Trigonometria 2

COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO
2º Ano de Formação Geral – Matemática
Professor Alfredo Coelho

Trigonometria_2
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Círculo, ou circunferência trigonométrica é o círculo ou circunferência de raio
igual a 1, (uma unidade).

QUADRANTES

Tomando-se, sobre o círculo trigonométrico, os eixos
e , perpendiculares entre si no ponto (orígem dos
eixos coordenados), sendo o eixo das abscissa e o
eixo das ordenadas, o círculo fica dividido em quatro
partes chamadas de QUADRANTES de medidas iguais
a ou .

A medida que um ponto, partindo do ponto A, se desloca
sobre a circunferência, no sentido anti-horário, o ângulo
central aumenta gerando os quadrantes, de tal modo que:

• I Quadrante de A até B perfazendo o intervalo a ou .

• II Quadrante de B até C perfazendo o intervalo de a ou .

• III Quadrante de C até D igual ao intervalo de a ou .

• IV Quadrante de D até A ou seja o intervalo de a ou .

ARCOS OU ÂNGULOS CONGRUENTES:
Arcos congruentes são arcos/ângulos em que a diferença entre eles é igual a um múltiplo
de . Acrescentamos, também, que arcos congruentes são arcos que têm a
mesma extremidade.

Demonstração para o ângulo de
Número de voltas positivo, sentido anti-horário. Número de voltas negativo, sentido horário.

EXPRESSÃO:
Para representar todos os arcos/ângulos congruentes fazemos uso da expressão, já
comprovada na tabela acima.
, em graus ou em radianos.

Notas sobre a expressão:
1. Valores:
• O valor de é chamado de Primeira Determinação Positiva;
• O valor de é igual ao Número de Voltas, a partir da primeira
determinação.
• A primeira determinação positiva equivale a , para cada outro valor de
, este indica uma determinação, seja ela positiva ( ), ou negativa
( ).
2. Correlação:
A expressão ou são semelhantes a que
expressa o Dividendo numa divisão, onde:
• é o dividendo, corresponde ao nosso ;
• é o resto da divisão, corresponde ao nosso ;
• é o quociente, o nosso ;
• é o divisor, no nosso caso fixo e igual a ou a

Podemos indicar a divisão pelo algoritmo para em graus ou para
em radianos.
Exercícios Resolvidos:
Exercício Resolvido – 13. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas
nos casos: (a) , (b)
Solução:
(a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: dividido por tem quociente
igual a e resto .
Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva .

(b) Procedendo como no caso anterior: temos por tem quociente igual a e
resto igual .
Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva
Exercício Resolvido – 14. Encontre a primeira determinação positiva e o número de

voltas nos casos: (a) e (b) .
Solução:

(a) Fazendo pela soma de frações temos: ou seja:

.Temos

Resposta: Número de volta e Primeira determinação positiva

(b) Fazendo pela soma de frações temos:

. De onde temos:

Respostas: Números de voltas e Primeira Determinação Positiva
2

Exercício Resolvido – 15. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas
Solução:
(a) Aplicando o algoritmo da divisão temos: dividido por tem
quociente igual a e resto , mas não é positivo, para tanto devemos
somar resultando positivos. Para que não haja desequilíbrio
aumentamos mais uma volta negativa , totalizando voltas.
Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva .

(b) Procedendo como no caso anterior: temos por tem quociente igual a
e resto igual valor negativo. Somando e acrescentando mais
uma volta negativa temos:
Respostas: Número de voltas e Primeira determinação positiva
Exercício Resolvido – 16. Encontre a primeira determinação positiva e o número de
voltas nos casos: (a) e (b) .
Solução:

(a) Fazendo deste modo temos: de onde:

. Temos .
Como primeira determinação está negativa devemos somar e acrescentar mais uma volta negativa.
. O que dá a expressão final
Resposta: Número de volta e Primeira determinação positiva

(b) Fazendo de onde temos:

. Onde .
Como primeira determinação está negativa devemos somar e acrescentar mais uma volta negativa.
. Gerando a expressão
Respostas: Números de voltas e Primeira Determinação Positiva
Exercícios Propostos:
Exercício Proposto – 22. Calcular a primeira determinação positiva e o número de voltas
nos casos: (a) (b)
nos casos: (a) (b)
Exercício Proposto – 26. Sendo o arco calcule a 5ª determinação positiva e a 7ª
negativa
3

Exercício Proposto – 27. Encontre a 6ª determinação positiva e a 4ª negativa de .
FUNÇÕES:
Marcando-se o arco de ângulo central igual a sobre a circunferência. Projetando o
ponto B sobre o eixo dos encontramos o ponto B1. Em seguida projetamos o ponto B
sobre o eixo dos encontrando o ponto B2. Deste modo determinamos o triângulo BÔB2,
retângulo em B2, de catetos (oposto ao ângulo ) e (adjacente ao ângulo ) e
hipotenusa (igual a 1).
OBSERVAÇÃO:
O cateto
Funções seno, cosseno e tangente:
Voltando às definições temos:

1.

2.

3.

Podemos concluir que o eixo dos “x” é o eixo dos cosenos e o eixo dos “y” é o eixo dos
senos.

FUNÇÃO SENO:
Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é sempre possível associar-se um
valor no eixo , maior que –1 e menor que 1 chamado de seno do ângulo .

ou

O gráfico da função seno é chamado de SENÓIDE. Na
nossa representação utilizamos na parte positiva o intervalo
e na parte negativa o intervalo
.
Conforme foi visto nas determinações positivas e negativas o arco pode crescer
indefinidamente, a cada volta, para valores positivos ou valores negativos, segundo as
expressões: ou . Cada volta (repetição da
senóide) representa um período de valor ou .
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO SENO:
1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais .
4

2. Contradomínio:
3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 2º Quadrante e negativo (–) para arcos do 3º e 4º
Quadrante.
4. Variação: a função seno é crescente no 1º e 4º Quadrante e decrescente no 2º e 3º
Quadrante.
5. Período: já vimos que a função é periódica de período igual a ou
.

FUNÇÃO COSSENO:
Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é sempre possível associar-se um
valor no eixo , maior que –1 e menor que 1 chamado de cosseno do ângulo .

ou

Como acontece com o seno, o gráfico da função cosseno
também se repete em períodos de ou .
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO COSSENO:
1. Domínio: o domínio é o Conjunto dos Números Reais .
2. Contradomínio:
3. Sinal: positivo (+) para arco do 1º e 4º Quadrante e negativo (–) para arcos do 2º e 3º
Quadrante.
4. Variação: a função seno é crescente no 3º e 4º Quadrante e decrescente no 1º e 2º
Quadrante.
5. Período: Como já foi visto o período de é igual a ou .

FUNÇÃO TANGENTE:
Tomando-se um arco de ângulo central igual a , é possível associar-se um valor
projetado no eixo , entre mais infinito e menos infinito chamado de tangente do ângulo .

ou
Não acontece
com a função
tangente o que
acontece com
as funções
seno e
cosseno, o
gráfico da
função
tangente se
repete em
períodos de ou , sendo que a função tangente não é definida para congruentes de
5

ou .

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO TANGENTE:

1. Domínio: é o conjunto dos números reais diferentes de ( ).
2. Contradomínio: é o conjunto dos números reais .
3. Sinal: positivo (+) no 1º e 3º quadrante e, negativo (-) no 2º e 4º quadrante.
4. Variação: a função tangente é crescente em todos os quadrantes.
5. Período: a função tangente é periódica de período igual a .
Exercício Resolvido 17. Construir a tabela, o gráfico e determinar o período da função
no intervalo .
Solução:
Com os dados da tabela
construímos o gráfico.
0 0 2 Nota-se que o valor 2 não
1 3
interferiu no período,
permanecendo os .
0 2 Ou seja, tanto faz a função
-1 1 como
, o período é o
0 2
mesmo.
no intervalo .
Solução:
Neste caso observamos
que o período encontrado é
0 0 0 metade do período da
1 função . Ovalor
das ordenadas continuaram
0 os mesmos: 0, 1, 0, -1 e 0.
-1

0

no intervalo .
Solução:
Pela representação
gráfica observamos que
foi representado apenas
0 0 0
metade do períodoa
parte positiva. A parte
negativa, o intervalo
1
. Deste
modo o período será de , ou seja, .
OBSERVAÇÃO EM RELAÇÃO AO PERÍOD:
0
Dada a função o cálculo do período é
dado por apenas , o único valor que influi no cálculo é
o coeficiente de . Quanto maior o valor de , menor será o período.

6

Exercício Resolvido 20. Construir a tabela, e o gráfico da função no intervalo
e depois verifique o período.
Solução:
O gráfico inverteu devido
ao sinal negativo (-) ante
0 1 0 do cosseno de x e subiu
uma unidade. O período é
o mesmo de ,
período igual a .

0

Solução:

O gráfico sofre um
0 1 0 deslocamento de uma
unidade para baixo devido
ao (–1). O período é o
mesmo de ,
período igual a .

0

Solução:
O gráfico sofre um
deslocamento de duas
0 1 unidades para baixo devido
ao (–2). E o período é
reduzido para metade do
período de ,
portanto o período ida
função é
gual a .

Solução:

O gráfico tem a forma
0 1 alterada devido ao
coeficiente, dobrando o
valor de . Quanto
ao período permanece o
mesmo de .

OBSERVAÇÃO:
Com o período de ocorre o mesmo que em Sendo
podemos usar a mesma expressão para o cálculo para calcular o período.

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Exercício Resolvido 24. Construir a tabela, e o gráfico correspondente da função no
intervalo e depois verifique o período.
Solução:

O gráfico tem a sua
0 0 forma ligeiramente
alterada devido ao
vaor do coeficiente,
(2) dobrando o valor
do ângulo e
reduzndo o valor do
período de . O
período da função
tangente do dobro
do ângulo é igual a
metade do período da função tangente do ângulo.
Exercício Resolvido 25. Calcular o domínio da função .
Solução:
Condição

Resposta:

Exercício Resolvido 26. Calcular o período da função .
Solução:
Aplicando a fórmula vem . Nem sempre podemos usar a fórmula
diretamente por isso, recomenda-se o seguinte cálculo: , onde é o extremo
superior do período e o extremo inferior.

e

Fazendo de onde temos Resposta:

Exercício Resolvido 27. Calcular o período da função .
Solução:

Reposta:


Exercício Proposto – 28. Calcular o domínio de .
Exercício Proposto – 31. Calcular o período da função .
Exercício Proposto – 32. Calcular o período da função ·.
Exercício Proposto – 33. Construir a tabela e o gráfico da função .
Exercício Proposto – 34. Faça o gráfico e dê o período da função .
Exercício Proposto – 35. Encontre o gráfico e o período da função .
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Tomando-se os pontos A, B e C nos eixos coordenados e do círculo trigonométrico,
mais o ponto T, temos os segmentos ·, e , aos quais
definimos como secante, cossecante e cotangente do
ângulo x, ou seja:
• inversa do .
• inversa do .
• inversa do .
Do exposto acima concluímos que:

, e
FUNÇÃO SECANTE:
A secante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento . Ou seja
.
ou
Tabela de Variação
Pela tabela
0 concluímos que
a função não é
definida para
valores de
e
não existe
imagem entre
os valores de
maiores que – 1
e menores que 1. Logo o Domínio é , a Imagem é .
Quanto ao sinal é positiva (+) no 1º e 4º quadrante e negativa (-) no 2º e 3º
quadrante. O período é dado por .
FUNÇÃO COSSECANTE:
A função cossecante do ângulo x por definição é igual a medida de segmento .
Ou seja .
ou
Pela tabela
concluímos que
a função não é
definida para
valores de
e não
existe imagem
entre os valores
de maiores
que – 1 e
menores que 1.
Logo o Domínio é ,
9

a Imagem é . Quanto ao sinal é positiva (+) no 1º e 2º
quadrante e negativa (-) no 3º e 4º quadrante. O período é dado por .

FUNÇÃO COTANGENTE
A função cotangente do ângulo x por definição é igual a medida de segmento .
Ou seja .
ou

Pela tabela
concluímos
que a função
não é
definida para
valores de
e a
imagem está
definida para
qualquer valor
de .
Logo o domínio é e a imagem é . Quanto ao sinal a função é
positiva (+) no 1º e 3º quadrante e negativa (-) no 2º e 4º quadrante.. O período é dado por .

Exercício Resolvido – 28. Dada calcule cosseno, seno, tangente, cossecante e
cotangente do ângulo
Solução:
De onde temos

Aplicando a 1ª Relação fundamental ,
, .

. Respostas: , e .

Exercício Proposto – 36. Calcular a sabendo que a .
Exercício Proposto – 39. Construir o gráfico de função no intervalo
.

Respostas dos Exercícios Propostos.
Exercício Proposto – 22 (a) e (b) e
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Exercício Proposto – 26 e
Exercício Proposto – 27 e .
Exercício Proposto – 28






Período

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