Retas e planos no espaço: Geometria de Posição

1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos;
2º) Por um ponto passam infinitas retas;
3º) Dois pontos distintos determinam uma única
reta;

4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em
duas semirretas.

1º) Em um plano, bem como fora dele, existem
infinitos pontos;

2º) Se uma reta possui dois pontos distintos num
plano, então ela está contida nesse plano;

3º) Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles;
A
B
C

4º) Uma reta qualquer de um plano o divide em
dois semiplanos;

5º) Um plano qualquer divide o espaço em duas
regiões que denominamos semi-espaços;

6º) Por uma reta passam infinitos planos.

 Três pontos distintos não colineares;

 Uma reta e um ponto fora dela;
AA
B
C

 Duas retas concorrentes;
P
A B

 Duas retas paralelas e distintas;
A
B
C

1) Classifique em V ou F conforme as sentenças
sejam verdadeiras ou falsas e justifique sua
resposta:
( ) Por um ponto passam infinitas retas;
( ) Três pontos distintos quaisquer determinam
um plano;
( ) Por dois pontos A e B passa uma única reta;
( ) Por dois pontos A e B passam infinitos planos;

 Entre duas retas:
1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos os
pontos em comum.

2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas um
ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s = {P}.

3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto em
comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }.
Obs.: As duas retas devem estar no
mesmo plano.

4º) Reversas: Não possuem ponto em comum e
estão em planos diferentes.
Obs.: quando duas retas reversas formam
ângulo de 90º são chamadas de
ortogonais.

 Entre reta e plano:
1º) Reta contida no plano: Uma reta está contida
num plano quando todos os seus pontos
pertencem ao plano.

2º) Reta e plano concorrentes: São concorrentes
quando tem um único ponto em comum.

3º) Reta e plano paralelos: São paralelos quando
não tem ponto em comum.
r

 Entre dois planos:
1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são
comuns.

2º) Planos concorrentes ou secantes: São
distintos e tem intersecção não vazia. Essa
intersecção é sempre determinada por uma reta.

3º) Planos paralelos: Não tem pontos em comum.

1) Classifique em verdadeiro ou falso as
sentenças abaixo:
( ) Duas retas que possuem um único ponto em
comum são coincidentes;
( ) Duas retas distintas sem ponto em comum
são paralelas;
( ) Duas retas que determinam um plano ou são
concorrentes ou são paralelas;

( ) Três retas que passam por um único ponto P podem
ser perpendiculares entre si.
R: F – F – V – V
2) O que se pode afirmar sobre a posição entre a reta r e
o plano α em cada caso?
a) r ∩ α = r b) r ∩ α = ∅ c) r ∩ α = {P}
a)r contida em α
b)r paralela a α
c)r concorrente a α

 Considerando um plano α e um ponto P fora do
plano, podemos traçar por P infinitas retas que
interceptam α. Dessas, uma única reta é
perpendicular ao plano, e as demais são
denominadas retas oblíquas ao plano.

 Se uma reta r é perpendicular a um plano α,
então r forma um ângulo de 90º com qualquer
reta contida em α.

 Projeção de uma reta
1º caso: Reta perpendicular ao plano

2º caso: A reta oblíqua ao plano

3º caso: A reta paralela ao plano

1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo:
a) Se uma reta r for perpendicular a duas retas, s
e t, concorrentes de um plano, então essa reta
será perpendicular ao plano.
b) Se uma reta r for perpendicular a um plano α,
sua projeção será um segmento de reta.
c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua
projeção ortogonal poderá ser um segmento de
reta.

R: V – F – V
2) Duas retas paralelas r e s são projetadas
ortogonalmente sobre o plano α. Quais são as
posições relativas das projeções?
R: Duas retas, uma reta, dois pontos.

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