imagem) Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R e T : U → V uma trans-
ca c
forma¸˜o linear. Indica-se por Im(T ) e denomina-se imagem de F o seguinte subconjunto de
ca
U:
Im(T ) = {v ∈ V |v = T (u) para algum v ∈ V } = {T (u)|u ∈ U },
i.e., o conjunto dos vetores de V que s˜o imagem dos vetores de U .
a
Proposi¸˜o Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o:
ca c˜ a
• Ker(T ) ´ um sub-espa¸o vetorial de U ;
e c
• A transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, Ker(T ) = 0.
c˜ e
Teorema 1.3.1 (do N´ cleo e da Imagem) Seja U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o finita
u c a
sobre R. Dada uma transforma¸˜o linear T : U → V , ent˜o
ca a
dim U = dim ker(T ) + dim Im(T )
Corol´rio – Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre R com a mesma dimens˜o finita n e supo-
a c a
nhamos T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o s˜o equivalentes as seguintes afirma¸˜es:
c˜ a a co
• T ´ sobrejetora.
e
• T ´ bijetora.
e
• T ´ injetora.
e
• T transforma uma base de U em uma base de V (i.e., se B ´ uma base de U , ent˜o T (B)
e a
´ uma base de V ).
e
1.4 Isomorfismos e Automorfismos
Defini¸˜o 1.4.1 (Isomorfismo) Entende-se por isomorfismo do espa¸o vetorial U no espa¸o
ca c c
vetorial V uma transforma¸˜o linear T : U → V que seja bijetora.
ca
Defini¸˜o 1.4.2 (Automorfismo) Um isomorfismo T : U → U ´ um automorfismo de U .
ca e
Proposi¸˜o – Se T ´ um isomorfismo de U em V , ent˜o T −1 : V → U tamb´m ´ um isomorfismo
ca e a e e
(de V em U ). Em outras palaras, sempre que existe um isomorfismo T : U → V existe um
isomorfismo T −1 : V → U (isomorfismo inverso de T ). Neste caso, dizemos que U e V s˜oa
espa¸os vetoriais isomorfos.
c
Teorema 1.4.1 Dois espa¸os vetoriais U e V de dimens˜o finita s˜o isomorfos se, e somente
c a a
se,
dim U = dim V.
2

3. 2 Matriz de uma Transforma¸˜o Linear
ca
2.1 Opera¸˜es com Transforma¸oes Lineares
co c˜
Sejam U e V espa¸os vetoriais de R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transforma¸oes
c c˜
lineares de U e V . Se U = V , o conjunto dos operadores lineares de U ser´ denotado por L(U ).
a
Defini¸˜o 2.1.1 (Soma) Dados F, G ∈ L(U, V ), definimos soma F + G de F com G:
ca
F +G:U →V e (F + G)(u) = F (u) + G(u), ∀u ∈ U.
Propriedades
1. Associativa: F + (G + H) = (F + G) + H, ∀F, G, H ∈ L(U, V );
2. Comutativa: F + G = G + F, ∀F, G ∈ L(U, V );
3. Existe elemento neutro: a transforma¸ao linear nula 0 : U → V ´ tal que F + 0 = F, ∀F ∈
c˜ e
L(U, V );
4. Elemento oposto: ∀F ∈ L(U, V ), ∃(−F ) ∈ L(U, V )|F + (−F ) = 0.
Defini¸˜o 2.1.2 (Multiplica¸˜o) Dados F ∈ L(U, V ) e α ∈ R, definimos produto αF :
ca ca
αF : U → V e (αF )(u) = αF (u), ∀u ∈ U.
Propriedades
Seja F ∈ L(U, V ) e α, β ∈ R.
1. (αβ)F = α(βF );
2. (α + β)F = αF + βF ;
3. α(F + G) = αF + αG;
4. 1F = F .
Defini¸˜o 2.1.3 (Composi¸˜o) Sejam U, V e W espa¸os vetoriais sobre R. Se F : U → V
ca ca c
e G : V → W s˜o transforma¸˜es lineares, define-se a aplica¸˜o composta de F e G:
a co ca
(G ◦ F ) : U → W e (G ◦ F )(u) = G((F (u)), ∀u ∈ U.
Propriedades
1. Associativa: (H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ), ∀H, G, F ∈ L(U );
2. Operador idˆntico ´ elemento neutro da composi¸ao: I ◦ F = F ◦ I = F, ∀F ∈ L(U );
e e c˜
3. Distribuitiva: H ◦(F +G) = H ◦F +H ◦G e (F +G)◦H = F ◦H +G◦H, ∀F, G, H ∈ L(U ).
3

4. 2.2 Matriz de um Transforma¸˜o Linear
ca
Sejam U e V espa¸os vetoriais de dimens˜o n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos
c a
uma transforma¸ao linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , ..., un } de U e C = {v1 , ..., vm }
c˜
de V , ent˜o cada um dos vetores F (u1 ), ..., F (un ) est´ em V e conseq¨entemente ´ combina¸ao
a a u e c˜
linear da base C: 
F (u1 ) = α11 v1 + α21 v2 + · · · + αm1 vm



F (u2 ) = α12 v1 + α22 v2 + · · · + αm2 vm

.
.
.

F (u ) = α v + α v + · · · + α v

n 1n 1 2n 2 mn m
onde αij ´ unico.
e´
Defini¸˜o 2.2.1 A matriz m × n sobre R
ca
 
α11 α12 ··· α1n
 α21 α22
 ··· α2n 

 . . .. . 
 .. .
. . . 
.
αm1 αm2 · · · αmn
que se obt´m das considera¸˜es anteriores ´ chamada matriz de F em rela¸˜o `s bases B e C.
e co e ca a
Ser´ denontada por (F )B,C .
a
Consequencia da defini¸˜o – Se a aplica¸˜o linear for o operador identidade, a matriz
ca ca
(F )B,C = (I)B,C ser´ a matriz de mudan¸a da base C para a base B.
a c
2.3 Matriz de um Transforma¸˜o Composta
ca
Seja U , V e W espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜es m, n e p, que admitem bases B =
c o
{u1 , ..., un }, C = {v1 , ..., vm } e D = {w1 , ..., wp } respectivamente. Supondo F ∈ L(U, V ),
G ∈ L(V, W ) e que (F )B,C = (αij ) e (G)C,D = (βki ), ent˜o a
m
γkj = βki αij , onde γkj ´ o termo geral de (G ◦ F )B,D .
e
i=1
Logo,
(G ◦ F )B,D = (G)C,D · (F )B,C .
Consequˆncia da defini¸˜o da matriz de um transforma¸˜o composta – Sejam U e V
e ca ca
espa¸os vetoriais sobre R de dimens˜o m. Se B e C s˜o bases de U e V , respectivamente, e
c a a
F : U → V ´ um isomorfismo, (F )B,C ´ invers´ e sua inversa ´ dada por
e e ıvel e
((F )B,C )−1 = (F −1 )C,B .
Proposi¸˜o – Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o n sobre R. Dadas as bases B =
ca c a
{u1 , ..., un } e C = {v1 , ..., vn } de U e dado T ∈ L(U ) ´ v´lida a f´rmula
e a o
(T )C = M −1 · (T )B · M,
onde M ´ a matriz de mudan¸a da base B para a base C (M = (I)C,B ).
e c
4

5. 3 Determinantes
3.1 Permuta¸˜es
co
Defini¸˜o 3.1.1 (Permuta¸˜o) Seja n ≥ 1 um n´mero natural e Nn = {1, ..., n}. Toda
ca ca u
aplica¸˜o bijetora σ : Nn → Nn chama-se permuta¸˜o do conjunto Nn .
ca ca
Nota¸˜o – uma permuta¸˜o σ de Nn ´ denotada por
ca ca e
1 2 ··· n
σ= .
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
Defini¸˜o 3.1.2 Consideremos uma permuta¸˜o
ca ca
1 2 ··· n
σ=
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
de Nn . Seja r o n´mero de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j).
u
Chama-se sinal da permuta¸˜o σ o n´mero inteiro representado por sgn (σ), que ´
ca u e
1, se r ´ par
e
sgn (σ) =
−1, se r ´ ´mpar
eı
Observa¸˜o – O valor de r ´ igual ao n´mero de trocas que s˜o necess´rias para que a per-
ca e u a a
muta¸˜o fique na forma crescente. Se tivermos a permuta¸˜o (2 3 1) precisamos fazer as
ca ca
sequintes trocas: (1 3 2) e (1 2 3). Ou seja, r = 2 e portanto sgn = +1.
1 2 3
Exemplo 3.1 Seja σ = . Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(i) > σ(j) s˜o (1, 2)
a
3 1 2
e (1, 3); logo r = 2 e sgn (σ) = 1.
3.2 Determinantes
Defini¸˜o 3.2.1 Seja A = (aij ) uma matriz real de ordem n, chama-se determinante da matriz
ca
A de ordem n o n´mero real
u
det(A) = sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) .
σ
 
a11 a12 a13
Exemplo 3.2 Seja A = a21 a22 a23  ∈ M3 (R). As permuta¸˜es do conjunto {1, 2, 3} e
co
a31 a32 a33
respectivos sinais s˜o
a
1 2 3 1 2 3
(+1) (−1)
1 2 3 1 3 2
1 2 3 1 2 3
(+1) (−1)
2 3 1 3 2 1
1 2 3 1 2 3
(+1) (−1)
3 1 2 2 1 3
Logo, det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 .
Observa¸˜o: O n´mero de parcelas ´ sempre igual ao n´mero de permuta¸˜es poss´vel (n!).
ca u e u co ı
5

6. 3.3 Propriedades dos Determinantes
Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. A i-´sima linha da matriz ´ Ai = ai1 ai2 · · ·
e e ain .
Ent˜o a matriz A pode ser representada pela sequˆncia de vetores-linha
a e
 1
A
 A2 
A =  . .
 
 . 
.
An
1. A fun¸ao determinante ´ linear em cada uma das vari´veis A1 , A2 , ..., An , isto ´:
c˜ e a e
(a) det(A1 , A2 , ..., Ai +A i , ..., An ) = det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )+det(A1 , A2 , ..., A i , ..., An );
(b) det(A1 , A2 , ..., λAi , ..., An ) = λ det(A1 , A2 , ..., Ai , ..., An )
para todo 1 ≤ i ≤ n e para todo λ ∈ R.
Exemplo 3.3
x+1 y−1 z−3
     
x y z 1 1 3
det  1 0 2  = det  1 0 2 + det 1 0 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1
   
3λ 2λ λ 3 2 1
det  1 0 2  = λ det 1 0 2
2 2 1 2 2 1
2. Se A = (A1 , A2 , ..., An ) ´ uma matriz de ordem n e se Aj = Ak , com j < k ent˜o
e a
det(A) = 0.
3. Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B ´ a matriz obtida da seguinte maneira:
e
B = (A1 , ..., Aj , ..., Ai , ..., An ),
sendo que
A = (A1 , ..., Ai , ..., Aj , ..., An ).
Ent˜o det(B) = − det(A).
a
4. Seja A = (A1 , ..., An ). Ent˜o vale sempre a igualdade:
a
n
1 n 1 i
det(A) = det(A , ..., A ) = det(A , ..., A + αk Ak , ..., An ), ∀ak ∈ R.
k=1,k=i
5. det(A) = det(At ), para toda matriz A de ordem n.
6

7. 4 Espa¸os com Produto Interno
c
Defini¸˜o 4.0.1 (Produto Interno) Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre R.
ca c a
Entende-se por produto interno sobre V uma aplica¸˜o que transforma cada par ordenado
ca
(u, v) ∈ V × V em um n´mero real (que ser´ denotado por u, v ) obedecendo `s seguintes
u a a
condi¸˜es:
co
• u + v, w = u, w + v, w , ∀u, v, w ∈ V ;
• αu, v = α u, v , ∀α ∈ Re∀u, v ∈ V ;
• u, v = v, u , ∀u, v ∈ V ; e
• u, u ´ um n´mero real maior que zero para todo vetor u = 0.
e u
Defini¸˜o 4.0.2 Um espa¸o vetorial real com produto interno ou espa¸o euclidiano e um espa¸o
ca c c c
vetorial sobre R munido de um produto interno.
4.1 Propriedades
1. 0, u = u, 0 = 0, ∀u ∈ V .
2. u, αv = α u, v , ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V .
3. u, v + w = u, v + u, w , ∀u, v, w ∈ V .
4. Dado um n´mero inteiro m ≥ 1,
u
m m
αi ui , v = αi ui , v .
i=1 i=1
n m
5. u, j=1 αj vj = i=1 αi ui , v (n ≥ 1).
m n m n
6. i=1 αi ui , j=1 βj vj = i=1 j=1 αi βj ui , vj .
4.2 Norma e Distˆncia
a
Defini¸˜o 4.2.1 (Norma) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano com o produto interno (u, v) →
ca c
u, v . Dado um vetor u ∈ V indica-se por u e chama-se norma de u o n´mero real positivo
u
dado por
u = u, u .
Proposi¸˜o
ca
• αu = |α| u , ∀α ∈ R, ∀u ∈ V .
• u ≥ 0, ∀u ∈ V e u = 0 ⇐⇒ u = 0.
Proposi¸˜o (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) – Se V ´ um espa¸o vetorial euclidiano, ent˜o
ca e c a
| u, v | ≤ u v , ∀u, v ∈ V.
Corol´rio (Desigualdade triangular) – Num espa¸o euclidiano vale a seguinte desigualdade:
a c
u + v ≤ u + v , ∀u, v ∈ V.
7

8. 4.2.1 M´trica
e
Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Consideremos a aplica¸˜o d : V × V → R, assim definida:
c ca
d(u, v) = u − v , ∀u, v ∈ V.
Valem as seguintes proprieades:
1. d(u, v) ≥ 0, ∀u, v ∈ V e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v.
2. d(u, v) = d(v, u), ∀u, v, ∈ V .
3. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ V .
Pelo fato de valerem as trˆs propriedades acima, damos ` aplica¸˜o d : V × V → R o nome de
e a ca
m´trica sobre V , induzida pela norma. O n´mero d(u, v) ´ chamado distˆncia de u a v.
e u e a
4.2.2 ˆ
Angulo entre dois vetores
Da desigualdade de Caughy-Schawarz segue que
u, v
− u v ≤ u, v ≤ u v ⇒ −1 ≤ ≤ 1.
u v
Logo, existe um unico θ ∈ R, tal que 0 ≤ θ ≤ π e
´
u, v
cos θ = .
u v
4.3 Ortogonalidade
Defini¸˜o 4.3.1 Seja V um espa¸o euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V s˜o orto-
ca c a
gonais se, e somente se, u, v = 0. Um conjunto S = {u1 , ..., ur } ⊂ V se diz ortonormal se, e
somente se
• ui = 1 (i = 1, 2, ..., r) e
• dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, s˜o ortogonais.
a
Proposi¸˜o – Seja S = {g1 , ..., gr } um subconjunto ortonormal do espa¸o euclidiano V . Ent˜o,
ca c a
∀u ∈ V , o vetor v = u− u, g1 g1 −· · ·− u, gr gr ´ ortogonal a todo vetor do sub-espa¸o vetorial
e c
gerado pelos vetores de S.
Teorema 4.3.1 (Processo de Ortonormaliza¸˜o de Gram-Schmidt) Todo espa¸o veto-
ca c
rial euclidiano de dimens˜o finita (= 0) admite uma base ortonormal.
a
Exemplo 4.1 Sendo B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} uma base de R3 , utiliza-
remos o processo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base.
ca
´
E claro que g1 = u1 = u1 = (1, 0, 0). Por outro lado, v2 = u2 − u2 , g1 g1 = (0, 1, 1) −
u1
0(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo,
√ √
v2 (0, 1, 1 2 2
g2 = = √ = 0, , .
v2 2 2 2
8

9. Finalmente,
√ √ √
3 2 2 2 1 1
v3 = u3 − u3 , g1 g1 − u3 , g2 g2 = (0, 1, 2) − 0g1 − 0, , = 0, − , .
2 2 2 2 2
Da´
ı √ √
v3 0, − 1 , 1
2 2 2 2
g3 = = = 0, − , .
v3 1
+1 2 2
4 4
Logo,
√ √ √ √
2 2 2 2
(1, 0, 0), 0, , , 0, − ,
2 2 2 2
´ uma base ortonormal do R3 ,constru´da a partir da base B.
e ı
Defini¸˜o 4.3.2 (Complemento Ortogonal) Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Dado
ca c
⊥
um subespa¸o vetorial U de V , indiquemos por U o seguinte subconjunto de V
c
U ⊥ = {v ∈ V | u, v = 0, ∀u ∈ U.
Exemplo 4.2 Achar uma base do sub-espa¸o V ⊥ , onde V ´ subespa¸o de R4 gerado por
c e c
(1, 0, 1, 1) e (1, 1, 2, 0). Ortonormalize esta base.
v = (x, y, z, t) ∈ R4 pertece a V ⊥ se e somente se
v, (1, 0, 1, 1) = x + z + t = 0
v, (1, 1, 2, 0) = x + y + 2z = 0
A solu¸˜o do sistema ´ V ⊥ = {(−z − t, −z + t, z, t |z, t ∈ R}.
ca e
4.4 Operadores Auto-Adjuntos
Defini¸˜o 4.4.1 Seja V um espa¸o vetorial euclidiano. Um operador A ∈ L(V ) se diz auto-
ca c
adjunto se
A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.
Proposi¸˜o – Seja V um espa¸o euclidiano de dimens˜o finita. Ent˜o, um operador A ∈ L(V )
ca c a a
´ auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em rela¸ao a uma base ortonormal de V ´
e c˜ e
T
sim´trica (i.e. A = A ).
e
5 Diagonaliza¸˜o de Operadores Lineares e Forma de
ca
Jordan
5.1 Valores e Vetores pr´prios
o
Defini¸˜o 5.1.1 Seja V um espa¸o vetorial (sobre R ou C) e seja T : V → V um operador
ca c
linear. Um vetor u ∈ V , u = 0, ´ um vetor pr´prio (autovetor) de T se existe um escalar λ (de
e o
R ou C, respectivamente) tal que T (u) = λu. Neste caso λ ´ um valor pr´prio associado a u.
e o
9

10. Defini¸˜o 5.1.2 O sub-espa¸o
ca c
V (λ) = {u ∈ V |T (u) = λu} = ker(T − λI)
´ chamado de sub-espa¸o pr´prio de λ e ser´ indicado por V (λ).
e c o a
Defini¸˜o 5.1.3 Dada uma matriz A = (aij ) de ordem n (real ou complexa), chama-se po-
ca
linˆmio caracter´stico de A o seguinte polinˆmio de grau n:
o ı o
 
a11 − t a12 ··· a1n
 a21 a22 − t · · · a2n 
Pt (A) = det  . .  = det(A − tIn ).
 
. .
. .. . 
 . . . .
an1 an2 − t · · · ann − t
Proposi¸˜o – Matrizes semelhantes tem o mesmo polinˆmio caracter´
ca o ıstico.
Defini¸˜o 5.1.4 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o n e T : V → V um operador linear.
ca c a
Chama-se polinˆmio caracter´stico de T o polinˆmio caracter´stico da matriz de T em rela¸˜o
o ı o ı ca
a qualquer base de V . Nota¸˜o: pT (t).
ca
Proposi¸˜o – Seja T um operador linear de um espa¸o vetorial sobre K(KS = R ou K = C)
ca c
de dimens˜o n. Ent˜o os valores pr´prios de T s˜o as ra´ de pT (t) em K.
a a o a ızes
Exemplo 5.1 Seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (y, x).
A matriz de T na base canˆnica ´
o e
0 1
1 0
Logo,
−x 1
pT (x) = det = x2 − 1
1 −x
cujas ra´zes s˜o 1 e −1.
ı a
Uma vez conhecidos os valores pr´prios de um operador T , podemos achar seus vetores pr´prios.
o o
Os autovetores s˜o os vetores n˜o nulos de ker(T − λI).
a a
Para λ = 1 temos (T − I)(x, y) = T (x, y) − I(x, y) = 0 ⇒ T (x, y) = I(x, y) ⇒ (y, x) = (x, y).
Portanto, x = y e os autovetores associados ao autovalor λ = 1 tem a forma (x, x) = x(1, 1),
∀x ∈ R∗. Analogamente, para λ = −1 teremos x(1, −1).
5.2 Diagonaliza¸˜o de Operadores
ca
Defini¸˜o 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita. Um operador T : V → V se
ca c a
diz diagonaliz´vel se existe uma base de V formada por vetores pr´prios de T .
a o
Se B = {e1 , ..., en } for uma base formada de vetores pr´prios de T ent˜o
o a
 
λ1
 λ2 
(T )B = 
 
.. 
 . 
λn
10

11. onde λ1 , ..., λn s˜o os valores pr´prios de T . Da´
a o ı
 
λ1 − x
 λ2 − x 
pT (x) = det   = (λ1 − x)(λ2 − x) · · · (λn − x)
 
..
 . 
λn − x
e assim pT (x) se decomp˜e em fatores lineares.
o
Teorema 5.2.1 Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre K (K = R ou K = C).
c a
Um operador linear T ∈ L(V ) ´ diagonaliz´vel se, e somente se,
e a
• o polinˆmio caracter´stico de T tem todas as suas ra´zes em K;
o ı ı
• a multiplicidade alg´brica de cada valor pr´prio λi de T ´ igual ` dimens˜o de V (λi ).
e o e a a
5.3 Diagonaliza¸˜o de Operadores Auto-adjuntos (ou de matrizes
ca
sim´tricas reais)
e
Como visto na defini¸˜o 4.4.1, um operador linear A de um espa¸o vetorial euclidiano V tal
ca c
que
A(u), v = u, A(v) , ∀u, v ∈ V.
Teorema 5.3.1 Um operador linear A de um espa¸o euclidiano V , de dimens˜o finita n ≥ 1,
c a
´ auto-adjunto se, somente se, existe uma base ortonormal de V formada de vetores pr´prios
e o
de A.
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