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Geometria de
Posição
1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos;
2º) Por um ponto passam infinitas retas;
3º) Dois pontos distintos determinam uma única
reta;
4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em
duas semirretas.
1º) Em um plano, bem como fora dele, existem
infinitos pontos;
2º) Se uma reta possui dois pontos distintos num
plano, então ela está contida nesse plano;
3º) Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles;
A
B
C
Retas e planos no espaço: Geometria de Posição
4º) Uma reta qualquer de um plano o divide em
dois semiplanos;
5º) Um plano qualquer divide o espaço em duas
regiões que denominamos semi-espaços;
6º) Por uma reta passam infinitos planos.
 Três pontos distintos não colineares;
 Uma reta e um ponto fora dela;
AA
B
C
 Duas retas concorrentes;
P
A B
 Duas retas paralelas e distintas;
A
B
C
1) Classifique em V ou F conforme as sentenças
sejam verdadeiras ou falsas e justifique sua
resposta:
( ) Por um ponto passam infinitas retas;
( ) Três pontos distintos quaisquer determinam
um plano;
( ) Por dois pontos A e B passa uma única reta;
( ) Por dois pontos A e B passam infinitos planos;
Retas e planos no espaço: Geometria de Posição
 Entre duas retas:
1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos os
pontos em comum.
2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas um
ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s = {P}.
3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto em
comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }.
Obs.: As duas retas devem estar no
mesmo plano.
4º) Reversas: Não possuem ponto em comum e
estão em planos diferentes.
Obs.: quando duas retas reversas formam
ângulo de 90º são chamadas de
ortogonais.
 Entre reta e plano:
1º) Reta contida no plano: Uma reta está contida
num plano quando todos os seus pontos
pertencem ao plano.
2º) Reta e plano concorrentes: São concorrentes
quando tem um único ponto em comum.
3º) Reta e plano paralelos: São paralelos quando
não tem ponto em comum.
r
 Entre dois planos:
1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são
comuns.
2º) Planos concorrentes ou secantes: São
distintos e tem intersecção não vazia. Essa
intersecção é sempre determinada por uma reta.
3º) Planos paralelos: Não tem pontos em comum.
1) Classifique em verdadeiro ou falso as
sentenças abaixo:
( ) Duas retas que possuem um único ponto em
comum são coincidentes;
( ) Duas retas distintas sem ponto em comum
são paralelas;
( ) Duas retas que determinam um plano ou são
concorrentes ou são paralelas;
( ) Três retas que passam por um único ponto P podem
ser perpendiculares entre si.
R: F – F – V – V
2) O que se pode afirmar sobre a posição entre a reta r e
o plano α em cada caso?
a) r ∩ α = r b) r ∩ α = ∅ c) r ∩ α = {P}
a)r contida em α
b)r paralela a α
c)r concorrente a α
 Considerando um plano α e um ponto P fora do
plano, podemos traçar por P infinitas retas que
interceptam α. Dessas, uma única reta é
perpendicular ao plano, e as demais são
denominadas retas oblíquas ao plano.
 Se uma reta r é perpendicular a um plano α,
então r forma um ângulo de 90º com qualquer
reta contida em α.
 Projeção de um ponto
 Projeção de uma reta
1º caso: Reta perpendicular ao plano
2º caso: A reta oblíqua ao plano
3º caso: A reta paralela ao plano
 Diedro
 Triedro
1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo:
a) Se uma reta r for perpendicular a duas retas, s
e t, concorrentes de um plano, então essa reta
será perpendicular ao plano.
b) Se uma reta r for perpendicular a um plano α,
sua projeção será um segmento de reta.
c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua
projeção ortogonal poderá ser um segmento de
reta.
R: V – F – V
2) Duas retas paralelas r e s são projetadas
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Retas e planos no espaço: Geometria de Posição

  • 2. 1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos; 2º) Por um ponto passam infinitas retas; 3º) Dois pontos distintos determinam uma única reta;
  • 3. 4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em duas semirretas.
  • 4. 1º) Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos;
  • 5. 2º) Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela está contida nesse plano;
  • 6. 3º) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles; A B C
  • 8. 4º) Uma reta qualquer de um plano o divide em dois semiplanos;
  • 9. 5º) Um plano qualquer divide o espaço em duas regiões que denominamos semi-espaços;
  • 10. 6º) Por uma reta passam infinitos planos.
  • 11.  Três pontos distintos não colineares;
  • 12.  Uma reta e um ponto fora dela; AA B C
  • 13.  Duas retas concorrentes; P A B
  • 14.  Duas retas paralelas e distintas; A B C
  • 15. 1) Classifique em V ou F conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta: ( ) Por um ponto passam infinitas retas; ( ) Três pontos distintos quaisquer determinam um plano; ( ) Por dois pontos A e B passa uma única reta; ( ) Por dois pontos A e B passam infinitos planos;
  • 17.  Entre duas retas: 1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos os pontos em comum.
  • 18. 2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas um ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s = {P}.
  • 19. 3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto em comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }. Obs.: As duas retas devem estar no mesmo plano.
  • 20. 4º) Reversas: Não possuem ponto em comum e estão em planos diferentes. Obs.: quando duas retas reversas formam ângulo de 90º são chamadas de ortogonais.
  • 21.  Entre reta e plano: 1º) Reta contida no plano: Uma reta está contida num plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano.
  • 22. 2º) Reta e plano concorrentes: São concorrentes quando tem um único ponto em comum.
  • 23. 3º) Reta e plano paralelos: São paralelos quando não tem ponto em comum. r
  • 24.  Entre dois planos: 1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são comuns.
  • 25. 2º) Planos concorrentes ou secantes: São distintos e tem intersecção não vazia. Essa intersecção é sempre determinada por uma reta.
  • 26. 3º) Planos paralelos: Não tem pontos em comum.
  • 27. 1) Classifique em verdadeiro ou falso as sentenças abaixo: ( ) Duas retas que possuem um único ponto em comum são coincidentes; ( ) Duas retas distintas sem ponto em comum são paralelas; ( ) Duas retas que determinam um plano ou são concorrentes ou são paralelas;
  • 28. ( ) Três retas que passam por um único ponto P podem ser perpendiculares entre si. R: F – F – V – V 2) O que se pode afirmar sobre a posição entre a reta r e o plano α em cada caso? a) r ∩ α = r b) r ∩ α = ∅ c) r ∩ α = {P} a)r contida em α b)r paralela a α c)r concorrente a α
  • 29.  Considerando um plano α e um ponto P fora do plano, podemos traçar por P infinitas retas que interceptam α. Dessas, uma única reta é perpendicular ao plano, e as demais são denominadas retas oblíquas ao plano.
  • 30.  Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então r forma um ângulo de 90º com qualquer reta contida em α.
  • 31.  Projeção de um ponto
  • 32.  Projeção de uma reta 1º caso: Reta perpendicular ao plano
  • 33. 2º caso: A reta oblíqua ao plano
  • 34. 3º caso: A reta paralela ao plano
  • 36. 1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo: a) Se uma reta r for perpendicular a duas retas, s e t, concorrentes de um plano, então essa reta será perpendicular ao plano. b) Se uma reta r for perpendicular a um plano α, sua projeção será um segmento de reta. c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua projeção ortogonal poderá ser um segmento de reta.
  • 37. R: V – F – V 2) Duas retas paralelas r e s são projetadas ortogonalmente sobre o plano α. Quais são as posições relativas das projeções? R: Duas retas, uma reta, dois pontos.
  • 38. FIM