[1] O documento discute a resolução de uma questão da Fuvest de 2004 sobre números complexos, abordando a ligação entre álgebra e geometria analítica. [2] A resolução mostra que as raízes da equação representam a interseção de hipérboles equiláteras com retas, tendo quatro soluções distintas quando α está entre certos valores. [3] O autor argumenta que a Matemática do ensino médio negligencia os aspectos geométricos dos números complexos, perdendo a oportunidade de unir diferentes

1. Uma questão da FUVEST 2004
Considere a equação z ²  z  (  1) z , onde α é um número real e z indica o
conjugado do número complexo z.
a) Determinar os valores de α para os quais a equação tem quatro raízes distintas.
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando α = 0.
Um aluno do pré-vestibular me questionou sobre a resolução deste exercício da
segunda fase da Fuvest 2004. Segue a resolução que pensei naquele momento, e que
achei, sinceramente, que era a mais natural... para um aluno que concluiu o terceiro
ano do ensino médio.
Resolução:
Seja z = x + iy, com x e y reais. Então:
x ²  y ²  2  1x
x  iy 
2
  x  iy     1x  iy   x ²  y ²  i 2 xy  2  1x  yi 
2 xy  y
Até aqui, a solução que imaginei para o item a não difere em nada das demais
soluções.
Vamos à conclusão! É bom lembrar que um problema tem aromas, tem cores e traz a
uma estética... Traz consigo aquela visão da Matemática de quem o elaborou.
Quem passa longos períodos estudando-a conhece bem esses aspectos. Algo me
dizia que o autor da questão tinha em mente a óbvia ligação dos números complexos
com a geometria analítica no plano (o conjunto dos números complexos munido das
operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial
euclidiano de dimensão dois, que o torna isomorfo ao IR 2 ). Por esse motivo pensei
em intersecção de curvas planas (quantas são as soluções...). No ensino médio há
uma ênfase enorme nos aspectos algébricos dos números complexos, negligenciando-
se os aspectos geométricos evidentes (evidente não é sinônimo de fácil!). Todo
número complexo é um vetor do plano, todo número complexo é um par ordenado de
números reais, todo número complexo é um ponto do plano, todo número complexo
admite uma única representação em coordenadas polares e deve-se tirar proveito
dessas características múltiplas.

2. Assim, temos:
2  1 
2

x 
 2 

y²
 1 (1)
 2  1   2  1 
2 2
x ²  y ²  2  1x   2   
1

2    2 
x  iy 2   x  iy     1x  iy    e
2 xy  y
 1 
 x  ou y  0  (2)
 2 
A equação (1) representa um conjunto de hipérboles equiláteras parametrizadas pelo
1
número real , com   . Tais hipérboles têm o eixo x como eixo de simetria, e
2
 2  1 
centro C, C =  ,0  . As intersecções dos seus dois ramos com o eixo de simetria
 2 
(eixo x) são: 0,0 e 2  1,0 . Quando  = , temos as retas y =  x.
1
2
1
As equações (2) representam um par de retas perpendiculares; a reta x = e o eixo
2
x.
1
Figura 1.  = . Três soluções O, A e B.
2

3. 3
Figura 2 -   . Quatro soluções: O, A, B e C.
4
3
Figura 3 -   . Duas soluções O e C.
4
Observemos que os vértices dos ramos da hipérbole são (2 - 1, 0) e (0,0) (um ponto
fixo). Então, o número de interseções das curvas (1) e (2) será igual a quatro quando,
1 1 3 1
e somente quando, 2  1  e      e   . Que é a resposta correta do
2 2 4 2
item a.
No item b, o autor da questão pede uma das soluções particulares do item a, para  =
0.
Quando percebi o entusiasmo do aluno com minha resolução desta questão, deixei
que ele procurasse a sua (já tinha lhe mostrado o início do caminho). A solução que
apresento está impregnada por uma longa vivência com a Matemática elementar, de
estudá-la, de ensiná-la e, acima de tudo, de aprender com ela e (porque não?) com

4. uma visão estética da mesma. Sim, a Matemática tem um conceito de beleza! A forma
como determinados assuntos são tratados no ensino médio mostram o quanto há de
negligência no seu ensino. Todas as resoluções que consultei não discutem porque se
pede exatamente quatro soluções distintas. O curso pré-vestibular que eu esperava
que desse uma resolução mostrando as múltiplas personalidades dos números
complexos, não a deu, foi raso como os concorrentes. Ficou somente no adjetivo dos
números. Perdeu-se a oportunidade de unir assuntos tratados isoladamente na
Matemática do ensino médio (geometria analítica e números complexos, por exemplo).
Portanto, não se pode cobrar maturidade de um adolescente que estava ansioso por
mais uma resolução fácil, extremamente fácil... Porque esta foi a educação que ele
recebeu! Números complexos são complexos!
Robinson Antão da Cruz Filho
Professor temporário do IFSP, Campus Araraquara.