Este documento apresenta a resolução de quatro problemas de geometria analítica. O primeiro problema envolve escrever um vetor em função de outros dois vetores. O segundo problema determina valores que fazem com que o volume de um paralelepípedo seja 11 unidades. O terceiro problema envolve encontrar equações paramétricas e de interseção de uma reta com planos. O quarto problema localiza pontos equidistantes de dois outros pontos.

1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Seja o triângulo ABC onde M é o ponto médio de BC e D é o ponto sobre o segmento
AC tal que a distância de D à A é quatro vezes a distância de D à C. Seja E a intersecção
de AM com BD. Se ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , escreva o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ em função de e ⃗ .
C
D
M
E
A B
i) Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Somando as equações acima temos:
⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1)
ii) Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2)
iii) Observando a figura, tiramos as relações:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Substituindo (1) em (3):
⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ (4)
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (5)
Substituindo (2) em (5):
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗) ⃗ (6)
iv) Observando a figura, tiramos as relações:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

2. Então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (7)
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗
Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗
Então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (8)
v) Efetuando os cálculos
Substituindo as equações (4) e (6) nas equações (7) e (8), obtemos o seguinte sistema de
equações vetoriais:
⃗ ( ⃗) ⃗
⃗
( ⃗) ⃗
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗ ⃗
A primeira equação do sistema só é satisfeita se:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Substituindo na primeira equação:
A segunda equação do sistema só é satisfeita se:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Substituindo na primeira equação:

3. Como esperado, para as duas equações foi encontrado o mesmo valor para e para .
Substituindo na equação (4), encontramos a solução para o problema.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
( ) ( )
2. Seja o paralelepípedo formado pelos três vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ . Determine o(s) valor(es) de a de modo que o volume desse
paralelepípedo seja 11 u.v.
O volume do paralelepípedo formado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ é dado pelo módulo
do produto misto dos três vetores.
[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | |
| |
3. Dados e , determine as equações paramétricas,
simétricas e reduzida em z da reta que passa por A e B. Também determine os pontos
onde essa reta intercepta os planos coordenados xy, xz e yz.
⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor da reta e A pertence à ela.
⃗⃗⃗⃗⃗
Equações paramétricas:
Equações simétricas:
Equação reduzida em z:
Multiplicando todas as partes da dupla igualdade acima, obtemos
Subtraindo 5 unidades, temos

4. A reta intercepta o plano xy quando .
Substituindo na última equação paramétrica, obtemos . Então, o ponto de
intersecção é ( ).
A reta intercepta o plano xz quanto
Então . Substituindo nas equações, obtém-se .
A reta intercepta o plano yz quando .
Neste caso , então ( ).
4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde
.
Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma , pois P
pertence à reta.
Pela condição do problema, devemos ter .
|⃗⃗⃗⃗⃗ | | |
√
|⃗⃗⃗⃗⃗ | | | √
√ √
Logo, a condição se satisfaz com qualquer valor de t. Portanto, todos os pontos de r são
equidistantes de A e B.